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1、2.4 等比数列等比数列如果能将一张厚度为如果能将一张厚度为0.050.05mm的报纸对折，的报纸对折，再对折，再对折再对折，再对折依次对折依次对折5050次，你次，你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥？间建一座桥？情境一情境一: :折纸折纸问题情境:对折一次对折二次对折三次对折四次.对对折折 次次n对折对折纸的纸的次数次数n纸的纸的层数层数 24816.情境二情境二: :庄子庄子天下篇天下篇中写到：中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”。设木棰长度为设木棰长度为1木棰木棰长度长度第一天取半第一天取半第二天取半第二天
2、取半第三天取半第三天取半第四天取半第四天取半.121418116.第第 天取半天取半n观察上述情境中得到的这几个数列，看有观察上述情境中得到的这几个数列，看有何共同特点何共同特点? 2, 4, 8, 16, ; ;81,41,21, 1共同特点：共同特点：从从第二项第二项起，每一项与起，每一项与前一项前一项 的的比比都等于都等于同一个常数同一个常数1, 20, 202, 203,； -2, 2, -2, 2, . 讲授新课讲授新课1. 等比数列的定义等比数列的定义: 一般地，若一个数列从一般地，若一个数列从第二项第二项起，每一起，每一项与它的项与它的前一项前一项的的比比等于等于同一个常数同一个
3、常数，这个，这个数列就叫做数列就叫做等比数列等比数列.这个这个常数常数叫等比数列的叫等比数列的公比公比，用字母，用字母q 表示表示. (q0) 2.等比数列定义的符号语言等比数列定义的符号语言:qaann 1(q为常数，且为常数，且q0 ；n22且且nN*)或或 1nnaqa(q为常数，且为常数，且q0 ；nN*)(1) 1，3，9，27， (3) 5， 5， 5， 5，(4) 1，-1，1，-1，(2) ,161,81,41,21(5) 1，0，1，0， 练练 习习 判断下列各组数列中哪些是等判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪比数列，哪些不是？如果是，写出首项些不是？如果是，写出首项a1
4、1和公比和公比q, , 如如果不是，说明理由。果不是，说明理由。是是是是是是是是a1=1, q=3a1=5, q=1a1=1, q= -1不是不是11122aq，(6) 0，0，0，0，(7) 1, a, a2, a3 , (8) x0, x, x2, x3 , (9) 1，2，6，18，不是不是不是不是小结：小结：判断一个数列是不是等比数列，判断一个数列是不是等比数列，主要是由定义进行判断：主要是由定义进行判断：a1=x0, q=x是是不是不是1nnaa看看 是不是同一个常数？是不是同一个常数？注意：注意：(2)公比公比q一定是由一定是由后项比前项后项比前项所得，而不所得，而不 能用前项比后
5、项来求，且能用前项比后项来求，且q0；(1) 等比数列等比数列an中中, an0；(3)若若q1，则该数列为，则该数列为常数列常数列 (4)(4)常数列常数列 a, a , a , a , 0a时时, ,既是等差数列，又是等比数列既是等差数列，又是等比数列;0a时时, ,只是等差数列，而不是等比数列只是等差数列，而不是等比数列. .思考：思考：如果在如果在a与与b的中间插入一个数的中间插入一个数G，使，使a, G, b成等比数列，那么成等比数列，那么G应该满足什么条件？应该满足什么条件？2反之，若反之，若即即a,G,b成等比数列成等比数列.a, G, b成等比数列成等比数列,2abG 则则,G
6、baG abG (ab0) 分析：分析： 由由a, G, b成等比数列得：成等比数列得： abGabGGbaG 2(ab0) 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a, G，b成等比数列，那么称这个数成等比数列，那么称这个数G为为a与与b的的等比中项等比中项. 3.等比中项：等比中项：2(0)(0)GabGababGabab 是 、 的等比中项即：即： 注意：注意：若若a，b异号则无等比中项异号则无等比中项,若若a，b同号则有两个等比中项同号则有两个等比中项.湖南省长沙市一中卫星远程学校“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、
7、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。14580（）求与的等比中项babccab求的等比中项，且与是）已知（,272603b练习练习：湖南省长沙市一中卫星远程学校“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2、等比数列的通项公式：、等比数列的通项公式： 法一：归纳法法一：归纳法qaaqaa1212212323qaqaaqaa313434qaqaaqaa由此归纳等比数列的通项公式可得：由此归纳等比数列的通项公式可得： 11nnqaa等等
8、比比数数列列等等差差数数列列daa12daa213daa314由此归纳等差数列由此归纳等差数列的通项公式可得：的通项公式可得： dnaan) 1(1类比类比湖南省长沙市一中卫星远程学校“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2、等比数列的通项公式：、等比数列的通项公式： 累乘法累乘法qaa12qaa23qaa3411nnqaaqaann1共共n 1 项项）等等比比数数列列法二：累加法法二：累加法daa12daa23daa34dnaan) 1(1daann1+）等等差差数
9、数列列类比类比湖南省长沙市一中卫星远程学校“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。拓展：拓展：11mmqaa11nnqaamnmnmnqqaqaaa1111mnmnqaa可得可得dmaam) 1(1dnaan) 1(1dmnaamn)( dmnaamn)( 可得可得等差数列等差数列等比数列等比数列类比类比湖南省长沙市一中卫星远程学校“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点
10、的“群众性治安防控工程”。等比数列等比数列 注意：注意：（1 1）等比数列的首项不为）等比数列的首项不为0 0； （2 2）等比数列的每一项都不为）等比数列的每一项都不为0 0，即，即 （3 3） q=1q=1时，时，anan为常数列；为常数列；0na 以以a1为首项，为首项，q为公比的等比数列为公比的等比数列an的通的通项公式为：项公式为：4.等比数列的通项公式：等比数列的通项公式：5.5.等比数列通项公式的推广：等比数列通项公式的推广：7.7.等比数列通项公式的应用：知三求一等比数列通项公式的应用：知三求一111nnmnnnnmaaaqqqaaa，6.6.等比数列的公比公式：等比数列的公比
11、公式：1*11(,0)nnaaqa qnN；*(,0,)n mnmmaaqaqm nN；湖南省长沙市一中卫星远程学校“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 例、一个等比数列的第例、一个等比数列的第3项与第项与第4项分别是项分别是12与与18,求它的第求它的第1项与第项与第2项项. 解：设这个等比数列的第解：设这个等比数列的第1项是项是 ,公比是公比是q ，那么，那么82331612qaa3161a23q解得，解得， ， 因此因此316 答：这个数列的第答：这个数列的第
12、1项与第项与第2项分别是项分别是 与与 8.1a1831qa1221qa练习：练习： 求下列各等比数列的通项公式：求下列各等比数列的通项公式： a15, 且且2an13an .35(2)1 ,9aa课堂小结课堂小结等比数列等比数列名称名称等差数列等差数列概念概念常数常数通项通项公式公式1通项通项公式公式2中项中项()nmaan m d*( ,)n mN从第从第2项起项起,每一项与它每一项与它前前一项的一项的差差等于等于同一个常数同一个常数公差公差(d )d 可正、可负、可零可正、可负、可零从第从第2项起项起,每一项与它每一项与它前前一项的一项的比比等于等于同一个常数同一个常数公比公比(q )q
13、可正、可负、可正、可负、不可零不可零1(1)naand*()nN11nnaaq*(0)qnN，n mnmaa q*(0,)qn mN，A2Aabab是 、 的等差中项2(0)GabGabab是 、 的等比中项湖南省长沙市一中卫星远程学校“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。练习练习在等比数列在等比数列an中，中，12166,128,nnaaa a 且且q=2，求，求a1和和n.湖南省长沙市一中卫星远程学校“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平
14、台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。判断等比数列的方法判断等比数列的方法:1、定义法、定义法2、等差中项法、等差中项法湖南省长沙市一中卫星远程学校“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例、例、有三个数成等比数列，若它们的积有三个数成等比数列，若它们的积等于等于64，和等于，和等于14，求此三个数？，求此三个数？注意：注意：等比数列中若三个数成等比数列，可以设为等比数列中若三个数成等比数列，可以设为 2,
15、a aq aq 或, ,a aqaq练习：已知三个数成等比数列，它们的积为练习：已知三个数成等比数列，它们的积为2727， 它们的立方和为它们的立方和为8181，求这三个数。，求这三个数。湖南省长沙市一中卫星远程学校“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例、例、有四个数，若其中前三个数成等比数列，有四个数，若其中前三个数成等比数列，它们的积等于它们的积等于216，后三个数成等差数列，它们，后三个数成等差数列，它们的和等于的和等于12，求此四个数？，求此四个数？注意：注
16、意：等比数列中若四个数成等比数列，等比数列中若四个数成等比数列，不能不能设为设为 33,aaaq aqqq因为这种设法表示公比大于零！因为这种设法表示公比大于零！练习：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三练习：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。，求这四个数。可以设这可以设这四个数为四个数为a,b,c,d15,9,3,1或或0,4,8,16湖南省长沙市一中卫星远程学校“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平
17、台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。结论：如果是项数相同的等结论：如果是项数相同的等比数列，那么也是等比数列比数列，那么也是等比数列 na nbnnba 证明：设数列证明：设数列 的公比为的公比为p， 的公比为的公比为q，那么数列，那么数列 的第的第n项与第项与第n+1项分项分别为别为 与与 ，即，即 与与 因为因为它是一个与它是一个与n无关的常数，所以是一个以无关的常数，所以是一个以pq为公比的等比数列为公比的等比数列 na nbnnba 1n11n1qbpan1n1qbpa1n11)pq(ban11)pq(ba,pq)pq(
18、ba)pq(bababa1n11n11nn1n1n 特别地特别地，如果是如果是 等比数列，等比数列，c是不等是不等于的常数，那么数列于的常数，那么数列 也是等比数列也是等比数列 nanac湖南省长沙市一中卫星远程学校“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。探究探究对于例中的等比数列与，数列也一定是等比数列吗？ na nbnnba是湖南省长沙市一中卫星远程学校“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共
19、安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。a a若若aan nbbn n 是项数相同的等比数列，是项数相同的等比数列，nnba都是等比数列都是等比数列则则aan nb bn n 和和b b若若aan n 是等比数列，是等比数列，c c是不等于是不等于0 0的常数，的常数， 那么那么cacan n 也是等比数列也是等比数列等比数列的性质湖南省长沙市一中卫星远程学校“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。性质 : 在等比数列 中， 为公比， 若 且naq*,Nqp
20、nm qpnm那么： 等比数列的性质nmpqa aa a推论: 在等比数列 中， 为公比， 若 且nad*,Npnmpnm2那么： 2nma aap特殊地特殊地: 211( )(2)nnnaaan湖南省长沙市一中卫星远程学校“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。7.三个数成等比的设法：三个数成等比的设法：a/q,a,aq；四个；四个数成等比的错误设法：数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为为什么？什么？) 8.等比数列等比数列an的任意等距离的项构成
21、的的任意等距离的项构成的数列数列仍为仍为等比数列。等比数列。 湖南省长沙市一中卫星远程学校“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。9.an为等差数列，则为等差数列，则nac (c0)是等比数列。是等比数列。10.bn（bn0）是等比数列，则）是等比数列，则logcbn (c0且且c 1) 是等差数列。是等差数列。 湖南省长沙市一中卫星远程学校“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网
22、应用为重点的“群众性治安防控工程”。典型例题：典型例题：32415na, 6,15a1求为等比数列，、数列例aaaa6)(151-314111qqaqaqaann）（解： 除除2q21q2512或解得得：qq4a1a2q4-a16-a21q3131，时，当，时，当湖南省长沙市一中卫星远程学校“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。典型例题：典型例题：变式、在变式、在160160与与5 5中间插入中间插入4 4个数，使它们同这两个数成个数，使它们同这两个数成等比数列等比数列湖南省长沙市一中卫星远程学校“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。典型例题：典型例题：变式、在变式、在160160与与5 5中间插入中间插入4 4个数，使它们同这两个数成个数，使它们同这两个数成等比数列等比数列10a20a40a80a21q3215,160a543251661，则解：设qaaa