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1、重点展现难点突破易错提醒 第四章三角形重点展现难点突破易错提醒三角形重点知识展现1、 由不在同一直线上的三条线段由不在同一直线上的三条线段 ， 所组成的图形叫做所组成的图形叫做 。 三角形有 条边、 个内角和 个顶点。“三角形”可以用符号“ “。2、三角形三个内角的和等于 .3、锐角三角形：锐角三角形： 内角都是内角都是 . . 直角三角形：有直角三角形：有 内角是直角内角是直角 钝角三角形：有钝角三角形：有 内角是钝角内角是钝角注：小于注：小于9090的角是锐角；等于的角是锐角；等于9090的角是直角；大于的角是直角；大于9090的角是钝角。的角是钝角。4 4、直角三角形两个锐角互余互余（互
2、余即两角之和等于90）。a首尾顺次相接首尾顺次相接三角形三角形三三三三180三个三个锐角锐角一个一个一个重点展现难点突破易错提醒5 5、三角形的任意两边之和、三角形的任意两边之和 第三边第三边 三角形的任意两边之差三角形的任意两边之差 第三边第三边6 6、在三角形中，连接一个、在三角形中，连接一个 与它对边与它对边 的的线段，叫做这个三角形的中线线段，叫做这个三角形的中线7 7、在三角形中，一个内角的在三角形中，一个内角的 与它的对与它的对边相交，这个角的边相交，这个角的 与交点之间的与交点之间的 叫叫做三角形的角平分线。做三角形的角平分线。8 8、从三角形的一个顶点向它的对边所在直线、从三角
3、形的一个顶点向它的对边所在直线作作 ， 和和 之间的线段叫做三角之间的线段叫做三角形的高线。形的高线。9 9、能够完全重合的 ， 称为全等图形 。全等图形的形状和大小完全相同。1010、能够、能够 叫做全等三角形。叫做全等三角形。全等三角形的全等三角形的 相等，相等， 相等。相等。大于大于小于小于顶点顶点中点中点顶点顶点角平分线角平分线线段线段垂线垂线顶点顶点垂足垂足两个图形两个图形完全重合的两个三角形完全重合的两个三角形对应边对应边对应角对应角重点展现难点突破易错提醒考点一：三角形【原理】 由不在同一直线上的三条线由不在同一直线上的三条线段段 ，所组成的图形叫所组成的图形叫做做 。 三角形有
4、 条边、 个内角和 个顶点。“三角形”可以用符号“ 如三角形ABC记作“ ”a首尾顺次相接首尾顺次相接三角形三角形三三三三三三ABC重点展现难点突破易错提醒【例题】(1)如上图如上图 三条边分三条边分别是别是 ， 三个内角分别是三个内角分别是 ，三个顶，三个顶点分别是点分别是 。(2)图图4-3有有 三三 个三角形，分别是个三角形，分别是 。 【解题思路】 (2)有三个三角形，分别是ABCAB,AC,BC,ABC点点A,点点B,点点CDABCABDBCDABCABDBCD重点展现难点突破易错提醒考点精炼如图，图中有多少个三角形，把它们用符号表示出如图，图中有多少个三角形，把它们用符号表示出来。
5、来。【解】：共有共有6个三角形，分别是个三角形，分别是ABCABDADEACEACDABE重点展现难点突破易错提醒考点二：三角内角和定理【原理】.三角形三个内角的和等于在 中，【例1】1.已知三角形ABC中，一个角是65度，一个角是75度，则第三个角是 度。2.在三角形中有一个角是30度，且另外两个角中一个角是另一个角的2倍，则另外两个角分别是 。3.在直角三角形中，一个角是45度，另一个角是 度 180ABC+=180ABC4050,10045重点展现难点突破易错提醒重点展现难点突破易错提醒【例题解析】重点展现难点突破易错提醒考点精炼/6518018065115301800180115303
6、5ABCDEOBCAOEEOBEAA EE 解：又重点展现难点突破易错提醒考点三：判断三角形的形状【原理】锐角三角形：锐角三角形： 内角都内角都是是 . . 直角三角形：有直角三角形：有 内角是直角内角是直角 钝角三角形：有钝角三角形：有 内角是钝角内角是钝角【例】【例】 判断判断 的形状的形状=30 ,ABC ABC180 ,301507575ABCABCBCBCABC 【例题解析】因为所以又因为所以，所以是锐角三角形三个三个锐角锐角一个一个一个重点展现难点突破易错提醒考点精炼:1:2:3ABC已知判断 ABC的形状12:3=223180ABCBAAAA 【例题解析】因为：所以， C=3 A
7、又因为 A+ B+ C=180所以，解得 A=30这时 B=60 ， C=90所以 ABC是直角三角形重点展现难点突破易错提醒考点四：直角三角形两个锐角互余【原理】直角三角形两个锐角互余在三角形ABC中，如果 ,那么 【例】【例题解析】=90C90AB 12直角三角形的两个锐角之差是，则较大的一个锐角是多少度？(12)9051,51xxx解：设较大的一个锐角是x ,则另一个锐角是（x-12)根据直角三角形的两个锐角互余可知解得即较大的一个锐角是重点展现难点突破易错提醒考点精炼90 ,3,Rt ABCCABAB 在中，求的度数90903,39022.5909022.567.5Rt ABCCABA
8、BBBBAB 解：在中所以又因为所以所以重点展现难点突破易错提醒考点五：三角形的三边关系【原理】三角形的任意两边之和 第三边三角形的任意两边之差 第三边【例】有两根长度分别为有两根长度分别为5cm5cm和和8cm8cm的木棒，用长度的木棒，用长度为为2cm2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么为什么? ?长度为长度为13cm13cm的木棒呢的木棒呢? ?22+5=78,+ =cm【例题解析】取长度为的木棒时，由于出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形。取长度为13cm的木棒时，由于5 8 13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角
9、形。大于大于小于小于重点展现难点突破易错提醒考点精炼判断三条线段的长度能否构成三角形？（1）3,5,9 （2）5,6,11 （3）5,6,9+ =+分析：用较短的两条线段之和与最长线段作比较解：（1）不能构成三角形 因为3 59所以这三条线段能构成三角形重点展现难点突破易错提醒考点六：三角形的中线、角平分线和高【原理】（1）在三角形中，连接一个在三角形中，连接一个 与它对边与它对边 的的线段线段，叫做这个三角形的中，叫做这个三角形的中线线（2 2）在三角形中，一个内角的）在三角形中，一个内角的 与它的与它的对边相交，这个角的对边相交，这个角的 与交点之间的与交点之间的 叫做三角形的角平分线。叫
10、做三角形的角平分线。（3 3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作作 ， 和和 之间的线段叫做三角之间的线段叫做三角形的高线形的高线顶点顶点顶点顶点角平分线角平分线中点中点线段线段垂线垂线顶点顶点垂足垂足重点展现难点突破易错提醒（1）如图三角形）如图三角形ABC中中因为因为AE是三角形是三角形ABC的的中线中线所以所以BE=EC=(或或BC=2BE=2EC)（2）如图三角形）如图三角形ABC中中因为因为AD是三角形是三角形ABC的的角平分线角平分线所以所以1122BAC （3）如图三角形）如图三角形ABC中中因为因为AF是三角形是三角形ABC的的高线高线
11、所以所以AFBC12BC重点展现难点突破易错提醒三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心三角形三条角平分线交于一点三角形的三条高所在的直线交于一点在分别一个三角形中动手画一画？重点展现难点突破易错提醒【例】三角形的一条中线将这个三角形分成两个三角形，这两个三角形的面积有什么关系？【分析】根据等底等高的两个三角形的面积相等，可得这两个三角形的面积相等。总结：三角形的中线分得的两个三角形面积相等，都等于整个大三角形面积的一半。三角形的中线重点展现难点突破易错提醒【例】填空【例】填空（1 1）线段）线段ADAD是是 的角平分线，那么的角平分线，那么 = = ，线段，线段AEAE是是的中线，那么
12、的中线，那么BE=BE= = BC = BC。(2)(2)在在 中，中， ABCBAD12ABCABC50 ,72 ,ACBDABCABD 是的一条角平分线，求的度数。三角形的角平分线DACBACCE12重点展现难点突破易错提醒50 ,72 ,18050725811=58 =2922ACABCBDABCABDABC 解：又是的一条角平分线重点展现难点突破易错提醒三角形的高ABCBC如图，在中，边上的高是 ，AB边上的高是 ，在 BCE中，BE边上的高是 ，EC边上的高是 ，在ACD中，AC 边上的高是 ，CD边上的高是 。 ADCFBEAFCECEBECDAC重点展现难点突破易错提醒【例题1】
13、5 3 2BMABCAMMCABMAB BMAMCBMBC BMMCABMCBMAB BCcm 解：是的中线的周长是的周长是与的周长差是2 c m重点展现难点突破易错提醒【例题2】60,1140202211603022/2030203050BO COOBCABCOCBACBDEBCDOBOBCEOCOCBDOBEOC 解:在 ABC中 A=80， ABC=40由三角形的内角和是180ACB=180 - AABC 1808040分别是 ABC、 ACB的角平分线又重点展现难点突破易错提醒【例题3】2116 4 12()22116 3()22113 4 6(cm)22S ABCBC AEcmADA
14、BCBDDCBCcmS ABDBD AE 解：是的中线重点展现难点突破易错提醒考点精炼：三角形的中线、角平分线和高重点展现难点突破易错提醒【例题解析】重点展现难点突破易错提醒重点展现难点突破易错提醒考点七：全等图形的概念及性质【原理】能够完全重合的 ， 称为全等图形 。全等图形的形状和大小完全相同。【例】 两个图形两个图形重点展现难点突破易错提醒重点展现难点突破易错提醒考点精炼C重点展现难点突破易错提醒考点八：全等三角形的概念及性质【原理】能够能够 叫做全等三叫做全等三角形。全等三角形的角形。全等三角形的 相等，相等， 相等相等【例】【例】完全重合的两个三角形完全重合的两个三角形对应边对应边对
15、应角对应角重点展现难点突破易错提醒重点展现难点突破易错提醒考点精炼【解】对应角是对应边是,ADABCBCDACBDBC与，与与ABDCACDBBCCB与与与重点展现难点突破易错提醒考点九：全等三角形性质的应用【原理】全等三角形的对应边相等，对应角相等全等三角形的对应边相等，对应角相等【例】重点展现难点突破易错提醒重点展现难点突破易错提醒考点精炼重点展现难点突破易错提醒重点展现难点突破易错提醒考点十：探索三角形全等的条件（1 1）【原理】 的两个三角形全等，简写“边边边”或“ ”【例】三边分别相等三边分别相等SSS重点展现难点突破易错提醒重点展现难点突破易错提醒考点精炼重点展现难点突破易错提醒【
16、原理】 及其 分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ ”【例】考点十一：探索三角形全等的条件（2 2）夹边夹边两角两角ASA重点展现难点突破易错提醒重点展现难点突破易错提醒考点精炼重点展现难点突破易错提醒【原理】 分别相等且其中 的 的两个三角形全等，简写成“角角边”或“ ”【例】考点十二：探索三角形全等的条件（3 3）对边相等对边相等一组等角一组等角两角两角AAS重点展现难点突破易错提醒ACBAD解：因为平分重点展现难点突破易错提醒考点精炼重点展现难点突破易错提醒考点十三：探索三角形全等的条件（4 4）【原理】 及其 分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“ ”两边两边夹角夹角
17、SAS重点展现难点突破易错提醒考点精炼重点展现难点突破易错提醒考点十四：添加使两个三角形全等的条件【原理】添加条件时满足其中一个即可 【例】SSSASA AASSAS重点展现难点突破易错提醒重点展现难点突破易错提醒考点精炼C重点展现难点突破易错提醒【原理】利用三角形全等测量距离，就是通过构【原理】利用三角形全等测量距离，就是通过构造造 ，利用，利用 相等，测得两点间的距离相等，测得两点间的距离考点十五：利用三角形全等测距离全等三角形全等三角形对应边对应边重点展现难点突破易错提醒重点展现难点突破易错提醒考点精炼B重点展现难点突破易错提醒【原理】利用三角形全等，对应边相等【例】考点十六：利用三角形全等测距离（应用题）重点展现难点突破易错提醒重点展现难点突破易错提醒考点精炼重点展现难点突破易错提醒