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1、3.3.3 三角函数的积化和差三角函数的积化和差与和差化积与和差化积 平罗中学平罗中学 石占军石占军sin)sincoscossin(sin)sincoscossin(cos)coscossinsin(cos)coscossinsin(考察公式：考察公式：(1)(2)(3)(4)一、公式推证一、公式推证将将(1)、(2)两个式子相加减得到两个式子相加减得到1coscoscos()cos()21sinsincos()cos()2 将将(3)、(4)两个式子相加减得到两个式子相加减得到1sincossin()sin()21cossinsin()sin()2从上面四个式子又可以得到从上面四个式子又可
2、以得到sin()sin()2sincossin()sin()2cossincos()cos()2coscoscos()cos()2sinsin 积化和差公式1coscoscos()cos()21sinsincos()cos()2 1sincossin()sin()21cossinsin()sin()2设设, xy则则,2xy2xy这样这样sin()sin()2sincos可以写成可以写成sinsin2sincos22xyxyxy同样可以得到其余三个式子同样可以得到其余三个式子sinsin2sincos22xyxyxysinsin2cossin22xyxyxycoscos2coscos22xyx
3、yxycoscos2sinsin22xyxyxy 和差化积公式和差化积公式例例1把下列各积化成和差的形式。把下列各积化成和差的形式。（1）（2）（3）（4）2sin64 cos10sin84 cos132coscos66sin2sin1.2解解：（：（1）2sin64 cos10sin74sin54二、应用举例二、应用举例（2）sin84 cos132cos132 sin84（3）coscos661(coscos0)231(sin226sin48 )234（4）sin2sin1.21(cos3.2cos0.8)2 例例2. 把把 下列各式化为积的形式下列各式化为积的形式.（1）（2）（3）（4
4、） cos3cos解解：（：（1）cos3cos332coscos222cos2 coscos40cos52sin54sin22sin5sin3xx（2）cos40cos52405240522sinsin22 2sin46 sin6（3）sin54sin22542254222sincos222sin38 cos16（4）sin5sin3xx2cos4 sinxx53532cossin22xxxx例例3. 已知已知A+B+C=180, 求证：求证：sinsinsinABC4coscoscos222ABC证明：因为证明：因为A+B+C=180, 所以所以C=180(A+B),9022CABsinA
5、+sinB+sinC2sincossin()22ABABAB2sincos2sincos2222ABABABAB2sin(coscos)222ABABAB2sin2coscos222ABAB2cos2coscos222CAB4coscoscos222ABC1求sin20cos70+sin10sin50的值；三、课堂练习2求cos37.5cos22.5的值.解：1sin20cos70+sin10sin502 cos37.5cos22.5解：原式=sin42-sin78+sin54=-2cos60sin18+sin54=sin54- sin18=2cos36sin183、 求sin42-cos12
6、+sin54的值4.解：解：另：另：四、小结 和差化积公式的左边全是同名函数的和或差，如果是一个正弦与一余弦的和或差必须先用诱导公式化成同名函数后，再运用积化和差公式化成积的形式 无论是和差化积还是积化和差中的“和差”与“积”，都是指得三角函数间的关系，并不是角的关系，这是必须十分清楚的 三角函数的和差化积所要求的最后结果，只要是三角函数的积的形式就可以了，不求形式上的一致作业：作业：1求cos20+cos100+cos1402ABC中，求证cos2A+cos2B+cos2C =-1-4cosAcosBcosC证明：A、B、C为ABC的三内角A+B+C=，即C=-(A+B)原式左边=2cos(
7、A+B)cos(A-B)+2cos2C-1=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1=2cos(A+B)cos(A+B)+cos(A-B)-1=4cos(A+B)cosAcosC-1=-1-4cosAcosBcosC3. 求sin220+cos250+sin20cos50的值分析：本题有两个平方式，遇到三角函数的平方式(包含三次，四次式等)，常利用余弦的倍角公式作降次处理若又注意到本题的结构，以下解法也是可以考虑的原式=(sin20+sin40)2-sin20cos50=2sin30cos102-sin20cos50当然，也可以这样配方原式= (sin20-sin40)2+
8、3sin20cos50例题2 求ctg70+4cos70的值分析：由于本题余切函数与余弦函数共存，首先应化切为弦，接着自然是要做通分，最后再考虑分子的化简，由于分子的三角函数的系数不同，一拆为二就是必然的了习题课上，教师主要讲以上二例，虽为例解，但应注意调动学生积极思考，注意学生提出的问题以及学生提出的处理方法，若方向对头应予以肯定，若方法不当也应帮助分析原因以下几个练习主要由学生完成，练习题预先写在幻灯片上，适时安排学生板演，习题课的形式是讲讲、议议、练练(四)练习题3tg10+sec50课堂练习题分析及解法：2类似本题的条件，有两条路可供选择，其一是将两式两边分别平方后再相加，但这样处理所
9、能得到的是cos(-)的值，但采用这样的办法于事无补另一条路是把两个某式左边的三角函数分别作和差化积可得到如下关系：3本题若只是简单处理，可能会做不下去到此或许许多人就束手无策了，当然，这样做如果处理得法，还是会最后得到正确结果的，但是计算太大了若注意到10、50分别与80、40互为余角，利用诱导公式可得如下解法(四)小结三角函数的恒等变换，由于三角公式较多、用起来也较活，所以应当掌握变形的一般规律，而一般规律的获得主要靠自己的实践以及理性上的升华。通过一个阶段的学习与练习，应是有一定体会的一般说三角变换问题，首先要关注问题中的角，特别是角的和、差、倍、半关系，当然这些关系也不是一成不变的，如适当时候，我们也可以把看作是