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1、三角形的外心、內心與重心外心外心OIG內心內心重心重心柯青蓉 製作三角形的內心u1.知道三角形三內角的平分線交於一點，此點稱為此三角形的內心，內心到三邊等距離。u2.能利用內心的性質做簡單的計算題。角平分線角平分線(分角線分角線)上任上任意一點一點到兩邊邊的垂直距離垂直距離相等已知已知 B ACB AC，BACAP為為 B ACB AC的分角線的分角線ABPD DACPE E求證求證PEPD 證明證明 AP為為 BACBAC的分角線的分角線 1= 2 ABPD ACPE 3 = 4 = 90在在DAPDAP、EAPEAP中中 1= 2 3 = 4APAP DAPDAP EAP (EAP (A
2、AA AS S) ) PEPD P2134已知已知 ABCABC中中， A的平分線交的平分線交BC於於P，求證求證(1)PEPD (2)ABPABP面積面積 : : ACPACP面積面積 = = CPBP :(3)CPBPACAB:ABCPABPD ACPE DEBC於於P，求證求證 ABPABP面積面積 : : ACPACP面積面積 = = CPBP :ABCPABPD ACPE DE已知已知 ABCABC中中， A的平分線交的平分線交證明證明 過過A作作BCAF FABPABP面積面積 = = ACPACP面積面積 = = 21BP : :AF21PCAFABPABP面積面積 : : AC
3、PACP面積面積21BPAF21PCAF=CPBP :BC於於P，求證求證ABCPABPD ACPE DE已知已知 ABCABC中中， A的平分線交的平分線交證明證明ABPABP面積面積 = = ACPACP面積面積 = = 21AB : :PD21ACPEABPABP面積面積 : : ACPACP面積面積2121=CPBPACAB:ABPD ACPE ABPDACPEAB : :AC又又ABPABP面積面積 : : ACPACP面積面積 = = CPBP :AB : :AC=CPBP :u1. 三角形三角形三內角平分線三內角平分線的交點的交點u2.在三角形的在三角形的內部內部u3.到到三邊三
4、邊垂直垂直距離相等距離相等 (即內切圓的即內切圓的半徑半徑)u4.內切圓內切圓的的圓心圓心三角形的三角形的內心內心II是是三角形三角形ABC的的內心內心則則 BIC=90+ A證明證明IABCI是是ABCABC的的內心內心 BI是是 ABC的分角線的分角線CI是是 ACB的分角線的分角線 1= 2 3 = 41234 BIC = 180 - 2 - 4= 180 - 21 ABC-21 ACB= 180 - 21( ABC+ ACB)= 180 - 21(180 - A)= 180 - 90 +21 A= 90 +21 AI 是是三角形三角形ABC的的內心，內心，r為內切圓半徑為內切圓半徑(1
5、)(1)ABI ABI 面積面積 : : BCI BCI 面積面積 : : CAI CAI 面積面積 = =(2)(2)ABCABC面積面積 = = r ( + + ) ABIABC : :BC : :CAABBCCA(1)(1)(2)(2)21I 是是三角形三角形ABC的的內心，內心，r為內切圓半徑為內切圓半徑ABI ABI 面積面積 : : BCI BCI 面積面積 : : CAI CAI 面積面積 ABABC : : : :BCCA=證明證明I是是ABCABC的的內心內心 過過 I 作作ABCABC三邊的垂直線三邊的垂直線BC CA分別交分別交AB於於D、E、F三點三點DEFIFIEIDABI ABI 面積面積 : : BCI BCI 面積面積 : : CAI CAI 面積面積 : :21ID21IE=ABBC : :21IFCAAB : : : :BCCA=IABCDEF證明證明I 是是三角形三角形ABC的的內心內心，r為內切圓半徑為內切圓半徑 ABCABC面積面積 = = r ( + + ) ABBCCA= = ABI ABI 面積面積 + + BCI BCI 面積面積 + + CAI CAI 面積面積IDIEABBCIFCA=212121+ABCABC面積面積rABBCCA=212121+rrABBCCA=21+r( )21I