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1、第三章第三章 刚体力学刚体力学刚体是一种特殊的质点系统，无论在多大外刚体是一种特殊的质点系统，无论在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。保持不变。形状、大小都不变的物体称为刚体形状、大小都不变的物体称为刚体。刚体是刚体是可以忽略由于受力而引起物体形状和可以忽略由于受力而引起物体形状和体积改变的体积改变的理想模型。理想模型。3 31 1 刚体的运动刚体的运动一、刚体的平动：一、刚体的平动：刚体运动时，刚体上任一条直线的刚体运动时，刚体上任一条直线的位置始终保持彼此平行，称为位置始终保持彼此平行，称为平动。平动。此时，刚体中所有质点的位移、速
2、度和加速度都相同，此时，刚体中所有质点的位移、速度和加速度都相同，可任选刚体上一点的运动来代表。即刚体的平动满足可任选刚体上一点的运动来代表。即刚体的平动满足质心运动定理：质心运动定理：ciamF二、刚体的定轴转动：二、刚体的定轴转动：刚体绕一固定直线（转轴刚体绕一固定直线（转轴Z Z）的转动。）的转动。z此时此时轴外各质点都在垂直于转轴外各质点都在垂直于转轴的平面上作圆周运动，在同轴的平面上作圆周运动，在同一时间间隔内，走过的弧长虽一时间间隔内，走过的弧长虽不同，但角位移不同，但角位移，因而角速，因而角速度度 、角加速度、角加速度 都一样。适合都一样。适合用圆周运动的角量描述：用圆周运动的角
3、量描述：22,),(dtddtddtdt32 力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 一、一、力矩力矩下图中，一力下图中，一力F作用于刚体上的作用于刚体上的P点，可将力点，可将力F正正交分解为平行于转轴交分解为平行于转轴OZ的分力的分力F1和在转动平面上的和在转动平面上的分力分力F2。其中，。其中，F1与转轴平行，对刚体不产生转动效与转轴平行，对刚体不产生转动效应，只有应，只有F2对刚体产生转动效应。将对刚体产生转动效应。将F2乘以力的作用乘以力的作用线到转轴的垂直距离线到转轴的垂直距离d（力臂），称为力（力臂），称为力F对转轴的对转轴的力矩大小，即力矩大小，即 sinrFdFM22力矩是矢
4、量，在定轴转动中，力矩是矢量，在定轴转动中，力矩的方向沿着转轴，其指向力矩的方向沿着转轴，其指向可按右手螺旋法则确定：右手可按右手螺旋法则确定：右手四指由矢径四指由矢径r的方向经小于的方向经小于 的的角度转向力角度转向力F方向时，大拇指的方向时，大拇指的指向就是指向就是力矩的方向力矩的方向。根据矢。根据矢量的矢积定义，力矩可表示为：量的矢积定义，力矩可表示为：FrM若若F位于转动平面内，则上式简化为位于转动平面内，则上式简化为 sinFrFdM二、转动定律二、转动定律 力矩是刚体转动状态变化的原因，力矩的作用使力矩是刚体转动状态变化的原因，力矩的作用使刚体获得角加速度。下图中，刚体作定轴转动，
5、各质刚体获得角加速度。下图中，刚体作定轴转动，各质点都绕转轴作圆周运动，角加速度均为点都绕转轴作圆周运动，角加速度均为 。任取刚体中。任取刚体中一质量为的质元一质量为的质元 mi，它到转轴的垂直距离为，它到转轴的垂直距离为ri，此质，此质元的加速度为元的加速度为ai，所受合外力为，所受合外力为Fi，刚体中所有其他各，刚体中所有其他各质点对它的合内力为质点对它的合内力为fi。根据牛顿第二定律得。根据牛顿第二定律得 iiiiamfF切向的分量式为切向的分量式为 iiiiiirmfFsinsiniiiiiirmfFsinsin两边同乘两边同乘ri，得，得 2sinsiniiiiiiiirmrfrF上
6、式左边第一项为外力上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是对转轴的力矩，而第二项是内力内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类似上式的方程，求和得似上式的方程，求和得 )(sinsin2iiiiiiiirmrfrF由于内力总是成对出现的，内力矩总和为零由于内力总是成对出现的，内力矩总和为零 ，有，有JrmMii)(2其中其中 2iirmJ称为刚体对转轴的称为刚体对转轴的转动惯量转动惯量。 刚体在合外力矩的作用下，所获得的角加速度刚体在合外力矩的作用下，所获得的角加速度与力矩与力矩M的大小成正比，与刚体的转动惯量成反比，的大小成正比，与刚
7、体的转动惯量成反比，称为称为刚体转动定律刚体转动定律。它是刚体转动的基本定律。它是刚体转动的基本定律。 三、转动惯量三、转动惯量 转动惯量反映了刚体转动惯性的大小。转动惯转动惯量反映了刚体转动惯性的大小。转动惯量越大的刚体，要改变它的转动状态就越困难。量越大的刚体，要改变它的转动状态就越困难。转动惯量与刚体的大小形状、质量分布以及转转动惯量与刚体的大小形状、质量分布以及转轴的位置等有关。轴的位置等有关。 一般的情况下刚体质量是连一般的情况下刚体质量是连续分布的，把它分割成无限多个续分布的，把它分割成无限多个微小部分，其中质量为微小部分，其中质量为dm的小块的小块到转轴的垂直距离为到转轴的垂直距
8、离为r，则它对该，则它对该转轴的转动惯量为转轴的转动惯量为 rdm dmrdJ2积分得到整个刚体对相应转轴的转动惯量为积分得到整个刚体对相应转轴的转动惯量为 dmrJ2常见刚体的转动惯量常见刚体的转动惯量2mrJ 22/mrJ 2)(2221/rrmJ22/mrJ 22/mrJ 122/mlJ 522/mrJ 322/mrJ 例例1 求质量为求质量为m，长为，长为l的均匀细棒对下面转轴的转动的均匀细棒对下面转轴的转动惯量：惯量：(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直；转轴通过棒的中心并和棒垂直；(2) 转轴通转轴通过棒的一端并和棒垂直。过棒的一端并和棒垂直。OAdxxl232222012112ddm
9、llxxmrJll解：解：(1) 在棒上离轴在棒上离轴x处，取处，取一长度元一长度元dx，设棒的质量线，设棒的质量线密度为密度为 ，则，则dm= dx，有：，有：（2 2）当转轴通过棒的一端）当转轴通过棒的一端A A并与棒垂直时：并与棒垂直时：23022313ddmllxxmrJlA例例2 求质量为求质量为m、半径为、半径为R、厚、厚为为h的均质圆盘对通过盘心并与的均质圆盘对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。盘面垂直的轴的转动惯量。hdrrmrJ322dd解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一半径为半径为r，宽度为，宽度为dr的薄圆环，它
10、的转动惯量为：的薄圆环，它的转动惯量为：24032121d2dJmRhRrhrJR积分：积分：注意：注意：J与与h无关一个质量为无关一个质量为m、半径为、半径为R的实心圆柱的实心圆柱体对其中心轴的转动惯量也与上述结果相同。体对其中心轴的转动惯量也与上述结果相同。平行轴定理：平行轴定理：2mdJJCDdJCCJDJC 、 JD 分别是刚体对过质心轴，分别是刚体对过质心轴，和与之相平行的另一转轴的转动和与之相平行的另一转轴的转动惯量。两转轴间距为惯量。两转轴间距为d 薄板的正交轴定理：薄板的正交轴定理： yxzJJJyxzoX,Y 轴在薄板面上，轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。轴与薄板垂直。例例3、
11、质量、质量m，长为，长为l 的四根均匀细棒，的四根均匀细棒，组成一正方形框架，绕过其一顶点组成一正方形框架，绕过其一顶点O并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。Om, lC解：由平行轴定理，先求出一根棒解：由平行轴定理，先求出一根棒对框架质心对框架质心C的转动惯量：的转动惯量：22231)2(121mllmmlJC因而框架对质心因而框架对质心C的转动惯量的转动惯量2344mlJJCC再次用平行轴定理，得：再次用平行轴定理，得：222310)22(434mllmmlJOOJR例例4、一质量为、一质量为m，半径为，半径为R的薄圆盘，的薄圆盘，绕与盘边相切的轴转动，求转
12、动惯量绕与盘边相切的轴转动，求转动惯量ZXY解：取图示坐标系，已知解：取图示坐标系，已知22/mRJZ由垂直轴定理得由垂直轴定理得24121mRJJJzyx又由平行轴定理，有又由平行轴定理，有2245mRmRJJy例例5 一质量为一质量为M，半径为，半径为R的定滑轮（当作圆盘）上的定滑轮（当作圆盘）上面绕有细绳。绳的另一端挂一质量为面绕有细绳。绳的另一端挂一质量为m的物体而下垂的物体而下垂忽略轴处摩擦，求物体忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落由静止下落h高度时的速度高度时的速度和此时滑轮的角速度。和此时滑轮的角速度。 MmgahROT2T1对物体对物体m，由牛顿第二定律，由牛顿第二定律maTmg
13、滑轮和物体的运动学关系为滑轮和物体的运动学关系为Ra 22/MRJRT解：对定滑轮解：对定滑轮M，由转动定律，由转动定律，对于轴对于轴O，有，有物体下落高度物体下落高度h h时的速度时的速度Mmmghahv242这时滑轮转动的角速度这时滑轮转动的角速度RMmmghRv24gMmma2以上三式联立，可得物体下落的加速度为以上三式联立，可得物体下落的加速度为例例6一质量为一质量为m、半径为、半径为R的匀质圆盘绕通过盘心的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴正以且垂直于盘面的光滑轴正以 o的角速度转动。现将的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与
14、桌面间的摩擦系数为数为，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？ 解解 摩擦力是分布在整个盘面上的，计算摩擦力的摩擦力是分布在整个盘面上的，计算摩擦力的力矩时，应将圆盘分为无限多个半径为力矩时，应将圆盘分为无限多个半径为r、宽为、宽为dr的的圆环积分。故摩擦力矩为圆环积分。故摩擦力矩为rdromgRrdrRmgrMR32202221mRJ RgJM34于是得于是得rdro由由 = o+ t = 0得得gRtOo43 又又由由 2- o2=2，所以停下来前转过的圈数为所以停下来前转过的圈数为gRNoo163222233 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理d
15、MdrFdrFiiiiiiisin)90cos(一、力矩的功一、力矩的功外力外力Fi 使刚体转动一微小使刚体转动一微小角度角度d d 所作的元功：所作的元功：iiirdFdA刚体转过有限大角度时力矩的功刚体转过有限大角度时力矩的功有多个力矩作用在刚体上时：有多个力矩作用在刚体上时：odiiMA dd)(ooMMAAii二、定轴转动的动能定理二、定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能：刚体定轴转动的动能：为刚体各质点动能之和为刚体各质点动能之和222221)(2121JrmvmEiiiiK因因得到得到ddddddddJtJtJJMddJM 2121dd21222121JJJMA外力矩对刚体所作的功
16、等于刚体转动动能的增量。外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。三、刚体定轴转动的动能定理：三、刚体定轴转动的动能定理：四、刚体的重力势能四、刚体的重力势能刚体的重力势能是组成刚体刚体的重力势能是组成刚体的各个质点重力势能之和的各个质点重力势能之和刚体的重力势能相当于质量集中在刚体质心刚体的重力势能相当于质量集中在刚体质心C 的重力的重力势能。势能。ohihcxmCmyiiiiPhmgghmEciiimghmhmgm对于包含刚体的系统，功能原理仍然成立：对于包含刚体的系统，功能原理仍然成立：系统外系统外力所作的功与系统非保守内力所作的功之和等于系力所作的功与系统非保守内力所作的功之和等于系
17、统机械能的增量。统机械能的增量。 解：细棒下降过程中只有重力矩做功。解：细棒下降过程中只有重力矩做功。杆重心下降了杆重心下降了l /2, 应用功能原理应用功能原理lgJmglJlmgA32122 3gllvA例例7 一质量为一质量为m、长为、长为l的均匀细棒的均匀细棒OA可绕通过其一可绕通过其一端的光滑轴端的光滑轴O在竖直平面内转动。今使棒从水平位置在竖直平面内转动。今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时下端点开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时下端点A的速的速度，和度，和O点处的受力。点处的受力。OAG设在竖直位置时，杆在设在竖直位置时，杆在O点受力点受力N，将它，将它分解成水平与
18、竖直的两个分量。由于此时分解成水平与竖直的两个分量。由于此时N与与G 都过转轴都过转轴O，对，对O点的力矩点的力矩=0。由转动定律知，棒转动的角加速度由转动定律知，棒转动的角加速度 =0因而因而ONnNtNGC0, 02tttmaNlamglgmagmNNnn25)2()(2例例8有一由弹簧、匀质滑轮和重物有一由弹簧、匀质滑轮和重物M组成的系统，组成的系统，该系统在弹簧为原长时被静止释放。运动过程中绳该系统在弹簧为原长时被静止释放。运动过程中绳与滑轮间无滑动。求与滑轮间无滑动。求:重物重物M下落下落h时的速度；时的速度；222212121khJMvMghhMmrk解得：解得：mMkhMghv2
19、122 解解 系统在运动过程中只有保守力系统在运动过程中只有保守力重力和弹性力重力和弹性力 作功，所以机械能守恒：作功，所以机械能守恒：rv ,mrJ221代入代入34 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 一、质点的角动量定理和角动量守恒定律一、质点的角动量定理和角动量守恒定律 1质点的角动量质点的角动量 一质量为一质量为m的质点，以速度的质点，以速度v运动，相对于坐标运动，相对于坐标原点原点O的位置矢量为的位置矢量为r，定义质点对坐标原点，定义质点对坐标原点O的的角角动量为动量为vmrPrL其大小为其大小为 sinrmvL角动量的方向可以用右手螺旋法则来确定。角动量的方向可以
20、用右手螺旋法则来确定。 2、质点的角动量定理、质点的角动量定理MFrvmdtdrdtLdvmvvmdtrddtvmdrvmdtrdvmrdtddtLd)(0)()()()(而而质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率该点的角动量对时间的变化率角动量定理。角动量定理。角动量守恒定律是自然界普遍适用的一条基本规律。角动量守恒定律是自然界普遍适用的一条基本规律。力矩力矩M = 0的条件：（的条件：（1）力臂）力臂 r = 0 （有心力作用）（有心力作用），（2）力）力F = 0，（，（3） r 与与F 相互平行。相互平行。若质
21、点所受的合外力矩若质点所受的合外力矩如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则质点对该固定点的角动量矢量保持不变零，则质点对该固定点的角动量矢量保持不变角角动量守恒定律动量守恒定律 。 0dtLd 常矢量常矢量或或则则L0M3 3、质点的角动量守恒定律、质点的角动量守恒定律 例例9行星运动的开普勒第二运动定律：行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。解：行星在太阳引力（有心解：行星在太阳引力（有心力）作用下沿椭圆轨道运动，力）作用下沿椭圆轨道运动，因而行星在运行过程中，
22、它因而行星在运行过程中，它对太阳的角动量守恒不变。对太阳的角动量守恒不变。常量常量sinrmvL因而因而掠面速度：掠面速度：常量常量sin212sinrvdtdrdtdSr rm2m1ORv0v例例10发射一宇宙飞船去考察一质量为发射一宇宙飞船去考察一质量为m1，半径为，半径为R的行星。当飞船静止于空间中距行星中心的行星。当飞船静止于空间中距行星中心r=4R时，以时，以初速初速v0发射一质量为发射一质量为m2(m2远小于飞船质量远小于飞船质量)的探测器，的探测器，要使探测器正好能掠着行星表面着陆，要使探测器正好能掠着行星表面着陆， 角应多大？角应多大？解：探测器飞行过程中只解：探测器飞行过程中
23、只受到行星的引力，因而对受到行星的引力，因而对O点的角动量守恒：点的角动量守恒：vRmrvm202sin又由机械能守恒：又由机械能守恒：RmmGvmrmmGvm2122212022121代入代入r=4R，求出，求出20123141sinRvGm二、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律二、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量 当刚体以角速度当刚体以角速度绕定轴转动时，刚体上每个绕定轴转动时，刚体上每个质点都以相同的角速度绕转轴转动，质点质点都以相同的角速度绕转轴转动，质点mi对转轴对转轴的角动量为：的角动量为： 2iiirmL于是刚体上所有质点
24、对转轴的角动量，即刚体的角于是刚体上所有质点对转轴的角动量，即刚体的角动量为：动量为： JrmrmLiiii22 写成矢量形式写成矢量形式 JL角动量矢量的方向与角速度矢量的方向一致角动量矢量的方向与角速度矢量的方向一致 。2刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 JM可改写成可改写成LdJdJddtM)(如果合外力矩如果合外力矩M对定轴转动刚体的作用时间从对定轴转动刚体的作用时间从t1到到t2，刚体的角动量从，刚体的角动量从L1到到L2，则将上式积分，得，则将上式积分，得 1221LLdtMtt作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增
25、量。作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。称为称为刚体的角动量定理刚体的角动量定理 。3刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律 若刚体所受的合外力矩为零，即若刚体所受的合外力矩为零，即M=0，则，则L恒矢量，或恒矢量，或 2211JJ当刚体所受的的合外力矩为零时，刚体的角动当刚体所受的的合外力矩为零时，刚体的角动量保持不变。称为量保持不变。称为角动量守恒定律角动量守恒定律。 例如跳水、例如跳水、冰上芭蕾舞、冰上芭蕾舞、茹可夫斯基茹可夫斯基凳等。凳等。例例12 质量质量M长长L的均匀细杆可绕过的均匀细杆可绕过O点点的水平轴转动，初始时杆静止于竖直位的水平轴转动，初始时杆静止于竖直位置质量置质量m 的小球以的小球以v0垂直撞向杆的下端与垂直撞向杆的下端与杆发生完全弹性碰撞，求碰后小球回弹杆发生完全弹性碰撞，求碰后小球回弹速度速度v, 杆角速度杆角速度 及上摆的最大角度及上摆的最大角度 M, Lm, v0 O解：相撞过程系统对解：相撞过程系统对O轴的角动量守恒；撞前后动能轴的角动量守恒；撞前后动能相等，上摆过程机械能守恒：相等，上摆过程机械能守恒：2)1 (21212121312222020/cosMgLJJmvmvMLJ,mvLJLmvgLmmmLmmmvvmMmMv2200)3(241cos)3(6,33求出求出