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1、不等式选讲A组一、选择题1、不等式|+|的解集为（ ）A B C D【答案】：D【解析】由绝对值的几何意义知， |+|表示数轴上的点与点5的距离和数轴上的点与点-3的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选D。2、不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）A BC D【答案】：A【解析】：因为对任意x恒成立，所以，解得或。二、填空题3、设，则的最小值为 。【答案】：9【解析】：由柯西不等式可知。4、 若，则的最小值是_。【答案】： 【解析】：。5、若函数的最小值为5，则实数a=_。【答案】：或【解析】：由绝对值的性质知的最小值在或时取得，若，或，经检验均不合；若，则，或，经检验合题
2、意，因此或。6、若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 。【答案】：【解析】：当时，；当时，；当时，；综上可得，所以只要，解得或，即实数的取值范围是。7、已知函数f（x）=x2+ax+4，g（x）=x+1+x1.（1）当a=1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围.【解析】（1）当时，不等式等价于.当时，式化为，无解；当时，式化为，从而；当时，式化为，从而.所以的解集为.（2）当时， .所以的解集包含，等价于当时.又在的学科&网最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.8.已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集
3、包含，求的取值范围。【解析】：（1）当时， 或或 或 （2）原命题在上恒成立； 在上恒成立；在上恒成立；。9、已知函数=,=。（1）当=2时，求不等式的解集；（2）设-1，且当，)时，,求的取值范围。解：(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30。设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图像如图所示，当且仅当x(0，2)时，y0；所以原不等式的解集是x|0x2。(2)当x时，f(x)1a；不等式f(x)g(x)化为1ax3，所以xa2对x都成立；故a2，即；从而a的取值范围是。10.若，且.（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并说明理由。【解析】：（1）由，得，且当时
4、等号成立，则，且当时等号成立，故的最小值为。（2）由(1)知：，由于6，从而不存在，使得。 11、设均为正数，且，证明：（1）； （2）。解：(1)由得；由题设得，即；从而有，故。(2)因为，故，即所以1。B组一、选择题1、已知关于x的不等式的解集不是空集，则的取值范围是（ ）A B C D 【答案】：D【解析】：方法一：由绝对值的几何意义知，表示数轴上的点与点1的距离和数轴上的点与点-的距离之差，要使不等式的解集不是空集，结合数轴可知。方法二：令，因为不等式的解集不是空集，则有，又从而，解得。2、若，且恒成立，则的最小值是（ ）A B C D【答案】：B 【解析】：，而，即恒成立，得。二、填
5、空题3、若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_。【答案】：【解析】：令，则当时，；当时，则；当时，；综合可知；所以要使不等式恒成立，则需，解得。4、对于实数x，y，若，则的最大值为 。【答案】：52【解析】：因为，则。5、已知，若关于x的方程有实根，则的取值范围是 。【答案】：【解析】：由已知；又因为，从而有；解得。6、若实数满足，则的最小值为_。【答案】： 【解析】：，即，。7、已知，的最小值为。（1）求的值；（2）解关于的不等式。【解析】：（1）因为，则有；当且仅当且即时等号成立；故m的值为6。（2） 由（1）得，即；两边平方有；解得；故不等式的解集为。8.设函数=。（）证明：
6、；（）若，求的取值范围。【解析】：(1)证明：由，有（2）由已知当时，由解得；当时，由由解得；综上，的取值范围是。9、设正数x，y，z满足。（1）求证：；（2）求的最小值。【解析】：（1）证明：由柯西不等式得：；（2）解：由已知所以由柯西不等式得： ；故的最小值为。10、已知函数。（1）当时，求不等式的解集；（2）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围。【解析】：（1）当时，化为。当，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得；所以解集为。（2）由题设可得，所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，从而的面积为；则有，故，所以的取值范围为。C组一、选择题
7、1、设不等的两个正数满足，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】：B 【解析】：因为，则，而，所以，解得。2、已知，设，则下列判断中正确的是（ ）A B C D【答案】：B 【解析】：，即，得，即，得，所以。二、填空题3、若是正数，且满足，则的最小值为_。 【答案】： 【解析】：因为，则有。4、设a，b，c均为正数且，则之最小值为_。【答案】：9【解析】：设向量 = (，) ， =(，) 因为，则有 ()9 。5、已知实数满足，则a的最小值与最大值之差为 。【答案】：-1【解析】：由柯西不等式，得，即，由条件，可得，解得，当且仅当时等号成立，故最小值与最大值之差为-1。6.对于，当非零实数
8、满足，且使最大时，的最小值为 。【答案】：-2【解析】：设，则；则由得；因为关于a的二次方程，即；解得；当时，；，当t的值为时，同法可求得故的最小值为-2。三、解答题7、已知，函数的最小值为4（1）求的值；（2）求的最小值。【解析】:（1）当且仅当时等号成立。又，所以，所以。（2）由柯西不等式得：即，当且仅当时等号成立所以当时。8、已知实数满足，且有。求证：。【解析】：，是方程的两个不等实根，则，得，而即，得，所以，即。9、已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。【解析】:（证法一）因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得 所以 故.又 所以原不等式成立。 当且仅当a=b=c时，式和式等号成立。当且仅当时，式等号成立。即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。 证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得所以 同理 故 所以原不等式成立. 当且仅当a=b=c时，式和式等号成立，当且仅当a=b=c，时，式等号成立。即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。 10、设正数满足。（1） 求的最大值；（2）证明：。【解析】：（1）解：将平方可得： 即，由基本不等式可知： 所以，等号成立时，。（2）证明：由柯西不等式可得： 即所以，又由（1）可得： ，所以。