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1、变化率问题与导数第1页，本讲稿共18页 人教版人教版选修选修11 3.1 变化率与导数变化率与导数3.1.1 3.1.1 变化率问题变化率问题第2页，本讲稿共18页3.1.1 变化率问题变化率问题研究某个变量相对于另一个变量研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度变化的快慢程度变化率问题：变化率问题：思考?当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2时时,气球的平均气球的平均膨胀率是多少膨胀率是多少?阅读课本阅读课本72页到页到73页探究思考并尝试回答课本页探究思考并尝试回答课本思考和探究问题思考和探究问题(6分钟）分钟）第3页，本讲稿共18页 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，平均速
2、度不能反映他在这段时间里运动状态，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。需要用瞬时速度描述运动状态。需要用瞬时速度描述运动状态。需要用瞬时速度描述运动状态。第4页，本讲稿共18页平均变化率定义平均变化率定义:2.2.若设若设x=xx=x2 2-x-x1 1,f=f(x,f=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1)（即（即yy）则则平均变化率平均变化率为为 1.上述两个问题中的变化率可用式子上述两个问题中的变化率可用式子 来表示来表示我们称之为我们称之为函数函数f(x)f(x)从从x x1 1到到x x2 2的的平均变化率平均
3、变化率注意：注意：注意：注意：这里这里“x”是一个整体符号，而不是是一个整体符号，而不是与与x的积。它表的积。它表示：对于示：对于x1的一个的一个“增量增量”，故：，故：x2x1+x同样同样f=y=f(x2)-f(x1)，故：，故：y2y1+y第5页，本讲稿共18页 思考思考?观察函数观察函数f(x)f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率 表示什么表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直线直线直线直线ABABABAB的斜率的斜率的斜率的斜率第6页，本讲稿共18页课堂练习课堂练习2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。2x0+x A
4、第7页，本讲稿共18页小结：小结：1.1.函数的平均变化率函数的平均变化率2.2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)(1)求函数的增量：求函数的增量：f=y=f(xf=y=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1)f f（x x1 1xx）f(xf(x1 1););(2)(2)计算平均变化率计算平均变化率 3.3.函数的平均变化率的几何意义：函数的平均变化率的几何意义：表示函数图象上两点表示函数图象上两点A(xA(x1 1,f(x,f(x1 1),B(x),B(x2 2,f(x,f(x2 2)连线（割连线（割线）的斜率。线）的斜率。第8页，本讲稿共18页3.1.2导数的概念
5、导数的概念高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用第9页，本讲稿共18页 在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。如何求瞬时速度？如何求瞬时速度？lim是什么意思？是什么意思？在其下面的条件下求右面的极限值。在其下面的条件下求右面的极限值。运动员在某一时刻运动员在某一时刻0的瞬时速度如何表示的瞬时速度如何表示?一一.新授课学习新授课学习阅读课本阅读课本74页到页到75页探究上方并思考以下问题（页探究上方并思考以下问题（5分钟）分
6、钟）第10页，本讲稿共18页、函数的平均变化率怎么表示？、函数的平均变化率怎么表示？思考：第11页，本讲稿共18页定义定义:函数函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作或或 ,即即第12页，本讲稿共18页导数的作用：导数的作用：在例在例2中，高度中，高度h关于时间关于时间t的导数是运动员的的导数是运动员的瞬时速度；瞬时速度；在例在例1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r关于关于体积体积v的导数是气球的的导数是气球的瞬瞬时时膨膨胀胀率率导数可以描绘任何事物的瞬时变化
7、率导数可以描绘任何事物的瞬时变化率第13页，本讲稿共18页 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数的基处的导数的基本方法是本方法是:注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负.自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.一差、二比、三极限一差、二比、三极限第14页，本讲稿共18页例例1.求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.二、典例分析二、典例分析练习：质点运动规律为练习：质点运动规律为s=t2+3，求质点在，求质点在t=3的瞬时速度的瞬时速度.6 6第15页，本讲稿共18页第16页，本讲稿共18页第17页，本讲稿共18页小结：小结：由导数的定义可得求导数的一般步骤：由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0)(2)求平均变化率求平均变化率（3）求极限）求极限第18页，本讲稿共18页