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1、第三章第三章 刚体和流体刚体和流体这章学习方法这章学习方法这章学习方法这章学习方法:对比法（对比质点力学）对比法（对比质点力学）对比法（对比质点力学）对比法（对比质点力学）1 1 刚体的运动刚体的运动刚体的运动刚体的运动 2 2 刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量3 3 刚体对定轴的角动量定理和转动定律刚体对定轴的角动量定理和转动定律刚体对定轴的角动量定理和转动定律刚体对定轴的角动量定理和转动定律4 4 刚体对定轴的角动量守恒定律刚体对定轴的角动量守恒定律刚体对定轴的角动量守恒定律刚体对定轴的角动量守恒定律5 5 力矩的功力矩的功力矩的功力矩的功6 6 刚
2、体的定轴转动动能和动能定理刚体的定轴转动动能和动能定理刚体的定轴转动动能和动能定理刚体的定轴转动动能和动能定理31 刚体的运动刚体的运动刚体：刚体：物体上任意两点之间的距离保持不变。物体上任意两点之间的距离保持不变。在力的作用下不发生形变的物体平动和转动平动和转动平动：平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的连刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。线始终保持平行。可以用质点动力学可以用质点动力学的方法来处理刚体的方法来处理刚体的平动问题。的平动问题。注：注：转动：转动：刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的动。这种运动称为刚体的转动
3、转动。这条直。这条直线称为线称为转轴转轴。定轴转动：定轴转动：转轴固定不动的转动。转轴固定不动的转动。刚体的运动刚体的运动刚体的运动刚体的运动基本形式基本形式基本形式基本形式:1.1.平动平动平动平动：用质心运动讨论用质心运动讨论用质心运动讨论用质心运动讨论 2.2.转动转动转动转动一般运动可分解为以下两种刚体的基本运动：一般运动可分解为以下两种刚体的基本运动：一般运动可分解为以下两种刚体的基本运动：一般运动可分解为以下两种刚体的基本运动：随基点随基点随基点随基点OO（可任选）的平动（可任选）的平动（可任选）的平动（可任选）的平动 绕通过基点绕通过基点绕通过基点绕通过基点OO的瞬时轴的定点转动
4、的瞬时轴的定点转动的瞬时轴的定点转动的瞬时轴的定点转动 定点转动（有瞬时轴）定点转动（有瞬时轴）定点转动（有瞬时轴）定点转动（有瞬时轴）定轴转动定轴转动定轴转动定轴转动3.3.两种运动的结合两种运动的结合两种运动的结合两种运动的结合常选常选常选常选质心质心质心质心为基点。为基点。为基点。为基点。定定定定轴轴轴轴转转转转动动动动：各各各各质质质质元元元元均均均均作作作作圆圆圆圆周周周周运运运运动动动动，其其其其圆圆圆圆心心心心都都都都在在在在一一一一条条条条固固固固定不动的直线（转轴）上。定不动的直线（转轴）上。定不动的直线（转轴）上。定不动的直线（转轴）上。vi,定轴定轴定轴定轴zmi设设设设
5、刚刚刚刚体体体体绕绕绕绕固固固固定定定定轴轴轴轴 z z 转转转转动动动动，转转转转动动动动参考方向为参考方向为参考方向为参考方向为 x x。大小：大小：大小：大小：角速度矢量角速度矢量角速度矢量角速度矢量方向：方向：方向：方向：右手螺旋关系右手螺旋关系右手螺旋关系右手螺旋关系 沿轴（有正负）沿轴（有正负）沿轴（有正负）沿轴（有正负）各质元的各质元的各质元的各质元的线量线量线量线量一般不同（因为半径不同），但一般不同（因为半径不同），但一般不同（因为半径不同），但一般不同（因为半径不同），但角量角量角量角量（角（角（角（角位移、角速度、角加速度）都相同。位移、角速度、角加速度）都相同。位移、角
6、速度、角加速度）都相同。位移、角速度、角加速度）都相同。转向转向 角加速度角加速度角加速度角加速度 大小：大小：大小：大小：越转越快，与越转越快，与 同向。同向。越转越慢越转越慢，与，与 反向。反向。方向：方向：刚体运动学中所用的刚体运动学中所用的刚体运动学中所用的刚体运动学中所用的角量和线量角量和线量角量和线量角量和线量的关系如下：的关系如下：的关系如下：的关系如下：当刚体作匀当刚体作匀当刚体作匀当刚体作匀加速转动时加速转动时加速转动时加速转动时32 刚刚体体对对定定轴轴的角的角动动量量 质元：质元：组成物体的微颗粒元。组成物体的微颗粒元。质元对点的角动量为质元对点的角动量为 沿转轴沿转轴O
7、z的投影为的投影为刚体对刚体对Oz轴的角动量为轴的角动量为 令令为刚体对为刚体对 Oz 轴的轴的转动惯量转动惯量。刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及转轴的位置有关。的分布以及转轴的位置有关。结论：结论：对于质量连续分布的刚体：对于质量连续分布的刚体：（面质量分布）（面质量分布）（线质量分布）（线质量分布）例例例例11求求质质量量为为m、半半径径为为R的的均均匀匀圆圆环环的的转转动动惯惯量量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解：解：J是可加的，所以若为是可加的，所以若为薄圆筒薄圆筒薄圆筒薄圆筒（不计厚度）结果相同。（不计
8、厚度）结果相同。叠加定理：叠加定理：叠加定理：叠加定理：对同一转轴对同一转轴 J 有有 可叠加性可叠加性ORdm 例例例例22求质量为求质量为m、半径为半径为R、厚为厚为l 的均匀圆盘的转动的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r宽为宽为dr的薄圆环的薄圆环,可可可可见见见见，转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量与与与与l l 无无无无关关关关。所所所所以以以以，实实实实心心心心圆圆圆圆柱柱柱柱对对对对其其其其轴轴轴轴的的的的转动惯量也是转动惯量也是转动惯量也是转动惯量也是 mRmR2 2/2 2。例例例例33求求长长为为L、质质量
9、量为为m的的均均匀匀细细棒棒对对图图中中不不同同轴轴的的转转动惯量。动惯量。ABLxABL/2L/2Cx解：取如图坐标，解：取如图坐标，dm=dx推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为为d，刚体对其转动惯量为刚体对其转动惯量为J，平行轴定理平行轴定理平行轴定理平行轴定理 RMO OmL利用转动惯量的利用转动惯量的利用转动惯量的利用转动惯量的可叠加性可叠加性可叠加性可叠加性和和和和平行轴定理：平行轴定理：平行轴定理：平行轴定理：圆盘圆盘圆盘圆盘细杆细杆细杆细杆 例例例例44写出下面刚体对写出下面刚体对O轴（垂直屏幕）的转动惯量。轴（垂直屏幕
10、）的转动惯量。33 刚刚体体对对定定轴轴的角的角动动量定理和量定理和转动转动定律定律 由质点系对轴的角动量定理，可得由质点系对轴的角动量定理，可得两边乘以两边乘以dt，并积分，并积分 刚体对定轴的角动量定理：刚体对定轴的角动量定理：在某一时间段内，作用在某一时间段内，作用在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。当当 J 转动惯量是一个恒量时，有转动惯量是一个恒量时，有或或刚体在作定轴转动时，刚体的角加速刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。刚体的转动惯量成反比。转动定
11、律：转动定律：转动惯量转动惯量 J 是刚体转动惯性的量度是刚体转动惯性的量度 刚体的定轴转动定律：刚体的定轴转动定律：刚体的定轴转动定律：刚体的定轴转动定律：与与与与地位相当地位相当地位相当地位相当mm反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，J J反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性解题思路：解题思路：解题思路：解题思路：（1 1）选物体）选物体）选物体）选物体（2 2）看运动）看运动）看运动）看运动（3 3）查受力）查受力）查受力）查受力 （注意（注意（注意（注意:画隔离体受力图）画隔离体受力图）画隔离体受力图）画隔
12、离体受力图）（4 4）列方程（注意）列方程（注意）列方程（注意）列方程（注意:架坐标）架坐标）架坐标）架坐标）例例例例11 一一一一个个个个质质质质量量量量为为为为MM、半半半半径径径径为为为为R R的的的的定定定定滑滑滑滑轮轮轮轮（当当当当作作作作均均均均匀匀匀匀圆圆圆圆盘盘盘盘）上上上上面面面面绕绕绕绕有有有有细细细细绳绳绳绳，绳绳绳绳的的的的一一一一端端端端固固固固定定定定在在在在滑滑滑滑轮轮轮轮边边边边上上上上，另另另另一一一一端端端端挂挂挂挂一一一一质质质质量量量量为为为为mm的的的的物物物物体体体体而而而而下下下下垂垂垂垂。忽忽忽忽略略略略轴轴轴轴处处处处摩摩摩摩擦擦擦擦，求求求求
13、物物物物体体体体mm由由由由静静静静止止止止下下下下落落落落高高高高度度度度h h时时时时的的的的速速速速度度度度和和和和此此此此时时时时滑滑滑滑轮轮轮轮的的的的角角角角速度。速度。速度。速度。定轴定轴0RhmgT T1 1T T2 2Rm解解解解：分分分分别别别别对对对对物物物物体体体体mm和和和和轮轮轮轮MM看看看看运运运运动动动动、分分分分析析析析力力力力，图图图图中中中中T T1 1 和和和和T T2 2 大大大大小小小小相相相相等，用等，用等，用等，用T T表示。表示。表示。表示。动力学关系：动力学关系：动力学关系：动力学关系：对对M：对对对对mm：(1)(1)(2)(2)运动学关系
14、：运动学关系：运动学关系：运动学关系：(3)(3)(4)联立以上四式，解得联立以上四式，解得联立以上四式，解得联立以上四式，解得这时滑轮转动的角速度为这时滑轮转动的角速度为这时滑轮转动的角速度为这时滑轮转动的角速度为 例例例例22 一一一一质质质质量量量量为为为为mm的的的的物物物物体体体体悬悬悬悬于于于于一一一一条条条条轻轻轻轻绳绳绳绳的的的的一一一一端端端端，绳绳绳绳另另另另一一一一端端端端绕绕绕绕在在在在一一一一轮轮轮轮轴轴轴轴的的的的轴轴轴轴上上上上，如如如如图图图图所所所所示示示示轴轴轴轴水水水水平平平平且且且且垂垂垂垂直直直直于于于于轮轮轮轮轴轴轴轴面面面面，其其其其半半半半径径径
15、径为为为为r r，整整整整个个个个装装装装置置置置架架架架在在在在光光光光滑滑滑滑的的的的固固固固定定定定轴轴轴轴承承承承之之之之上上上上当当当当物物物物体体体体从从从从静静静静止止止止释释释释放放放放后后后后，在在在在时时时时间间间间t t内内内内下下下下降降降降了了了了一一一一段段段段距距距距离离离离S S试求整个轮轴的转动惯量试求整个轮轴的转动惯量试求整个轮轴的转动惯量试求整个轮轴的转动惯量(用用用用mm、r r、t t和和和和S S表示表示表示表示)解解解解：设设设设绳绳绳绳子子子子对对对对物物物物体体体体(或或或或绳绳绳绳子子子子对对对对轮轮轮轮轴轴轴轴)的的的的拉拉拉拉力力力力为为
16、为为T T，则则则则根根根根据牛顿运动定律和转动定律得：据牛顿运动定律和转动定律得：据牛顿运动定律和转动定律得：据牛顿运动定律和转动定律得：mgmg T Tmama 2 2分分分分 T rT rJJ 2 2分分分分由运动学关系有：由运动学关系有：由运动学关系有：由运动学关系有：a a=rr 2 2分分分分由由、式解得：式解得：Jm(ga)r2/a 将将式代入式代入式得：式得：2分分又根据已知条件又根据已知条件 v00a2S/t 22分分34 刚刚体体对对定定轴轴的角的角动动量守恒定律量守恒定律 刚体对定轴的角动量定理刚体对定轴的角动量定理恒量恒量当当时时刚体对定轴的角动量守恒定律：刚体对定轴的
17、角动量守恒定律：当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，刚体对该转轴的角动量保持不变。刚体对该转轴的角动量保持不变。注意：注意：该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。定轴转动的任意物体系统。说明：说明：1.物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角速度的乘积不变。和角速度的乘积不变。2.几个物体组成的系统，几个物体组成的系统，绕一公共轴转动，则对该绕一公共轴转动，则对该公共转轴的合外力矩为零公共转轴的合外力矩为零时，该系统对此轴的总角时，该系统对此轴的
18、总角动量守恒动量守恒例例 如如图图所所示示,一一质质量量为为m的的子子弹弹以以水水平平速速度度射射入入一一静静止止悬悬于于顶顶端端长长棒棒的的下下端端，穿穿出出后后速速度度损损失失3/4，求求子子弹穿出后棒的角速度弹穿出后棒的角速度。已知棒长为。已知棒长为l，质量为，质量为M。v0vmM解：子弹和木棒组成的系统对轴解：子弹和木棒组成的系统对轴O的的角动量守恒角动量守恒35 力矩的功力矩的功 设刚体上设刚体上设刚体上设刚体上P P点受到外力点受到外力点受到外力点受到外力 的作用，的作用，的作用，的作用，,功为功为功为功为 位移为位移为位移为位移为力矩的功力矩的功力矩的功力矩的功 xOP d 即：
19、力矩对转动物体作的即：力矩对转动物体作的即：力矩对转动物体作的即：力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移功等于相应力矩和角位移功等于相应力矩和角位移功等于相应力矩和角位移的乘积。的乘积。的乘积。的乘积。称为称为称为称为力矩的功力矩的功力矩的功力矩的功。积分形式：积分形式：积分形式：积分形式：刚体的定轴转动动能：刚体的定轴转动动能：刚体的定轴转动动能：刚体的定轴转动动能：（可对比质点的动能）（可对比质点的动能）（可对比质点的动能）（可对比质点的动能）定轴转动动能定理定轴转动动能定理定轴转动动能定理定轴转动动能定理即即即即定定定定轴轴轴轴转转转转动动动动动动动动能能能能定定定定理理理理：合合合合
20、外外外外力力力力矩矩矩矩对对对对一一一一个个个个绕绕绕绕固固固固定定定定轴轴轴轴转转转转动动动动的的的的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。36 刚刚体的定体的定轴转动动轴转动动能和能和动动能定理能定理 刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能h hh hi ih hc cx xOmmC C mmi i一一一一个质元：个质元：个质元：个质元：整个刚体：整个刚体：整个刚体：整个刚体：h hc c质心的高质心的高质心的高质心的高度度度度 一一个个不不太太大大的的刚刚体
21、体的的重重力力势势能能相相当当于于它它的的全全部部质质量都集中在质心时所具有的势能。量都集中在质心时所具有的势能。对对对对于于于于含含含含有有有有刚刚刚刚体体体体的的的的系系系系统统统统，如如如如果果果果在在在在运运运运动动动动过过过过程程程程中中中中只只只只有有有有保守内力作功保守内力作功保守内力作功保守内力作功，则此系统的机械能守恒。则此系统的机械能守恒。则此系统的机械能守恒。则此系统的机械能守恒。刚体定轴转动的机械能守恒定律刚体定轴转动的机械能守恒定律刚体定轴转动的机械能守恒定律刚体定轴转动的机械能守恒定律 例例例例 一一一一个个个个质质质质量量量量为为为为MM、半半半半径径径径为为为为
22、R R的的的的定定定定滑滑滑滑轮轮轮轮（当当当当作作作作均均均均匀匀匀匀圆圆圆圆盘盘盘盘）上上上上面面面面绕绕绕绕有有有有细细细细绳绳绳绳，绳绳绳绳的的的的一一一一端端端端固固固固定定定定在在在在滑滑滑滑轮轮轮轮边边边边上上上上，另另另另一一一一端端端端挂挂挂挂一一一一质质质质量量量量为为为为mm的的的的物物物物体体体体而而而而下下下下垂垂垂垂。忽忽忽忽略略略略轴轴轴轴处处处处摩摩摩摩擦擦擦擦，求求求求物物物物体体体体mm由静止下落高度由静止下落高度由静止下落高度由静止下落高度h h时时时时的速度和的速度和的速度和的速度和此时滑轮的角速度。此时滑轮的角速度。此时滑轮的角速度。此时滑轮的角速度。
23、定轴定轴0Rhmg解：据机械能守恒定律：解：据机械能守恒定律：解：据机械能守恒定律：解：据机械能守恒定律：作业：作业：质量质量 m=1.1 kg 的匀质圆盘，可以绕通过其的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对轴的转中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量动惯量 （r为圆盘半径），圆盘边缘饶有为圆盘半径），圆盘边缘饶有绳子，绳子下端挂一质量绳子，绳子下端挂一质量 m1=1.0 kg 的物体，如图的物体，如图所示。起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率所示。起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0=0.6 m/s 匀速上升，若撤去所加力矩，问经历多匀速上升，若撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始做反向转动？少时间圆盘开始做反向转动？m1 O r