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1、第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统第一章第一章电路分析的一般方法电路分析的一般方法武汉理工大学武汉理工大学信息工程学院信息工程学院第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统本章介绍利用图论工具分析电路的方法本章介绍利用图论工具分析电路的方法。利用图论可以方便地列写独立的基尔霍夫定利用图论可以方便地列写独立的基尔霍夫定律方程，并将电路方程表达成矩阵形式。律方程，并将电路方程表达成矩阵形式。电路分析的一般方法电路分析的一般方法第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统本章目录本章目录1.1 网络的图树网络的图树1.2 基本回路和基本割集基本回路和基
2、本割集1.3 关联矩阵关联矩阵1.4 基本回路矩阵基本回路矩阵1.5 基本割集矩阵基本割集矩阵1.6 广义支路及其方程的矩阵形式广义支路及其方程的矩阵形式1.7 用矩阵运算建立节点电压方程用矩阵运算建立节点电压方程电路分析的一般方法电路分析的一般方法第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统电路分析的一般方法电路分析的一般方法 图论图论是数学领域中一个十分重要的分支，是数学领域中一个十分重要的分支，本课程所涉及的只是图论在本课程所涉及的只是图论在电网络电网络中的中的应用，称应用，称网络图论网络图论。网络图论也称。网络图论也称网络网络拓扑拓扑。 为在计算机上为在计算机上列出一个复杂
3、网络的方程列出一个复杂网络的方程，必须用到必须用到网络图论网络图论和和线性代数线性代数的一些概的一些概念。念。 网络图论网络图论已成为已成为电网络电网络计算机辅助分析计算机辅助分析中中重要基础知识重要基础知识和和不可缺少的工具不可缺少的工具。第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统本节的基本要求：本节的基本要求：掌握网络的掌握网络的图图、子图子图、连通图连通图、割集割集和和树树的概念。的概念。 1.1 网络的图网络的图 树树第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统 基尔霍夫定律是集中参数电路的基本定律，它说明基尔霍夫定律是集中参数电路的基本定律，它说明电路中各部
4、分电流和电压之间的约束关系，因为它电路中各部分电流和电压之间的约束关系，因为它只与电路的几何结构有关，我们用拓扑学中的一个只与电路的几何结构有关，我们用拓扑学中的一个重要分支重要分支图论来研究。图论来研究。 因此因此结构约束又叫拓扑约束结构约束又叫拓扑约束。1.1 网络的图网络的图 树树第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统 电路课程学习了几种有效的电路分析方法，电路课程学习了几种有效的电路分析方法， 回路电流法回路电流法 节点电压法节点电压法 当电路结构简单时，可由人工用观察法列出电路方程。当电路结构简单时，可由人工用观察法列出电路方程。 当电路结构日趋复杂时，为了便于计算
5、机辅助电路当电路结构日趋复杂时，为了便于计算机辅助电路分析，有必要研究建立电路方程的方法；为了便于分析，有必要研究建立电路方程的方法；为了便于计算机求解方程，电路方程应使用矩阵形式表示。计算机求解方程，电路方程应使用矩阵形式表示。 本章介绍：本章介绍： 电路方程的矩阵形式极其系统建立法，它是电路方程的矩阵形式极其系统建立法，它是电路的计算电路的计算机辅助设计和分析机辅助设计和分析所需的基本知识。所需的基本知识。1.1 网络的图网络的图 树树第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统 图图( graph) :由由“点点” 和和“线线”组成。组成。“点点”也称为节点或也称为节点或顶点
6、顶点(vertex)，“线线”也称也称为为支路支路或或边边(edge)。 图通常用符号图通常用符号G来表示。来表示。 1.1.1 网络的图网络的图 图图 (a) 电路只含二端元件，对应的图如图电路只含二端元件，对应的图如图 (b)所示。所示。电桥电路及其图电桥电路及其图 123456123456(a)(b)1.1 网络的图网络的图 树树第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统 连通图：连通图：图中任何两个节点之间至少存在一条路径图中任何两个节点之间至少存在一条路径，则称为，则称为连通图连通图 ；否则称为；否则称为非连通图非连通图。含互感电路及其图含互感电路及其图 *134567
7、21234567(a)(b)M1.1 网络的图网络的图 树树第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统子图：子图： 图的一部分称为图的一部分称为子图子图。一个孤立的节点也是。一个孤立的节点也是一个子图。一个子图。 两个子图示例两个子图示例12345623466(a)(b)41.1 网络的图网络的图 树树第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统有向图：有向图：图中的所有支路都指定了方向，则称为有向图；反图中的所有支路都指定了方向，则称为有向图；反之为无向图之为无向图回回 路：路： 从图中某一节点出发，经过若干支路和节点从图中某一节点出发，经过若干支路和节点(均只许均
8、只许经过一次经过一次)又回到出发节点所形成的闭合路径称为回路。又回到出发节点所形成的闭合路径称为回路。1234561.1 网络的图网络的图 树树第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统割割 集：集： 连通图的割集是一组支路集合，并且满足：连通图的割集是一组支路集合，并且满足： (1)如果移去包含在此集合中的全部支路如果移去包含在此集合中的全部支路(但所有节点予但所有节点予以保留以保留)，则留下的图形变成两个彼此分离而又各自连通，则留下的图形变成两个彼此分离而又各自连通的子图（这种子图也可以是一个孤立节点）。的子图（这种子图也可以是一个孤立节点）。 (2)如果留下该集合中的任一支
9、路，则剩下的图形仍是如果留下该集合中的任一支路，则剩下的图形仍是连通的。连通的。条件表明，割集是满足条件的为数最少的支路集合条件表明，割集是满足条件的为数最少的支路集合。 1234561.1 网络的图网络的图 树树第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统1.1 网络的图网络的图 树树 割集定义中的要点割集定义中的要点 移去割集后的图不连通；移去割集后的图不连通； 该不连通图具有两个分离部分（而不是多该不连通图具有两个分离部分（而不是多个）；个）； 割集是一个最小支路集合（少移去其中任割集是一个最小支路集合（少移去其中任意支路的图仍连通）。意支路的图仍连通）。第一章第一章上页上页
10、下页下页现代电路与系统现代电路与系统 割集与非割集示例割集与非割集示例 (a)、(b)为割集。为割集。 (c)为非割集：移去后没变成两个分离部分。为非割集：移去后没变成两个分离部分。 (d)为非割集：留下为非割集：留下6后，剩下的图是非连通图。后，剩下的图是非连通图。12345146233456(a)(b)(c)(d)1.1 网络的图网络的图 树树第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统 线图线图象电路图一样可分成象电路图一样可分成平面图平面图和和非平面图非平面图。 平面图平面图能够画在一个平面上，并且除端点外所有支路都没有能够画在一个平面上，并且除端点外所有支路都没有交叉的图
11、。否则叫交叉的图。否则叫非平面图非平面图。 平面图平面图的的节点节点和和支路支路构成一个构成一个凸多面体凸多面体的的顶点顶点和和棱棱。如果把。如果把其中任意一个面其中任意一个面“扩大扩大”，可把其它的面都包在里面而，可把其它的面都包在里面而摊成摊成平面。平面。 也可以把某些支路拉伸到外侧而摊成平面。如：也可以把某些支路拉伸到外侧而摊成平面。如：1.1 网络的图网络的图 树树第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统 将下图中的将下图中的2、3支路拉伸到外侧，则各支路都不支路拉伸到外侧，则各支路都不交叉，因而也是交叉，因而也是平面图平面图。1.1 网络的图网络的图 树树第一章第一章
12、上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统 再如下面的图，无论把支路伸缩还是把支路拉伸到再如下面的图，无论把支路伸缩还是把支路拉伸到外侧，要想把该图画在平面上，而各支路都不交叉外侧，要想把该图画在平面上，而各支路都不交叉是不可能的，因而是是不可能的，因而是非平面图非平面图。1.1 网络的图网络的图 树树第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统树树(tree)：连通图的树是一个包含全部节点而不形成回路的连连通图的树是一个包含全部节点而不形成回路的连通子图。通子图。1.1.2 树树 同一个电路线图可构成不同的树。同一个电路线图可构成不同的树。123456123456(a)(b)1
13、.1 网络的图网络的图 树树第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统 一个电路线图可构成多少种树呢？一个电路线图可构成多少种树呢？ 一个具有一个具有n个节点的网络，如果每对节点之间都有一条个节点的网络，如果每对节点之间都有一条支路相连，则它的图形共有支路相连，则它的图形共有nn-2种树。种树。 如上面的线图，共有四个节点，因此应有如上面的线图，共有四个节点，因此应有16种树。种树。123456123456(a)(b)1.1 网络的图网络的图 树树第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统如图所示：如图所示：1.1 网络的图网络的图 树树第一章第一章上页上页下页下页
14、现代电路与系统现代电路与系统 选定一种树后，线图的支路就分成了二种：选定一种树后，线图的支路就分成了二种： 树支树支：属于树的支路。：属于树的支路。 连支连支：不属于树的支路。：不属于树的支路。 从上面的从上面的16种树中我们可以看出，它们的树支数目是相同的，种树中我们可以看出，它们的树支数目是相同的，即有即有3条树支。该线图有四个节点，也就是条树支。该线图有四个节点，也就是树支的数目比节点树支的数目比节点数少数少1。 实际上这是一个普遍规律，是由树的构造方法决定的。实际上这是一个普遍规律，是由树的构造方法决定的。 对于有对于有n个节点、个节点、b条支路的图，条支路的图， 树支的数目为：树支的
15、数目为：bt=n-1 连支的数目为：连支的数目为：bl=b-bt=b-n+11.1 网络的图网络的图 树树第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统 本节的基本要求本节的基本要求 掌握基本回路和基本割集的定义；掌握基本回路和基本割集的定义； 理解基本回路理解基本回路KVL的独立性的独立性 理解基本割集理解基本割集KCL的独立性的独立性 理解树支电压的独立性和连支电流的独立性。理解树支电压的独立性和连支电流的独立性。1.2 基本回路和基本割集基本回路和基本割集第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统 一个电路作出其线图，并取定一树，树上没有回路。如一个电路作出其线图
16、，并取定一树，树上没有回路。如果在树上加一条连支，便形成一个回路。该回路是由添上果在树上加一条连支，便形成一个回路。该回路是由添上的连支和若干树支组成的。而且添一连支与某些树支只能的连支和若干树支组成的。而且添一连支与某些树支只能形成一个回路，且只能形成一个回路，若形成二个回路，形成一个回路，且只能形成一个回路，若形成二个回路，则去掉该连支后，其它树支仍能形成回路，这就不是树了。则去掉该连支后，其它树支仍能形成回路，这就不是树了。1.2.1 基本回路基本回路 因此，图上一条连支和若干树支形成一个而且只能形成一因此，图上一条连支和若干树支形成一个而且只能形成一个回路，这种单连支形成的回路叫个回路
17、，这种单连支形成的回路叫单连支回路单连支回路，又叫，又叫基本基本回路回路。 基本回路的数目等于连支数，即基本回路的数目等于连支数，即bl=b-n+1。1.2 基本回路和基本割集基本回路和基本割集第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统图中树支图中树支1、2、3用实线表示；连支用实线表示；连支4、5、6用虚线表示。用虚线表示。 添上连支添上连支4，则连支，则连支4与树支与树支2、3组成一基本回路；组成一基本回路；添上连支添上连支5，则连支，则连支5与树支与树支1、2、3组成一基本回路；组成一基本回路；添上连支添上连支6，则连支，则连支6与树支与树支1、2组成一基本回路。组成一基本
18、回路。1234514623(a)(b)(c)356256141l2l3l1.2 基本回路和基本割集基本回路和基本割集第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统基本回路的性质：基本回路的性质：1l0324uuu(a) (b) 2l03215uuuu(c) 3l0126uuu图中图中3个基本回路个基本回路的的KVL方程为方程为注意：注意：连支的方向就是基本回路的方向。连支的方向就是基本回路的方向。1234514623(a)(b)(c)356256141l2l3l1.2 基本回路和基本割集基本回路和基本割集第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统再增加一个由支路再增加一
19、个由支路1、4、5构成的回路构成的回路:结论：结论：基本回路上列写的基氏电压方程是一组独立方程。独基本回路上列写的基氏电压方程是一组独立方程。独立方程的数目等于连支数。立方程的数目等于连支数。1l0324uuu(a) (b) (c) 2l3l03215uuuu0126uuu不再独立不再独立1 12 23 34 45 56 60154uuu由（由（a）与）与(b)相减得到相减得到1.2 基本回路和基本割集基本回路和基本割集第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统1l0324uuu(a) (b) (c) 2l3l03215uuuu0126uuu(a ) 216uuu3215uuuu
20、324uuu(b ) (c ) 结论：结论：在全部支路电压中，树支电压是一组独立变量在全部支路电压中，树支电压是一组独立变量。上述三个基本回路方程可改写为：上述三个基本回路方程可改写为：这说明这说明、连支电压可由树支电压线性组合得到。、连支电压可由树支电压线性组合得到。 、树支电压不能由其它树支电压得到。、树支电压不能由其它树支电压得到。1.2 基本回路和基本割集基本回路和基本割集第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统1.2.2 基本割集基本割集 基本割集（单树支割集）：基本割集（单树支割集）：C1、C2、C3。一个图可存在不同的割集，一个图可存在不同的割集，只包含一个树支，
21、而其余均为只包含一个树支，而其余均为连支的割集叫连支的割集叫基本割集基本割集，也称，也称单树支割集单树支割集。基尔霍夫电流定律可用于割集：割集电流代数和为零。基尔霍夫电流定律可用于割集：割集电流代数和为零。)1(nbt基本割集数等于树支数：基本割集数等于树支数：1234561234562c123456(a)(b)(c)3c1c1.2 基本回路和基本割集基本回路和基本割集第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统基本割集的性质基本割集的性质3c(a) (b) (c) 0543iii06542iiii0651iii1c2c以以树支的电流方向作参考树支的电流方向作参考，写出基本割集的电
22、流方程如下：，写出基本割集的电流方程如下：1234561234562c123456(a)(b)(c)3c1c1.2 基本回路和基本割集基本回路和基本割集第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统由由1、2、4构成的割集构成的割集0421 iii（由（由(b)-(a)得到）得到）不再独立不再独立1c3c(a) (b) (c) 0543iii06542iiii0651iii2c结论：结论：基本割集上列写的基氏电流方程是一组独立方程。独基本割集上列写的基氏电流方程是一组独立方程。独立方程的数目等于树支数。立方程的数目等于树支数。1234561234562c123456(a)(b)(c)
23、3c1c1.2 基本回路和基本割集基本回路和基本割集第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统结论：结论：在全部支路电流中，连支电流是一组独立变量在全部支路电流中，连支电流是一组独立变量(a) (b) (c) 0543iii06542iiii0651iii(a ) (b ) (c ) 543iii6542iiii651iii改变写法改变写法这说明这说明、树支电流可由连支电流线性组合得到。、树支电流可由连支电流线性组合得到。 、连支电流不能由其它连支电流得到。、连支电流不能由其它连支电流得到。1.2 基本回路和基本割集基本回路和基本割集第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代
24、电路与系统 本本节的基本要求节的基本要求 熟练掌握关联矩阵的定义熟练掌握关联矩阵的定义 掌握用关联矩阵表达基尔霍夫定律。掌握用关联矩阵表达基尔霍夫定律。 1.3 关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统1.3.1 关联矩阵关联矩阵 设一条支路连接于某两个节点，则称该支路与这两个节点相关设一条支路连接于某两个节点，则称该支路与这两个节点相关联。支路与节点的关联性质可以用所谓关联矩阵描述。对于联。支路与节点的关联性质可以用所谓关联矩阵描述。对于n个个节点节点b条支路的图，定义一个矩阵条支路的图，定义一个
25、矩阵(行号对应节点号，列号对应行号对应节点号，列号对应支路号支路号),矩阵中第矩阵中第i行第行第j列元素定义为：列元素定义为： 不直接相联。与节点当支路，联入；向节点，当支路联出；从节点当支路ijijijaij01, 11.3 关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统例如，对如图所示的电桥电路的图，其节点例如，对如图所示的电桥电路的图，其节点-支路关联矩支路关联矩阵阵A 为为 不直接相联。与节点当支路，联入；向节点，当支路联出；从节点当支路ijijijaij01, 1 011100110001100
26、110001011A支路：支路： 1 2 3 4 5 6节点节点节点节点节点节点节点节点1243651.3 关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统110001100110001011A除去节点除去节点对应对应的第的第4行行 由于任一支路连接于两个节点，它从一个节点连出，必然连由于任一支路连接于两个节点，它从一个节点连出，必然连入另一节点，因此入另一节点，因此A 每一列有两个非零元素，分别是每一列有两个非零元素，分别是1和和-1，每一列元素之和均为零。所以每一列元素之和均为零。所以 A 的任意一行都
27、可由其它的任意一行都可由其它n-1行行来确定，换言之，它只有来确定，换言之，它只有n-1个独立行。可将其任意一行省略个独立行。可将其任意一行省略，得到一个缩减（降价）的矩阵，简称，得到一个缩减（降价）的矩阵，简称关联矩阵关联矩阵，记为记为A 。 011100110001100110001011A支路：支路： 1 2 3 4 5 6节点节点节点节点节点节点节点节点1.3 关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统二、二、 基尔霍夫定律的关联矩阵形式基尔霍夫定律的关联矩阵形式 对上图的节点对上图的节点、列
28、、列KCL方程并方程并写成矩阵形式为：写成矩阵形式为： 000110001100110001011654321iiiiii此方程组的系数矩此方程组的系数矩阵就是该图的关联阵就是该图的关联矩阵矩阵A。1、 KCL的关联矩阵形式的关联矩阵形式它是一个它是一个6元的单列矩阵，为了书写方便，写成单行矩阵的转置元的单列矩阵，为了书写方便，写成单行矩阵的转置叫叫支路电流矢量支路电流矢量。TiiiiiiI654321令1243651.3 关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统推广到一般情况：推广到一般情况：将将
29、b个支路电流写成支路电流向量个支路电流写成支路电流向量则则 AI0叫做叫做矩阵形式的基氏电流方程矩阵形式的基氏电流方程。TbiiiiI3211.3 关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统2、 KVL的关联矩阵形式的关联矩阵形式654321321110100001010011101uuuuuuuuunnn此方程的系数矩阵等于图的此方程的系数矩阵等于图的关联矩阵关联矩阵A 的转置。的转置。选选右图节点右图节点为参考点，用节点电压为参考点，用节点电压之差表示支路电压，并写成矩阵形式之差表示支路电压，并写
30、成矩阵形式TnnnnuuuU321令叫做叫做节点电压矢量节点电压矢量。TuuuuuuU654321令叫做叫做支路电压矢量支路电压矢量。110001100110001011A1243651.3 关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统推广到一般情况：推广到一般情况： 设网络有设网络有b条支路，条支路，n个节点，第个节点，第n号节号节点为参考节点支路电压和节点电压向量分别记作：点为参考节点支路电压和节点电压向量分别记作： T21buuuUT1,21nnnnnuuuU则节点电压与支路电压的关系即则节点电压
31、与支路电压的关系即KVL：UUAnT1.3 关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式关联矩阵及基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统 本节的基本要求本节的基本要求 掌握基本回路矩阵的定义掌握基本回路矩阵的定义 掌握用基本回路矩阵表达基尔霍夫定律掌握用基本回路矩阵表达基尔霍夫定律1.4 基本回路矩阵及基尔霍夫定律方程的基本回路矩阵形式基本回路矩阵及基尔霍夫定律方程的基本回路矩阵形式第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统1.4.1 基本回路矩阵基本回路矩阵B 。不包含支路，基本回路，但二者方向相反；包含支路，基本回路，且二者方向相同
32、；包含支路基本回路jijijibij01, 1 支路与基本回路的关联性质可以用支路与基本回路的关联性质可以用基本回路矩阵基本回路矩阵B描述描述 。定。定义义B 的行对应基本回路，列对应支路，的行对应基本回路，列对应支路，B的元素定义为的元素定义为 1.4 基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统 。不包含支路，基本回路，但二者方向相反；包含支路，基本回路，且二者方向相同；包含支路基本回路jijijibij01, 1与图所选基本回路对应的基本回路矩阵为与图所选基本回路对应的基本回路矩阵为 如果支路按先树支后连
33、支顺序编号，并且基本回路编号顺如果支路按先树支后连支顺序编号，并且基本回路编号顺序与连支相同，则在矩阵序与连支相同，则在矩阵 B 的右边存在单位矩阵。的右边存在单位矩阵。100011010111001110B支路：支路： 1 2 3 4 5 6回路回路4回路回路5回路回路6 1234561.4 基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统1.4.2 基氏定律的基本回路矩阵形式基氏定律的基本回路矩阵形式 对右图所示基本回路列写对右图所示基本回路列写KVLKVL方程，并方程，并写成矩阵形式写成矩阵形式 000100
34、011010111001110654321uuuuuu其系数矩阵是上图的其系数矩阵是上图的基本回路矩阵基本回路矩阵1、KVL的基本回路矩阵形式的基本回路矩阵形式TuuuuuuU654321其中是是支路电压矢量支路电压矢量100011010111001110B 1234561.4 基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统推广到一般情况：推广到一般情况：设设U 表示支路电压向量，基氏电压定表示支路电压向量，基氏电压定律的基本回路矩阵形式为律的基本回路矩阵形式为 0BU01lttltltUUBUUB 如果支路编号
35、使得矩阵如果支路编号使得矩阵B的右边出现单位矩阵，则上述的右边出现单位矩阵，则上述KVL方方程可写成程可写成ttlUBU用树支电压表示连支电压用树支电压表示连支电压1.4 基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统对下图所示基本割集列写对下图所示基本割集列写KCL方程并写成矩阵形式方程并写成矩阵形式 321654011111110iiiiii(a) 654321654100010001011111110iiiiiiiii(b)系数矩阵是基本回路系数矩阵是基本回路矩阵矩阵B 的转置。式的转置。式(b)就是基尔霍
36、夫电流定就是基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形律的基本回路矩阵形式。式。2、KCL的基本回路矩阵形式的基本回路矩阵形式TliiiI654其中是是连支电流矢量连支电流矢量。再扩展到全再扩展到全部支路电流部支路电流100011010111001110B 1234561c2c3c1.4 基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统推广到一般情况推广到一般情况: 基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式为基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式为 IIBlT如果支路编号使得矩阵如果支路编号使得矩阵B的右边出现单位矩阵，则上述的右边出
37、现单位矩阵，则上述KVL方程可写成方程可写成ltlTtIIIB1用连支电流表示树支电流：用连支电流表示树支电流：lTttIBI 1.4 基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵基本回路矩阵及基氏定律的基本回路矩阵第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统 本节的基本要求本节的基本要求 理解基本割集矩阵的定义理解基本割集矩阵的定义 掌握用基本割集矩阵表达基尔霍夫定律掌握用基本割集矩阵表达基尔霍夫定律1.5 基本割集矩阵及基尔霍夫定律方程的基本割集矩阵形式基本割集矩阵及基尔霍夫定律方程的基本割集矩阵形式第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统1.5.1 基本割集矩阵基本割
38、集矩阵C。不包含支路，基本割集，但二者方向相反；包含支路，基本割集，且二者方向相同；包含支路基本割集jijijicij01, 1 支路与基本割集的关联性质可以用基本割集矩阵支路与基本割集的关联性质可以用基本割集矩阵C描述描述 。矩阵的行对应基本割集，列对应支路，矩阵的行对应基本割集，列对应支路， C的元素定义为：的元素定义为： 1.5 基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统如果支路按先树支后连支顺序编号，并且基本割集编号顺序如果支路按先树支后连支顺序编号，并且基本割集编号顺序与连支相同，则在矩阵与连支相同
39、，则在矩阵 C 的左边存在单位矩阵。的左边存在单位矩阵。011100111010110001C支路：支路： 1 2 3 4 5 6割集割集1割集割集2割集割集3与图所选基本割集对应的基本割与图所选基本割集对应的基本割集矩阵为：集矩阵为： 1234561c2c3c1.5 基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统1.5.2 基尔霍夫定律的基本割集矩阵形式基尔霍夫定律的基本割集矩阵形式 对右图所示的基本割集列写基对右图所示的基本割集列写基尔霍夫电流定律方程并写成矩尔霍夫电流定律方程并写成矩阵形式为：阵形式为： 0
40、00011100111010110001654321iiiiii上述方程系数矩阵恰是上述方程系数矩阵恰是上图的基本割集矩阵。上图的基本割集矩阵。1、KCL的基本割集矩阵形式的基本割集矩阵形式011100111010110001 1234561c2c3c1.5 基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统推广到一般情况：推广到一般情况：设设I表示支路电流向量，则基尔霍夫电流定表示支路电流向量，则基尔霍夫电流定律的基本割集矩阵形式是律的基本割集矩阵形式是 0CI01lltltltICIIICCI如果支路编号使得矩阵
41、如果支路编号使得矩阵 C 的左边出现单位矩阵，则上述的左边出现单位矩阵，则上述KVL方程可写成方程可写成lltICI用连支电流表示树支电流：用连支电流表示树支电流：1.5 基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统对右图所示的基本回路列电压方程，并写对右图所示的基本回路列电压方程，并写成矩阵形式得成矩阵形式得654321011111110uuuuuu再扩展到全部支路电压：再扩展到全部支路电压：654321321011111110100010001uuuuuuuuu2、KVL的基本割集矩阵形式的基本割集矩阵形式
42、系数矩阵是基本割集矩阵系数矩阵是基本割集矩阵C的转置。的转置。该式就是基尔霍夫电压定律的基本割该式就是基尔霍夫电压定律的基本割集矩阵形式。集矩阵形式。011100111010110001 1234561.5 基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统推广到一般情况：设树支电压向量为推广到一般情况：设树支电压向量为Ut，则基尔霍夫电压定则基尔霍夫电压定律的基本割集矩阵形式是律的基本割集矩阵形式是 UUCtTlttTltUUUC1 如果支路编号使得矩阵如果支路编号使得矩阵 C 的左边出现单位矩阵，则上述的左边出现
43、单位矩阵，则上述KVL方程可写成方程可写成tTllUCU 用树支电压表示连支电压：用树支电压表示连支电压：1.5 基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵基本割集矩阵及基氏定律的基本割集矩阵第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统 本节的基本要求本节的基本要求 掌握广义支路的定义掌握广义支路的定义 掌握广义支路方程的矩阵形式掌握广义支路方程的矩阵形式 理解定义广义支路的目的。理解定义广义支路的目的。1.6 广义支路及其方程的矩阵形式广义支路及其方程的矩阵形式第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统 广义支路又称为标准或一般支路。其中包括阻抗、电压源和广义支路又称为标
44、准或一般支路。其中包括阻抗、电压源和电流源。一个广义支路在图中对应一条支路。电流源。一个广义支路在图中对应一条支路。(k=1,b)()()()()()()()()()(sUsIsZsIsZsUsIsIsZsUSkSkkkkSkSkkkk第第k条广义支路的方程可以表示成条广义支路的方程可以表示成 +-)(sUsk)(sIsk)(sIk)(sZk+-)(sUk)(),(sIsUkk)a()b(1.6 广义支路及其方程的矩阵形式广义支路及其方程的矩阵形式第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统b条支路的支路方程矩阵形式是条支路的支路方程矩阵形式是(省略了复变量省略了复变量s)： Sb
45、SSSbSSbbbbUUUIIIZZZIIIZZZUUU212121212121000000000000简写为简写为 SSUZIZIU1.6 广义支路及其方程的矩阵形式广义支路及其方程的矩阵形式第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统其中其中U 、I支路电压向量与支路电流向量；支路电压向量与支路电流向量；SSIYUYUI若矩阵若矩阵Z存在逆矩阵存在逆矩阵Z-1，令，令Y= Z-1 ，并乘并乘U=ZI-ZIS+US两端，得两端，得 diag21bYYYYTSbSSSUUUU21T21SSbSSIIIIdiagZ21bZZZ支路源电压向量支路源电压向量支路阻抗矩阵支路阻抗矩阵支路源
46、电流向量支路源电流向量支路导纳矩阵支路导纳矩阵1.6 广义支路及其方程的矩阵形式广义支路及其方程的矩阵形式第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统 本节的基本要求本节的基本要求 掌握用关联矩阵形式的基尔霍夫定律方程建掌握用关联矩阵形式的基尔霍夫定律方程建立节点电压方程的步骤。立节点电压方程的步骤。1.7 用矩阵运算建立节点电压方程用矩阵运算建立节点电压方程第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统0 0 SSnTAIAYUUAYA令令 TAYAYn(称节点导纳矩阵称节点导纳矩阵)SSSnAIAYUI 0 0)(SSIYUYUAAI 移项后得移项后得 SSnAIAY
47、UUAYA T这就是节点电压方程这就是节点电压方程AI0关联矩阵形式的基氏方程关联矩阵形式的基氏方程SSIYUYUI广义支路的矩阵方程广义支路的矩阵方程UUAnT支路电压方程支路电压方程节点电压方程简化为节点电压方程简化为SnnnIUY1.7 用矩阵运算建立节点电压方程用矩阵运算建立节点电压方程第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统例例1 1 利用本节方法列写图利用本节方法列写图(a)(a)所示电路的节点电压所示电路的节点电压方程。方程。+-+-3A1S2S3S2V3V(a)1A例题例题第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统解：解：1) 按广义支路定义，对照
48、图按广义支路定义，对照图(a)作出网络的图作出网络的图 (b)2)根据图写出关联矩阵根据图写出关联矩阵A 110011A+-+-3A1S2S3S2V3V(a)(b)1321A例题例题第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统3) 根据网络图并对照图根据网络图并对照图(a)写出写出 A301TSIV320TSUS321 diagY+-+-3A1S2S3S2V3V(a)(b)1321A例题例题第一章第一章上页上页下页下页现代电路与系统现代电路与系统(6) 求解上式得节点电压求解上式得节点电压 V0909. 37273. 3V855223121nnnUUU(5) 按按YnUn=ISn列出节点电压方程列出节点电压方程A85S52232n1nUUA85TSSSnAIAYUIS5223T AYAYn4) 计算计算例题例题