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1、 分类讨论A组 1.已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于()A. B. C.0 D.或0答案：D解析： 不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有直线ykx1与直线x0垂直(如图)或直线ykx1与直线y2x垂直(如图)时，平面区域才是直角三角形.由图形可知斜率k的值为0或.2.点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A BC D答案：D 解析：将化为，当a0时，准线，由已知得，12，a.当a0时，准线，由已知得6，抛物线方程为，故选D.3.某人根据自己爱好，希望从W，X，Y，Z中选2个不同字母
2、，从0,2,6,8中选3个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母Z和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有()A198个 B180个 C216个 D234个 答案：A解析：不选2时，有A A72个；选2，不选Z时，有CCAA72个；选2时，2在数字的中间，有ACC36个，当2在数字的第三位时，AA18个根据分类加法计数原理知，共有72723618198个，故选A.4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x2)f(x2)，当0x2时，f(x)1log2(x1)，则当0x4时，不等式(x2)f(x)0的解集是()A(0,1) (2,3) B(0,1)(3
3、,4)C(1,2)(3,4) D(1,2)(2,3)答案：D解析：当0x2时，x20，不等式可化为即 解得1x2，当2x4时，x20，不等式可化为由函数f(x)是奇函数，得f(x)f(x)，又f(x2)f(x2)，则f(x)f(x22)f(x22)f(4x)，因为04x2，不等式可化为解得2x3，所以原不等式的解集为(1,2)(2,3)，故选D.5.如图，在ABC中，A30，BC2，D是AB边上的一点，CD2，BCD的面积为4，则AC的长为 .答案：4或2 解析：设BCD，则在BCD中，SBCD22sin 4，即sin ,则cos ,BD2204816或32，即BD4或4.当BD4时， 即si
4、n B，此时，即AC4；当BD4时，即sin B，此时，即AC2.综上，AC的长为4或2.6.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_.答案:.解析:，又在上单调递增，即实数的取值范围是-4,0.7.已知a0且a1，若函数f(x)loga(ax2x)在3，4上是增函数，则a的取值范围解析:由已知可得ax2x0在3，4上恒成立，故9a30，解得a.若0a1，则ylogat在(0，)上单调递减，由题意知tax2x在3，4上为减函数，故4，解得a，这与a矛盾，不合题意；若a1，则ylogat在(0，)上单调递增，由题意知tax2x在3，4上为增函数，故3，解得a，因为a1，所以a的取值范围是(1，)
5、8.已知函数f(x)sin x(x0),g(x)ax(x0). (1)若f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围； (2)当a取(1)中的最小值时,求证：g(x)f(x)x3.解析：(1)解令h(x)sin xax(x0),则h(x)cos xa.若a1,h(x)cos xa0,h(x)sin xax(x0)单调递减,h(x)h(0)0,则sin xax(x0)成立.若0a0,h(x)sin xax(x(0,x0)单调递增,h(x)h(0)0,不合题意.若a0,结合f(x)与g(x)的图象可知显然不合题意.综上可知,a的取值范围是1,).(2)证明当a取(1)中的最小值为1时,g(x)f(x
6、)xsin x.设H(x)xsin xx3(x0),则H(x)1cos xx2.令G(x)1cos xx2,则G(x)sin xx0(x0),所以G(x)1-cos x-x2在0,)上单调递减,此时G(x)1-cos x-x2G(0)0,即H(x)1-cos x-x20,所以H(x)x-sin x-x3在x0,)上单调递减.所以H(x)x-sin x-x3H(0)0,则x-sin xx3(x0).所以,当a取(1)中的最小值时,g(x)f(x)x3.9.在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线(0)交与M,N两点，（）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（）y轴上是否存在点P，使得当k
7、变动时，总有OPM=OPN？说明理由。【答案】（）或（）存在解析：（）由题设可得，或，.，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为，即.故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为，即. 故所求切线方程为或. 5分（）存在符合题意的点，证明如下： 设P（0，b）为复合题意得点，直线PM，PN的斜率分别为. 将代入C得方程整理得. . =. 当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故OPM=OPN，所以符合题意. 考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力10.已知函数f（x）= ()当a为何值时，x轴为曲线 的切线；（）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，
8、讨论h（x）零点的个数【答案】（）；（）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.【解析】试题分析：（）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.试题解析：（）设曲线与轴相切于点，则，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线. 5分（）当时，从而， 在（1，+）无零点. 当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.当时，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.()若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（
9、0，1）无零点. ()若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=。 若0，即0，在（0,1）无零点. 若=0，即，则在（0,1）有唯一零点； 若0，即，由于，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.10分综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点. 12分考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想B组1.已知实数a0，且a1，函数f(x)loga|x|在(，0)上是减函数，函数g(x)ax，则下列选项正确的是() A.g(3)g(2)g(4) B.g(3)g(4)g(2) C.g(4
10、)g(3)g(2) D.g(2)g(3)1,故g(3)g(2)(a1)0,所以g(3)g(2)，又g(4)g(3)(a1)0，所以g(4)g(3)，故有g(4)g(3)g(2).2.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距离为1,则SA与平面ABC所成角的大小为()A.30B.60C.30或60D.45或60答案：C解析:球心位置有以下两种情况:球心在三棱锥内部;球心在三棱锥外部.球心在三棱锥内部时,三棱锥为正三棱锥,设O为ABC的中心,在ABC中,可求得OA=,所以可得OA=2,SO=3,SA与平面ABC所成的角即为SAO
11、,由tanSAO=,得SAO=60.同理可得第二种情况中所成角为30.3. 设函数=,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得0，则的取值范围是（ ）A.-，1） B. -，） C. ，） D. ，1）【答案】D 【解析】试题分析：设=，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，0，当时，0，所以当时，=，当时，=-1，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得1，故选D.4.已知函数，若方程恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 答案：B思路：考虑通过图像变换作出的图像（如图），因为最多只能解出2个，若要出七个根，则，所以，解得：5.已知等比数列an中，a
12、21，则其前3项的和S3的取值范围是()A(，1 B(，0)(1，)C3，) D(，13，)【答案】D设等比数列an的公比为q，则S3a1a2a3a21q，当q0时，S31q123；当q0时，若x1，f(x)0，f(f(x)f(lg x)lg(lg x)0lg x1，x10成立若x1，f(x)0时f(f(x)0有且只有一个实数解当a1, f(x)0，f(f(x)f(lg x)lg(lgx)0，x10成立若0x1，f(x)0，f(f(x)lg01.ax1.x11，a1时有解1a0或1ab0)的离心率为，且过点(1，)(1)求椭圆C的方程；(2)设与圆O：x2y2相切的直线l交椭圆C于A，B两点，
13、M为圆O上的动点，求ABM面积的最大值，及其取得最大值时，直线l的方程解：(1)由题意可得解得所以椭圆C的方程是y21.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x，代入椭圆方程解得y，此时|AB|，ABM面积的最大值为.当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，直线l：ykxm.圆心(0，0)到直线l的距离d，所以4m23(1k2)由方程组消去y，得(13k2)x26km3m230.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则12(3k2m21)0，x1x2，x1x2，所以|AB|2.当且仅当9k2，即k时等号成立此时ABM面积的最大值为2.因为0，所以直线l的方程为yx1或者yx1.10.为回馈顾
14、客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ()顾客所获的奖励额为60元的概率； ()顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； (2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解
15、(1)设顾客所获的奖励额为X.()依题意，得P(X60)，即顾客所获的奖励额为60元的概率为.()依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X60)，P(X20)，即X的分布列为X2060P所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)206040(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50
16、，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100PX1的期望为E(X1)206010060，X1的方差为D(X1)(2060)2(6060)2(10060)2.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080PX2的期望为E(X2)40608060，X2的方差为D(X2)(4
17、060)2(6060)2(8060)2.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.C组1.已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，则AB中元素的个数为()A77 B49 C45 D30答案:C解析：分类讨论：当x10时，y1可取1，0，1，y2和x2可取2，1，0，1，2.此时x1x2的值为2，1，0，1，2；y1y2的值为3，2， 1，0，1，2，3.(x1x2，y1y2)共有5735(个)当x11时，y10，x2和y2可取2
18、，1，0，1，2，此时x1x2的值为1，0，1，2，3，y1y2的值为2，1，0，1，2.其中x1x2取1，0，1，2时与上面重复，x1x23，y1y2的值为2，1，0，1，2.则(x1x2，y1y2)共有515(个)当x11时，y10，同x11，y10时总个数为355545.2.若的一个对称中心为，则的值所在区间可以是（ ） A. B. C. D.【答案】B解析：其中，且，因为一个对称中心为（a,0),所以，故，当K=0时，选择B3.设函数在上存在导数，对任意的，有 ，且在上若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D.答案：B解析：构造函数： 在为增函数。 说明：是奇函数。所以是上的
19、增函数。 所以，4.定义在上的函数满足，当时，函数，若，不等式成立，则实数的取值范围（ ）A B C D答案:C解析:由题意，当时， ，当时，所以当时，又，因此当时，当时，即当时，最小值为8，令，得或，由易得是极小值点，是极大值点，由题意，故选C5.已知函数f(x)|ln x|，g(x)则方程|f(x)g(x)|1实根的个数为_.答案：4解析：令h(x)f(x)g(x)，则h(x)当1x2时，h(x)2x0，故当1x2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y|h(x)|和y1的图象如图所示.由图象可知|f(x)g(x)|1的实根个数为4.6.关于的方程有唯一的解，则实数的取值范围是 .答案:或
20、解析:要使方程有意义，则， 设，若，此时函数在时，单调递减，单调递增，此时两个函数只有一个交点，满足方程有唯一解；若，要使方程有唯一的解，则函数与有相同的切线，设切点为，则，则满足，即，同时，；得，即，与只有一个根，解得，当时，即切点为，则与在处相切，即此时，即，满足条件故答案为：或7.随机将1,2，2n(nN*，n2)这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数.A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2，记a2a1，b2b1. (1)当n3时，求的分布列和数学期望； (2)令C表示事件“与的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P(C)； (3)对(2)中的事件C，表示C的
21、对立事件，判断P(C)和P()的大小关系，并说明理由.解：(1)当n3时，的所有可能取值为2，3，4，5.将6个正整数平均分成A，B两组，不同的分组方法共有C20种，所以的分布列为2345PE()2345.(2)和恰好相等的所有可能取值为：n1，n，n1，2n2.又和恰好相等且等于n1时，不同的分组方法有2种；和恰好相等且等于n时，不同的分组方法有2种；和恰好相等且等于nk(k1，2，n2)(n3)时，不同的分组方法有2C种；所以当n2时，P(C)，当n3时，P(C).(3)由(2)知当n2时，P()，因此P(C)P().而当n3时，P(C)P()，理由如下：P(C)P()等价于.用数学归纳法
22、来证明：1当n=3时，式左边=4（2+）=4（2+2）=16，右边=20，所以式成立.2假设n=m(m3)时式成立，那么，当n=m+1时，左边=CC右边.即当nm1时式也成立.综合1，2得：对于n3的所有正整数，都有P(C)0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|. (1)求C的方程； (2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.解：(1)设Q(x0，4)，代入y22px得x0.所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l
23、与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0).代入y24x得y24my40.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故AB的中点为D(2m21，2m)，|AB|y1y2|4(m21).又l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)、N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23).故MN的中点为E，|MN|y3y4|.由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)2.化简得m210，解得m1或m1.所求直线l的
24、方程为xy10或xy10.9.设，函数.（）当时，求函数的单调增区间；（）若时，不等式恒成立，实数的取值范围.解：（1）当时， 当时，在内单调递增；当时，恒成立，故在内单调递增；的单调增区间为。 （2）当时，恒成立，在上增函数。故当时，。 当时，（）当，即时，在时为正数，所以在区间上为增函数。故当时，且此时 （）当，即时，在时为负数，在时为正数，所以在区间上为减函数，在上为增函数。故当时，且此时。 （）当，即时，在时为负数，所以在区间上为减函数，故当时，。 所以函数的最小值为。由条件得此时；或，此时；或，此时无解。综上，。 10.已知函数.求的单调区间；若，且对任意恒成立，求的最大值；对于在区
25、间上任意一个常数，是否存在正数，使得成立？请说明理由.解析：易得，函数定义域为，且当时，即在区间上是增函数，当时，即即在区间上是减函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2） 由，变形整理得： 令，则，若时，g(x)在增函数，故K最大值为2.若由，由，即在上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上有最小值，为，于是转化为恒成立，求的最大值，令，当时， 单调递减，当时，单调递增.在处取得最大值.，的最大值为4.假设存在这样的满足题意，则由，要找一个使式成立，只需找到当时，函数的最小值满足即可.，令，取，在时，在时，下面只需证明：在时，成立即可，又令，则在时为增函数.符合条件，即存在正数满足条件.21