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1、1极限定理包含的内容很广泛极限定理包含的内容很广泛,只有在相同的条件下进行大量重复试验时只有在相同的条件下进行大量重复试验时, 随机现象的规律性随机现象的规律性才会呈现出来才会呈现出来. 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 研究大量的随机现象研究大量的随机现象, 极限工具无疑极限工具无疑是最有效的方法是最有效的方法.大数定律大数定律 与与 中心极限定理中心极限定理我们先介绍我们先介绍 也就是说也就是说, ,要从随机现象中要从随机现象中寻求必然的法则寻求必然的法则, 应该研究大量随机现象应该研究大量随机现象. 这导致了对极限定理的这导致
2、了对极限定理的研究研究. 其中最重要的有两类其中最重要的有两类: 5.1 大数定律大数定律 2 设随机变量设随机变量X 有期望有期望 和方差和方差， 由切比雪夫不等式可看出由切比雪夫不等式可看出：DX 越小越小, ,则事件则事件|X-E( (X)|)| 0, ,证证 ( (仅就连续的情形给出证明仅就连续的情形给出证明) )则则 0, , 设设X 的密度函数为的密度函数为 f ( x), ,dxxfXEXPEXX |)()| (xdxfEXxEXX |22)()(dxxfEXxEXX |22)()(1.2 DX即即随机变量随机变量X 集中在期望附近的可能性越大集中在期望附近的可能性越大.1)(2
3、2 EXx 在未知分布的情形下在未知分布的情形下估计估计 P(|(|X- -EX| | ) )例例1 已知已知E(X)=100, D(X)=30,试估计试估计X落在落在(70,130)内的概率内的概率解解: P70X130=P|X 100|30由契比雪夫不等式由契比雪夫不等式,得得:23030130|100| XP 0.967 契比雪夫不等式给出了在随机变契比雪夫不等式给出了在随机变量量X的分布未知情况下的分布未知情况下,事件事件|X | 0, 有有 证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式切比雪夫不等式证证 由由Chebyschev不等式不等式,
4、 2111)1(1)| )1(1| ( niininiiiXnDXnEXnP2211 nDXnii21 nC,1n1由极限夹逼准则知结论成立由极限夹逼准则知结论成立. 任意事件的概率任意事件的概率 1 1特别地特别地, 改方差的限定条件为改方差的限定条件为: 设设Xn 独立且有相同的期望独立且有相同的期望 和方差和方差 2 , 则则 0, 有有 .1)|1| (lim1 niinXnP 在独立和同期望、方差的条件下在独立和同期望、方差的条件下, n 个随机变量的算术个随机变量的算术平均值当平均值当 n 时时, 依概率收敛于它的期望依概率收敛于它的期望 . 即存在常数即存在常数 C , 使得使得
5、 DX i C , i =1, 2, ,当当n 充分大时几乎充分大时几乎不再是随机的了不再是随机的了 Y Y 8 切比雪夫大数定律表明，独立随机变切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列量序列Xn，如果方差有共同的上界，则，如果方差有共同的上界，则niiXn11与其数学期望与其数学期望niiXEn1)(1 偏差很小的偏差很小的 概率接近于概率接近于1. niiXn11随机的了，取值接近于其数学期望的概率接随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于近于1.即当即当n充分大时，充分大时，差不多不再是差不多不再是切比雪夫大数定律给出了切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述平均值稳定性的科学描述9
6、,21,ni2. 设随机变量序列, 相互独立，它们满足切贝谢夫大数定律, 则 的分布可以是_.iii,iiii1iiN, 0（A）服从上的均匀分布.服从参数为的泊松分布.服从参数为的泊松分布.服从正态分布10贝努里大数定律贝努里大数定律 设设n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发生发生nA次次, 在每次试验中事件在每次试验中事件A发生的概率发生的概率为为p,则则 0,有有:1|lim pnnPAn11令令 不发生不发生次次第第发生发生次次第第AiAiXi , 0 , 1AniinX 1nnXnAnii 11由契比雪夫大数定律得出结论由契比雪夫大数定律得出结论E(Xi)=p, D(Xi)
7、=p(1 p)又又12关于贝努利定理的说明关于贝努利定理的说明:. , 表表达达了了频频率率的的稳稳定定性性它它以以严严格格的的数数学学形形式式率率收收敛敛于于事事件件的的概概率率依依概概生生的的频频率率贝贝努努利利定定理理表表明明事事件件发发pnA 故而当故而当n很大时很大时, 事件发生的频率与概率有事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小较大偏差的可能性很小. 在实际应用中在实际应用中, 当试验当试验次数很大时次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替便可以用事件发生的频率来代替事件的概率事件的概率. Bernoulli大数定律提供了通过试验来确定事件概率方大数定律提供了通过试验来确定事
8、件概率方法的理论依据法的理论依据, 即用频率估计概率是合理的即用频率估计概率是合理的. 例例3 设随机变量设随机变量Xk (k=1,2,.)相互独立相互独立,具有同一分布具有同一分布: E(Xk)=0, D(Xk)= 2, 且且E(Xk4) (k=1,2,.)存在存在,试证明试证明: 0, 1|1|lim212 nkknXnP证证: 令令Yk=Xk2 (k=1,2,.)由已知由已知, Yk (k=1,2,.)相互独立相互独立 E(Yk)=E(Xk2)=D(Xk)+E2(Xk)= 2D(Yk)=E(Yk2) E2(Yk)=E(Xk4) 4由契比雪夫大数定律由契比雪夫大数定律: 0,有有1|1|l
9、im21 nkknYnP1|1|lim212 nkknXnP15下面给出的独立同分布下的大数定律，不要下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在求随机变量的方差存在. 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2, 独立同分布，具有有独立同分布，具有有限的数学期限的数学期E(Xi)=, i=1,2,，则对任给，则对任给 0 ，定理定理3（辛钦大数定律辛钦大数定律）1|1|lim1 niinXnP 这为在不知分布的情形下这为在不知分布的情形下, 取多次重复观测的算术平均值取多次重复观测的算术平均值 作为作为 EX 的较为精确的估计提供的较为精确的估计提供了了理论保证理论保证. X 辛钦
10、大数定律为寻找随机变量的期望值辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值, 提供了提供了一条实际可行的途径一条实际可行的途径: 则当则当 n 时时, 对对X 的的 n 次观察结果的算术平均值次观察结果的算术平均值 以概率收敛于以概率收敛于 X 的期望值的期望值 EX = .X 若视若视 X i 为重复试验中对随机变量为重复试验中对随机变量 X 的的第第 i 次观察次观察, 16这一讲我们介绍了大数定律这一讲我们介绍了大数定律 大数定律以严格的数学形式表达了随大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：机现象最根本的性质之一：它是随机现象统计规律的具体表现它是随机现象统计规律的具体表现.大数
11、定律在理论和实际中都有广泛的应用大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.平均结果的稳定性平均结果的稳定性17 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响产生总影响. 例如例如, 炮弹射击的落点与目标的炮弹射击的落点与目标的偏差偏差, 就受着许多随机因素的影响就受着许多随机因素的影响.5. .2 中中 心心 极极 限限 定定 理理如瞄准时的误差，如瞄准时的误差，空气阻力所产生的误差，空气阻力所产生的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等炮弹或炮身结构所引起的误差等等.对我们来说重要的是这些对我们来说重要的是这些随机因素的总影响随机因素的总影响. .中心
12、极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景18 观察表明观察表明, 如果一个量是如果一个量是由大量由大量相互独立的随机因素的影响所造成相互独立的随机因素的影响所造成, 而每一个别因而每一个别因素在总影响中所起的作用不大素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都则这种量一般都服从或近服从或近似服从正态分布似服从正态分布. 我们就来研究独立我们就来研究独立随机变量之和随机变量之和所特有的规律性问所特有的规律性问题题: 当当 n 无限增大时无限增大时, 这个和的极限分布是什么呢这个和的极限分布是什么呢? ? 在什么条件下极限分布会是正态的呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？ 自从高斯指出测量误差服
13、从正态分布之后自从高斯指出测量误差服从正态分布之后, 人们发现人们发现正态分布在自然界中极为常见正态分布在自然界中极为常见. 在一般情况下在一般情况下, 我们很难求出我们很难求出 X1 + X2 + + Xn 分布的分布的确切形式确切形式, 但当但当 n 很大时很大时, 可以求出这个和的近似分布可以求出这个和的近似分布.19 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量它的标准化的随机变量111()()nnkkkknnkkXEXZVarX的分布函数的极限的分布函数的极限. 可以证明，
14、满足一定的条件，上述极可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布限分布是标准正态分布. 中心极限定理中心极限定理这就是下面要介这就是下面要介绍的绍的20 在概率论中，习惯于把和的分布在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做收敛于正态分布这一类定理都叫做中心中心极限定理极限定理.我们只讨论几种简单情形我们只讨论几种简单情形. 下面给出的独立同分布随机变量序列下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称的中心极限定理，也称列维一林德伯格列维一林德伯格（LevyLindberg）定理）定理.21xttde222 1 设设 Xi 是独立同分布的随机变量序列是独立同分
15、布的随机变量序列, 定理定理1( (独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理) ) )(x XN( (0, 1) ); niiX1 N( (n , n 2) ); N( ( , 2/ /n) ). niiXn11nXnnii/11 可近似认为可近似认为: : 且且EXi= , DXi= 2 0, i =1, 2, niiX1n2 n niiXE1niiXD1)(lim)(lim1xnnXPxFniinnn nnXXnii 1的分布函数的分布函数 Fn( (x) )满足满足 的标准化的标准化随机变量随机变量 则则 0 , n 个独立同分布的随机变量个独立同分布的随机变量, 不论原来服从什
16、么分布不论原来服从什么分布, 当当 n 充分充分大时大时, 其其和的标准化和的标准化 总可近似地认为是服从总可近似地认为是服从标准正态分布标准正态分布.X正是大量随机变量服从正态分布的理论解释正是大量随机变量服从正态分布的理论解释反映了中心反映了中心极限定理的极限定理的客观背景客观背景22例如例如,nnbnnXnnaP PaX 20500 ), ), )20500(1)20500(XPXP)21002000020500(12001iiXP n = 200200002010)2001500(1 = 0. 0002 . 由独立同分布中心极限定理知由独立同分布中心极限定理知24 其平均使用寿命其平均
17、使用寿命为为 20 小时小时. 使用中使用中, 当一个器件损坏后立即更换另一个新的当一个器件损坏后立即更换另一个新的.)20202000202020200()20000(11nnnnXnnPXPnkknkk 由于每个器件的由于每个器件的寿命寿命 Xi ( (i=1,2, ) )为随机变量为随机变量, 则预算应为则预算应为 na 元，元，,95. 0)2000(1nkkXP解解 设年计划进设年计划进 n 个这种器件个这种器件, E( (Xi) ) = 1/ 依题意即求依题意即求 n 使得使得 例例2 某种器件的寿命某种器件的寿命( (单位单位: :小时小时) )服从服从 E( ( ),), 试求
18、在年计划中为此器件做多少试求在年计划中为此器件做多少预算预算, 才可有才可有95 % % 以上的把握保证一年够用以上的把握保证一年够用. 已知每个这种器件的进价为已知每个这种器件的进价为 a 元元 , 按按2000工作小时计算工作小时计算查表可知查表可知且相互独立地服从且相互独立地服从 E( ( ), ), D( (Xi) )= 1/ 2 = 20 = 1/20 , = 400 , ,05. 0)20000(1nkkXP即即由独立同分布中心极限定理知由独立同分布中心极限定理知,)()100(nnn )100(nn 0. 05 , n 较大时较大时, 近似于近似于0,64. 1100nn解得解得
19、 n 118 ,故年计划预算不应少于故年计划预算不应少于 118a 元元. 25例例3 某大型商场每天接待顾客某大型商场每天接待顾客10000人人,设每位顾客的消费额设每位顾客的消费额(元元)服从服从200, 2000上的均匀分布上的均匀分布,且顾客的消费额是相互独且顾客的消费额是相互独立的立的, 试求该商场的销售额试求该商场的销售额(元元)在平均销在平均销售额上、下浮动不超过售额上、下浮动不超过30000元的概率元的概率解解: 设第设第k位顾客的消费额为位顾客的消费额为Xk (k=1,2,10000)商场日销售额为商场日销售额为X,则则 100001kkXX26由已知由已知,11002200
20、0200)( kXE12180012)2002000()(22 kXD 100001)()(kkXEXE=10000 1100=11 106由独立同分布中心极限定理由独立同分布中心极限定理,有有: 100001)()(kkXDXD121800100002 27P11106 30000X11106+30000121800100300001218001001011121800100300006 XP1)12180010030000(2 2 (0.58) 1 0.4428事件事件 A 发生的次数发生的次数 n 设随机变量序列设随机变量序列Xn 相互独立相互独立, 且都且都服从参数为服从参数为 p(
21、(0p1) )的的二二点分布点分布, , 则对任意的则对任意的 x, , 有有=n 2=n )1(lim1xpnppnXPniintdext2221 即即 n 很大很大, 0p1是一定值时是一定值时, 二项分布近似于正态分布二项分布近似于正态分布 N( (np, np(1-p) ).定理定理( (De Moivre- -Laplas( (棣莫佛拉普拉斯棣莫佛拉普拉斯) ) ).(x )1(pnppnn 或或 近似服从近似服从 N( (0,1) ), 20个个0- -1分布的和的分布分布的和的分布正态分布是正态分布是二项分布的极限二项分布的极限下面举例说明中心极限定理的应用下面举例说明中心极限定
22、理的应用独立同分布中心极限定理的特例独立同分布中心极限定理的特例 knkbakknnppCbaP)1 ()(1 )1()1()1(pnppnbpnppnpnppnaPn )1()1(pnppnapnppnb 几个几个(0,1)上均匀分布的和的分布上均匀分布的和的分布0 1 2 3xf g h X1 f (x) X1+X2 g(x) X1+X2+X3 h(x) 记住记住 29 求夜晚同时开着的求夜晚同时开着的灯数在灯数在 6800 到到 7200 之间的概率之间的概率. 夜晚每盏灯夜晚每盏灯开着的概率为开着的概率为0.7 , 解解 设设 X 为夜晚同时开着的灯数为夜晚同时开着的灯数, 例例4 一
23、供电网共有一供电网共有 10000 盏功率相同的灯盏功率相同的灯, ,假设各盏灯开、关彼此独立假设各盏灯开、关彼此独立,由由DL定理重要公式定理重要公式知知( (n = 10000, p = 0.7) ), )3 . 07 . 010007 . 0100006800(3 . 07 . 010007 . 0100007200()72006800( ）XP1)36. 4(2 9999. 0应用中的概率解释：应用中的概率解释： )36. 4()36. 4( 尽管该电网负责供应一万盏灯所需的电力尽管该电网负责供应一万盏灯所需的电力, , 则则 X B( (n, ,p) ) 以题意知所求概率为以题意知所
24、求概率为 P( (6800 X 7200) ), 但提供但提供 7200 盏灯所需的电力就能以盏灯所需的电力就能以 99.99 % % 的概率保证需求的概率保证需求. . 30 问总机至少要装多少外线问总机至少要装多少外线, 才才能以能以90%以上的概率保证每部电话需用外线是可以打通以上的概率保证每部电话需用外线是可以打通 ?每部电话约有每部电话约有5%的时间是使用外线的时间是使用外线, - -3 ,90. 0)5. 910()5. 910( k, 0, 1部部电电话话不不使使用用外外线线通通话话第第部部电电话话使使用用外外线线通通话话第第iiXi解解 令令i =1, 2, 200. 例例5
25、某单位由某单位由200部电话部电话, 设每部电话是否使用外线是独立的设每部电话是否使用外线是独立的, 由由DL定理重要公式定理重要公式 )0(2001kXPii)5. 9105. 9105. 9100(2001kXPii, 01,05. 0)1(npXPpi 2001iiXX 是同时使用外线通话的电话总数是同时使用外线通话的电话总数, 由由 3 原则此项原则此项 0 ,90. 0)5. 910(k 只要只要 查表得查表得,282.15.910 k解得解得 95.13 k故至少应安装故至少应安装 14 条外线条外线.问题即为问题即为: 求最小的求最小的 k, 使得使得 P( (0 X k) )
26、0. 90 .31 试以试以99% % 的把握断定的把握断定: 从这批电子元件中任取从这批电子元件中任取6000 只只, 其中其中次品所占比例与次品所占比例与 1/6 的差的差不超过多少？不超过多少？ 例例6 已知一批同型号的电子元件的次品率为已知一批同型号的电子元件的次品率为1/6,这时这时 6000 只电子元件中次品数的范围是什么只电子元件中次品数的范围是什么? 解解 设设6000之中次品数为之中次品数为X , 则则 X B(n, p), n = 6000, p = 1/6, 6000只元件中次品所占的比例为只元件中次品所占的比例为 ,nX由题意知要求由题意知要求 , 使得使得,99. 0
27、)| ( pnXP)1(|)1 (| ()| (ppnppnpnXPpnXP ,99. 01)1(2)1()1(ppnppnppn ,995. 0299. 01)1(ppn 查表知查表知 ,58. 2)1( ppn npp)1(58. 2 ,0124. 0|610006| X1074926 X6000之中次品数应在之中次品数应在 926 只到只到 1074 只之间只之间. 由由DL定理重定理重要公式要公式= 0. 0124 ; 32题题 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率.解解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 ,
28、 X B( 6000 , 1/6 )65000,1000 NX近似由德莫佛拉普拉斯中心极限定理, 则有336500010009406500010001060650006065000601650006029624.001. 0616000XP601000 XP34比较几个近似计算的结果比较几个近似计算的结果中心极限定理9624. 001. 0616000XP二项分布(精确结果)9590. 001. 0616000XPPoisson 分布9379. 001. 0616000XPChebyshev 不等式7685. 001. 0616000XP35这一讲我们介绍了中心极限定理这一讲我们介绍了中心极限
29、定理 在后面的课程中，我们还将经常用到中心在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理极限定理. 中心极限定理是概率论中最著名的结果中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释的近似概率的简单方法，而且有助于解释为为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线线这一值得注意的事实这一值得注意的事实.36 设某农贸市场某种商品每日的价格设某农贸市场某种商品每日的价格的变化是个相互独立且均值为的变化是个相互独立且均值为0, 方差为方差为 2 = 2的随机变量的随机变量 Yn，并满足，并满足) 1(1nYXXnnn其中其中Xn是第是第n天该商品的价格天该商品的价格.如果今天如果今天的价格为的价格为100，求，求18天后该商品的价格天后该商品的价格在在 96 与与 104 之间的概率之间的概率.*补充题补充题37解解 设设 表示今天该商品的价格表示今天该商品的价格, 为为1818X0X天后该商品的价格天后该商品的价格, 则则.494. 01747. 021810181716181718iiYXYYXYXX)364361364(181iiYP)44()10496(18118iiYPXP得得1) 3/2(2) 3/2() 3/2(