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1、3.53.5刚体定点转动刚体定点转动运动学运动学1、运动分析：、运动分析：（1）刚体的定点转动可以看成是任一瞬时轴的）刚体的定点转动可以看成是任一瞬时轴的“定定”轴转轴转动。动。常平架常平架在工程与生活中经常可以遇到此类运动在工程与生活中经常可以遇到此类运动l 雷达跟踪天线雷达跟踪天线l 陀螺仪中的转子陀螺仪中的转子l 行星齿轮系中动锥齿轮行星齿轮系中动锥齿轮l 玩具陀螺等玩具陀螺等O（2）自由度）自由度 S=3（4）本体极面，空间极面）本体极面，空间极面空间极面：转动瞬轴在空间空间极面：转动瞬轴在空间(固定坐标固定坐标 系中系中)描绘的曲面。描绘的曲面。本体极面：转动瞬轴在刚体内本体极面：转
2、动瞬轴在刚体内(动坐标动坐标 系中系中)描绘的曲面。描绘的曲面。（3）运动学方程）运动学方程 ttt潘索定理：潘索定理：本体极面在空间极面上作纯滚动本体极面在空间极面上作纯滚动2、速度，加速度、速度，加速度(1) 速度：速度：r的位矢。点是刚体上一点相对固定角速度。是刚体定点转动的瞬时其中，or(2) 加速度：加速度：)(rrdtda )(是向轴加速度。是转动加速度。其中，rrdtd(3)刚体作一般运动时，将运动分解为刚体随基点刚体作一般运动时，将运动分解为刚体随基点A的平动的平动 刚体绕基点刚体绕基点A的的“定点定点”转动，则刚体上任一点转动，则刚体上任一点P的速度为的速度为rA加速度为加速
3、度为)(rrdtdaaA的位矢点相对于基点是APr3、刚体绕两相交轴转动的合成、刚体绕两相交轴转动的合成 刚体绕某点刚体绕某点O作定点转动，相当于刚体绕某轴作作定点转动，相当于刚体绕某轴作“定轴定轴”转动，而该轴又绕另一固定轴转动，这两个轴相交于转动，而该轴又绕另一固定轴转动，这两个轴相交于O点。点。xyzo12 结论：当刚体绕两个相交轴转动时，刚体的瞬时角速结论：当刚体绕两个相交轴转动时，刚体的瞬时角速度等于它分别绕这两个轴转动的角速度的矢量和。度等于它分别绕这两个轴转动的角速度的矢量和。21的方向。方向沿转动瞬轴，即其中，21【例例9 9】半径为半径为R R的圆盘以不变的角速度的圆盘以不变
4、的角速度 绕水平轴绕水平轴ABAB转动，而转动，而轴轴ABAB又以不变的角速度又以不变的角速度 绕竖直轴绕竖直轴CDCD转动，求圆盘水平直转动，求圆盘水平直径一端径一端M M点的速度和加速度。点的速度和加速度。12解：建立平面转动坐标系解：建立平面转动坐标系oxyzoxyziRkRjRkirM2121oxyzMABCD12轴转动平面绕方向不变，zxyzrrdtdaMjidtiddtiddtkiddtd2121121jRaM22210 【例例10】高为高为h，顶角为，顶角为2的圆锥在一平面上滚动而的圆锥在一平面上滚动而不滑动，如已知此锥以匀角速度不滑动，如已知此锥以匀角速度绕绕 轴转动，试求轴转
5、动，试求圆锥底面上圆锥底面上A点的转动加速度点的转动加速度a1和向轴加速度和向轴加速度a2的量值。的量值。解解 : 分析分析 )(rrdtda总总总是向轴加速度。是转动加速度。其中，总总总)(rrdtd21总的方向。方向沿转动瞬轴，即其中，总21k2总 zxyo12Aho1、在圆锥上建立、在圆锥上建立o-xyz坐标系，母线坐标系，母线 与与ox重合，与圆锥一起运动。重合，与圆锥一起运动。ictgictg2总khihr2sincos2coscos2、求、求 总总 zxyo12Ah轴转动平面绕方向不变，zxyzrdtda总1jctgikdtidctgdti dctgictgdtddtd2)(总其中
6、，ihctgkhctgkhihjctgrdtda2sincos2coscos)2sincos2coscos(2221总3、求、求 （转动加速度（转动加速度 ）1a)2sin2(cossin2sincos2coscos222ikhihctgkhctgsin2sin2cos)sin(222221hha大小：sin21ha 所以：)(2ra总总3、求、求 （向轴加速度（向轴加速度 ）2ajhjhjhctgkhihictgrcos2cossin2cossincos2sincos)2sincos2coscos(总其中，khjhictgrasincos2)cos2()()(222总总sincos22222
7、haa所以：z轴不动，xy平面绕z轴转动1【例例11】 轴转动平面绕方向不变，zxyz角A刚体的一般运动【例例12】 211122221112sincossincos2sinsincoscosAaarrVViililkRRVVjkjklilkRRVlVV llijlkRRR 22121222212coscos2sinsinlRlVRlVlRVa3.6 3.6 欧拉角欧拉角 OyxNNzeee3.7 转动惯量 一、定点转动刚体的动量矩一、定点转动刚体的动量矩设设 为刚体上任一质点，该质点对定点为刚体上任一质点，该质点对定点o o的动量矩为的动量矩为iPiiirm整个刚体对同一点整个刚体对同一点o
8、 o的动量矩为的动量矩为11niiiiniiiiJrmm rrB CB C AC B AA 其中， 21niiiiiJmrrr(1)ozxyirii动坐标系oxyz下面求动量矩下面求动量矩 的分量表达式的分量表达式J21niiiiiJmrrr iiiixyzrxiy jz kijk xxxxxyyxzzyyxxyyyyzzzzxxzyyzzzJIIIJIIIJIII 其中，221221221nxxiiiinyyiiiinzziiiiImyzImzxImxy111nxyyxiiiinyzzyiiiinxzzxiiiiIIm x yIIm y zIIm x z以 及物理意义？xxxxyxzxyyx
9、yyyzyzzxzyzzzJIIIJIIIJIII 二、定点转动刚体的动能二、定点转动刚体的动能2111112212nniiiiiiiniiiiTmmmr 1222112212222niiiixxxyyyzzzyzyzzxzxxyxyTrmJIIIIII B CB C AA其中， 12xxxyxzxxyzyxyyyzyzxzyzzzIIITIIIIII三、转动惯量三、转动惯量转动惯量：转动惯量：描述刚体转动惯性大小的物理量。描述刚体转动惯性大小的物理量。2iidmI 1 1、对定轴转动惯性的大小用转动惯量描述，对定轴转动惯性的大小用转动惯量描述，其定义为：其定义为： 2 Id dm或回转半径回
10、转半径2IImkkm即转动惯量即转动惯量=各质点的质量与该点到转轴距离平方乘积各质点的质量与该点到转轴距离平方乘积之和。转动惯量由刚体的质量分布和转轴位置决定。之和。转动惯量由刚体的质量分布和转轴位置决定。刚体对定轴的转动惯量刚体对定轴的转动惯量等效质点对定轴的转动惯量等效质点对定轴的转动惯量221mRI 平行轴定理平行轴定理2mdIIc 叙述：刚体对某一轴线的转动惯量，等于对通过质叙述：刚体对某一轴线的转动惯量，等于对通过质 心的平行轴的转动惯量加上刚体的质量与两心的平行轴的转动惯量加上刚体的质量与两 轴间垂直距离平方的乘积。轴间垂直距离平方的乘积。常用到的结果：常用到的结果： 半径为半径为
11、R R的均质圆盘绕过圆心且垂直圆面的转动惯量是：的均质圆盘绕过圆心且垂直圆面的转动惯量是： 长为长为 的均质细杆绕过中心且与杆垂直的均质细杆绕过中心且与杆垂直的轴线的转动惯量：的轴线的转动惯量：2121mlI l xxxyxzyxyyyzzxzyzzIIIIIIIII惯量张量： 1 ,xxyyzzIII其中其中 叫做轴转动惯量，叫做轴转动惯量， ,yzzxxyIII叫做惯量积叫做惯量积 2 2、对定点转动惯性的大小，由于转轴的方向不断变对定点转动惯性的大小，由于转轴的方向不断变化，要用一个张量才能描述。化，要用一个张量才能描述。 222222xxyyzzIyzdmIzxdmIxydmxyyxy
12、zzyxzzxIIxydmIIyzdmIIxzdm和和oxyzxyzP(dm)注意：若选动坐标系系，惯量系数均为常数注意：若选动坐标系系，惯量系数均为常数(2)(2)惯量椭球惯量椭球用几何方法求刚体对某瞬时轴的转动惯量用几何方法求刚体对某瞬时轴的转动惯量ozxylQQ点的坐标为：点的坐标为：xRyRzRRxRyRz代入*得表示为矩阵形式：表示为矩阵形式： zzzyzxyzyyyxxzxyxxIIIIIIIIII*2222221xxyyzzyzzxxyI xI yI zI yzI zxI xy椭球面方程椭球面方程中心惯量椭球：中心惯量椭球：刚体的质心刚体的质心(或重心或重心)在在O点点1RI计算
13、出刚体对该轴的转动惯量计算出刚体对该轴的转动惯量 I用几何方法计算刚体对某瞬时轴的转动惯量如下：若用几何方法计算刚体对某瞬时轴的转动惯量如下：若已知椭球面方程，在动系已知椭球面方程，在动系oxyz中描出椭球面，某瞬时中描出椭球面，某瞬时轴与椭球面的交点轴与椭球面的交点Q到到O点的距离即为点的距离即为R，再根据，再根据zoxylQ(3) (3) 惯量主轴及其求法惯量主轴及其求法( (适当选择坐标系消去惯量积适当选择坐标系消去惯量积) ) 惯量主轴：使惯量积为零的坐标系惯量主轴：使惯量积为零的坐标系(惯量椭球的惯量椭球的 三条相互垂直的主轴三条相互垂直的主轴)0zxyzxyIII则椭球面方程变为：
14、则椭球面方程变为：1232221zIyIxI这里 , , ,321zzyyxxIIIIII 主惯量刚体对惯量主轴的转动惯量主惯量刚体对惯量主轴的转动惯量321 , ,III注意：注意：1、刚体作定点转动时，总有三个惯量主轴存在，、刚体作定点转动时，总有三个惯量主轴存在， 且互相垂直；且互相垂直； 2、过质心的三个惯量主轴叫中心惯量主轴。、过质心的三个惯量主轴叫中心惯量主轴。 惯量主轴坐标系中的若干物理量的简化表达式惯量主轴坐标系中的若干物理量的简化表达式惯量张量：惯量张量：321000000IIII动量矩：动量矩：zyxzyxIIIJJJ321000000动能：动能：zyxzyxIIIT321
15、00000021kIjIiIJzyx321232221212121zyxIIIT 惯量主轴的求法惯量主轴的求法(均质刚体均质刚体) 几何对称轴是惯量主轴几何对称轴是惯量主轴 几何对称面的垂线是惯量主轴几何对称面的垂线是惯量主轴oxzyMM举例：半径为举例：半径为r，高为，高为h的均匀圆柱体的均匀圆柱体证明证明：(1) (1) 几何对称轴是惯量主轴几何对称轴是惯量主轴取取z轴为对称轴，轴为对称轴，zyxMzyxM,0011niiiizxniiiizyxzmIyzmIz轴为惯量主轴轴为惯量主轴(2) (2) 几何对称轴的垂线是惯量主轴几何对称轴的垂线是惯量主轴取对称面取对称面oyzoyz，zyxM
16、zyxM, 0011niiiizxniiiixyxzmIyxmIx轴为惯量主轴轴为惯量主轴若分别取对称面若分别取对称面oxy和对称面和对称面oxz，同理可证得相应的，同理可证得相应的垂线垂线z轴和轴和y轴均为惯量主轴。轴均为惯量主轴。oxzy说明：说明：(1) 若若 ，则为旋转椭球，则为旋转椭球， 则在则在xy平面内的各轴都是主轴；平面内的各轴都是主轴； (2) 若若 ，椭球变为球体，椭球变为球体， 所有通过所有通过O点的轴都是主轴。点的轴都是主轴。yyxxIIzzyyxxIII【例例1313】均匀长方形薄片的边长为均匀长方形薄片的边长为 与与 ，质量为，质量为 ，求，求此长方形薄片绕其对角线
17、转动时的转动惯量。此长方形薄片绕其对角线转动时的转动惯量。abm设薄片的厚度为设薄片的厚度为t,t,密度为密度为2222Iy dmytudy(1)其中，其中，2222sinsinsinsinayabuayuaaab(2)将将(2)(2)式代入式代入(1)(1)式得式得22sin22233012sin sinsin6aabItyay dyt abaaxyouydyab解：解：方法一方法一 直接用定积分计算直接用定积分计算动坐标系动坐标系oxyz22sinbab得得222216a bImab方法二方法二 利用利用 计算计算xyodyabdx222222xxyyzzyzzxxyIIIIIII2222
18、cos, , =0ababab23013bxxIyt adytab23013ayyIxt bdxta b220014baxyIxy t dxdyta b 得222216a bImab方法三方法三 取惯量主轴为坐标轴取惯量主轴为坐标轴xyodyabdx2212III23212112bbIyt adytab23222112aaIxt bdxta b得222216a bImab结论：结论：取惯量主轴为坐标轴来计算薄片绕对角线转动取惯量主轴为坐标轴来计算薄片绕对角线转动时的转动惯量最简便。时的转动惯量最简便。由刚体对定点由刚体对定点o的动量矩定理的动量矩定理MdtJd(1)建立刚联于刚体的惯量主轴坐标
19、系建立刚联于刚体的惯量主轴坐标系oxyzkIjIiIJzyx321(2)JkJjJiJJdtJddtJdzyx(3)kMjMiMMkjizyxzyx 其中，(4)3.83.8刚体定点转动刚体定点转动动力学动力学将将(3),(4)代人代人(1)得欧拉动力学方程得欧拉动力学方程zyxzyxzyxzyxMIIIMIIIMIII213132321联合欧拉运动学方程联合欧拉运动学方程 cossincossincossinsinzyx(5)(6)联立方程联立方程(5),(6) 消去消去 得到关于得到关于 的的二阶常微分方程，求解三个微分方程的刚体定点转动二阶常微分方程，求解三个微分方程的刚体定点转动的运动
20、学方程，从而确定刚体的运动规律。的运动学方程，从而确定刚体的运动规律。zyx,定点转动刚体的机械能守恒定点转动刚体的机械能守恒条件：只有保守力做功 EVT选惯量主轴坐标系选惯量主轴坐标系232221212121zyxIIIT作业作业-5定点转动定点转动P177 3.20；3.22；3.23（选作（选作）1、刚体的各种运动 第三章 小 结 运动的特点：运动的特点：1 1）刚体的质心始终位于同一个平面上。）刚体的质心始终位于同一个平面上。2 2）刚体内垂直于固定平面的直线上各点具有完全相）刚体内垂直于固定平面的直线上各点具有完全相 同运动状态。同运动状态。3 3）刚体内平行于固定平面的各平面有相同
21、的运动特）刚体内平行于固定平面的各平面有相同的运动特征。征。 三个自由度两个平动自由度一个转动自由度 只须研究质心所在平面的运动只须研究质心所在平面的运动: :质心运动质心运动+ +绕质心转动绕质心转动1212、平面平行运动、平面平行运动a.运动学方程运动学方程 如图所示，取质心所在的平面为研究对象，任取一点A为基点（一般取质心）。则P点的运动方程为ArPyxAyxOrPr AAxx t ,yy.t ,tArPyxAyxOrPrP点运动随基点A平动绕基点的转动 基点A可以任意取 基点A的平动量（ ）因基点而异；绕基点A的转动的角量（ ）都相同。AAAr ,v ,a, , b.刚体上任一点刚体上
22、任一点P的速度和加速度的速度和加速度ArPyxAyxOrPr 刚体上任一点刚体上任一点P的速度的速度PAAvvvvr 刚体上任一点刚体上任一点P的加速度的加速度2PAAnAaarraaddrardtadtdrvrdtc.运动学特例运动学特例圆柱体的纯滚动圆柱体的纯滚动 纯滚动：摩擦力足够大，接触点间无相对滑动。纯滚动：摩擦力足够大，接触点间无相对滑动。 1）纯滚动的运动学判据：）纯滚动的运动学判据： AAcc质心质心C的位移为：的位移为：质心质心C的速度为：的速度为：cvR质心质心C的加速度为：的加速度为：caR运动学判据运动学判据Rxc运动学：运动学：速度速度 加速度加速度动力学：动力学：Arrrc速度投影定理速度投影定理()AdarrdtCmrF固定坐标系中czzIM平动质心坐标系中