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1、第五章第五章 中心极限定理中心极限定理主要内容：主要内容：1 1、独立同分布中心极限定理、独立同分布中心极限定理2 2、车贝雪夫不等式、车贝雪夫不等式3 3、德莫佛拉普拉斯中心极限定理、德莫佛拉普拉斯中心极限定理)Chebyshev(不等式或或2,DXEX方差,022/|XP22/1|XPp139 p139 切比雪夫不等式）切比雪夫不等式）设随机变量设随机变量X X 有数学期望有数学期望对任意对任意不等式不等式成立，成立，则称此式为切比晓夫不等式则称此式为切比晓夫不等式lim1xnnXPniin（独立同分布下的中心极限定理）（独立同分布下的中心极限定理）x-2t -dte212设设X X1 1
2、, ,X X2 2, , X Xn n , , 相互独立，相互独立，且服从同一分布，且服从同一分布，具有相同的期望和方差具有相同的期望和方差., 2 , 12nkXDXEkk则则 x( (棣莫佛拉普拉斯中心极限定理）棣莫佛拉普拉斯中心极限定理）)1 (limxpnpnpYPnndtext2221nY设随机变量设随机变量 服从参数为服从参数为10, ppn的二项分布的二项分布则对任意的则对任意的，有，有x xnkknXY116.2 16.2 棣莫佛拉普拉斯中心极限定理棣莫佛拉普拉斯中心极限定理)()(npqnpanpqnpb).,(pnBnY设随机变量设随机变量当当 n n 充分大时有：充分大时
3、有：knkbkaknnqpCbYaP设随机变量设随机变量X X 的数学期望的数学期望E(X)=E(X)=方差方差 2()D X则由切比雪夫不等式有则由切比雪夫不等式有 | 3 PX 例例 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的重量是随机的. .假设每箱平均重假设每箱平均重5050千克，标准差为千克，标准差为5 5千千克克. .若用最大载重量为若用最大载重量为5 5吨的汽车装运，试利用中心极吨的汽车装运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于载的概率大于0.977.0.977.
4、 解解 设设 X Xi i ，i=1,2,i=1,2,n ,n 是装运的第是装运的第i i 箱重量箱重量( (单位单位: :千克千克), ), n n 箱的总重量为箱的总重量为nnXXXT21n n是所求箱数是所求箱数. ., 5)(,50)(iiXDXE):(,5)(,50)(千克单位nTDnTEnn 可将可将X Xi i ，i=1,2,i=1,2,n ,n 视为独立同分布的随机变量视为独立同分布的随机变量. .),2(77. 9)101000(nn故故, 2101000nn解得解得,0199.98n即一辆车最多可以装即一辆车最多可以装98箱箱. 由独立同分布中心极限定理知，由独立同分布中心
5、极限定理知，Tn 近似服从正态分近似服从正态分布布 .)25,50(nnN55050005505000nnnnTPTPnn15 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占索赔户占20%，以表示在随意抽查的，以表示在随意抽查的100个索赔户中因个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的数。被盗而向保险公司索赔的数。（1）写出的概率分布；）写出的概率分布；（2）求被盗索赔户不少于）求被盗索赔户不少于14户且不多于户且不多于30户的概率的户的概率的近似值。近似值。1001001 (100, 0.2) 0.2 0.8 0,1,2,100kkkXbP XkC
6、k解（ ）2( ) 100 0.220 ( ) 100 0.2 (1 0.2) 16E XD X （ ）根据棣莫佛根据棣莫佛拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 1420()3020143044()XE XPXPD X()1.52.5(2.5)( 1.5)()XE XPD X (2.5)(1.5) 10.9940.933 10.927 1616 计算机在进行加法时每个加数取整数（取最为接近于计算机在进行加法时每个加数取整数（取最为接近于它的整数）。设所有的取整误差是相互独立的，且它它的整数）。设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在们都在0.5, 0.50.5, 0.5上服从均匀分布。上服
7、从均匀分布。（1）若将）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值小于个数相加，问误差总和的绝对值小于15的的概率是多少？概率是多少？（2）最多几个数加在一起可使误差总和的绝对值小于）最多几个数加在一起可使误差总和的绝对值小于10的概率不小于的概率不小于0.90。 解：设Xk为第k个数的取整误差 15001kkSX则10,12kkEXDX从而1500/1211.180DS 0ES 由中心极限定理 015| 151| 15111.18011.180011.3411.180SPSPSPSP 1 2(1.34)10.18202 10,/1201010| 102 () 10.912/12/12/1010()0.951.645443.4212/12/443nkkSXESDSnSPSPnnnnnnn 设，