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1、有限元分析有限元分析平面问题的有限单元法平面问题的有限单元法第三章第三章 平面问题的有限单元法平面问题的有限单元法3-23-2、有限单元法的计算步骤、有限单元法的计算步骤3-33-3、单元位移函数、单元位移函数3-43-4、单元载荷移置、单元载荷移置3-53-5、单元应力矩阵、单元应力矩阵3-63-6、单元刚度矩阵、单元刚度矩阵3-73-7、单元刚度矩阵的物理意义及其性质、单元刚度矩阵的物理意义及其性质3-83-8、整体分析、整体分析3-93-9、整体刚度矩阵的形成、整体刚度矩阵的形成3-103-10、支承条件的处理、支承条件的处理3-113-11、整体刚度矩阵的特点、整体刚度矩阵的特点2-2
2、 有限单元法的计算步骤有限单元法的计算步骤弹性力学平面问题的有限单元法包括三个主要步骤：弹性力学平面问题的有限单元法包括三个主要步骤： 1、离散化、离散化 2、单元分析、单元分析 3、单元综合、单元综合图 2-72-2 有限单元法的计算步骤有限单元法的计算步骤 1、离散化、离散化 有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角形单元。这些单元在结点因而最常用
3、的单元是三角形单元。这些单元在结点处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点荷载。处用铰相连，荷载也移置到结点上，成为结点荷载。在结点位移或其某一分量可以不计之处，就在结点在结点位移或其某一分量可以不计之处，就在结点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。上安置一个铰支座或相应的连杆支座。5.5.相邻单元的尺寸尽可能接近。相邻单元的尺寸尽可能接近。6.6.结点所连接的单元个数尽可能一致。结点所连接的单元个数尽可能一致。宜宜不宜不宜结点的选择和单元划分原则结点的选择和单元划分原则1.1.集中力作用点、分布力突变点、支承点应选作结点。集中力作用点、分布力突变点、支承点应选作结点。2.2.不同厚度、不同材料
4、的部分不应划在同一个单元。不同厚度、不同材料的部分不应划在同一个单元。3.3.应力变化大处单元应密集一些。结点的多少与疏密要考虑计算应力变化大处单元应密集一些。结点的多少与疏密要考虑计算 机的容量和计算精度。机的容量和计算精度。4.4.单元边界的边长之比应尽可能靠近单元边界的边长之比应尽可能靠近1 1。宜宜不宜不宜有限元分析应注意的问题有限元分析应注意的问题7 7、充分利用结构的对称性、充分利用结构的对称性PPPPP2-2 有限单元法的计算步骤有限单元法的计算步骤jmijmiivivjv图 2-8mviujumuiVjVmViUjUmU(a)(b)ee 2、单元分析、单元分析 对三角形单元，建
5、立结点位移与结点力之间的转换关系。对三角形单元，建立结点位移与结点力之间的转换关系。 mmjjiievuvuvu mmjjiieVUVUVUF结点位移结点位移 结点力结点力 2-2 有限单元法的计算步骤有限单元法的计算步骤 2、单元分析、单元分析-单元刚度矩阵单元刚度矩阵 取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力：取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力： 其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。就是要求出单元刚度矩阵。 单元分析的步骤可表示如下：单元分析的步骤可表示如下： 2)-(2 KFeee结点位移内
6、部各点位移应变应力结点力(1)单元分析(4)(3)(2)2-2 有限单元法的计算步骤有限单元法的计算步骤 3、单元综合、单元综合 将离散化了的各个单元合成整体结构，利用结点平衡方将离散化了的各个单元合成整体结构，利用结点平衡方程求出结点位移。程求出结点位移。 在位移法中，主要的任务是求出基本未知量在位移法中，主要的任务是求出基本未知量-结点位移。结点位移。为此需要建立结点的平衡方程。为此需要建立结点的平衡方程。ijmiiii)1(iVyiPxiP)e (iU )3(iV)3(iU)1(iU)4(iV)4(iU)e (iV (a)(b)(c)图 2-92-2 有限单元法的计算步骤有限单元法的计算
7、步骤 3、单元综合、单元综合 i点总的结点力应为：点总的结点力应为： 根据结点的平衡条件，得根据结点的平衡条件，得 单元单元e e的结点力，可按式的结点力，可按式(2-2)(2-2)用结点位移表示，代入得用结点位移表示，代入得到用结点位移表示的平衡方程。到用结点位移表示的平衡方程。 每个可动结点有两个未知位移，有两个平衡方程，所以每个可动结点有两个未知位移，有两个平衡方程，所以方程总数与未知位移总数相等，可以求出所有的结点位移。方程总数与未知位移总数相等，可以求出所有的结点位移。 单元综合的目的就是要求出结点位移。结点位移求出后，单元综合的目的就是要求出结点位移。结点位移求出后，可进一步求出各
8、单元的应力。可进一步求出各单元的应力。)()4()3() 1 ()()4()3() 1 (eieiiieieiiiYYYYXXXXeyiejexieiFYFX)()(2-3 单元位移函数单元位移函数 如果弹性体的位移分量是座标的已知函数，则可用几何如果弹性体的位移分量是座标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。 有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分
9、成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位位移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场。 对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取
10、多少项数，要受单元型式的限制。确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。.yaxyaxayaxaau26524321.ybxybxbybxbbv265243212-2 单元位移函数单元位移函数 三结点三角形单元三结点三角形单元六个节点位移只能确定六个多六个节点位移只能确定六个多项式的系数，所以平面问题的项式的系数，所以平面问题的3 3结点三角形单元的位移函数如结点三角形单元的位移函数如下，下，所选用的这个位移函数，将单所选用的这个位移函数，将单元内部任一点的位移定为座标元内部任一点的位移定为座标的线性函数，位移模式很简单。的线性函数，位移模式很简单。yaxaavyaxaau654321位移函数写
11、成矩阵形式为：位移函数写成矩阵形式为： 654321aaaaaayx1000000yx1vuf将水平位移分量和结点坐标代入位移函数第一式，mmmjjjiiiyaxaauyaxaauyaxaau321321321写成矩阵形式，321111aaayxyxyxuuummjjiimji令 T111mmjjiiyxyxyx则有 mjiuuuaaa1321TTTT*1A2T A为三角形单元的面积。 T的伴随矩阵为， T*Tijjiijjimiimmiimjmmjjmmjxxyyyxyxxxyyyxyxxxyyyxyx 令mjimjimjimmmjjjiiicccbbbaaacbacbacbaT*T 则mj
12、imjimjimjiuuucccbbbaaaAaaa21321同样，将垂直位移分量与结点坐标代入位移插值公式mjimjimjimjivvvcccbbbaaaAaaa216542-3 单元位移函数单元位移函数最终确定六个待定系数最终确定六个待定系数mjimjimjimji321uuucccbbbaaaA21aaamjimjimjimji654vvvcccbbbaaaA21aaau )ycxba(u )ycxba(u )ycxba(A21ummmmjjjjiiiiv )ycxba(v )ycxba(v )ycxba(A21vmmmmjjjjiiii2-3 单元位移函数单元位移函数令令 （下标（下标
13、i i，j j，m m轮换）轮换）简写为简写为)ycxba(A21NiiiimmjjiimjimjivuvuvuN0N0N00N0N0Nvuf mjimjieINININNf mmjjiimjievuvuvuII是单位矩阵，是单位矩阵， NN称为形态矩阵，称为形态矩阵，N Ni i称为位移的形态函数称为位移的形态函数2-3 单元位移函数单元位移函数 选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。因此，选用的位移模式应当满足下列
14、两方面的条件：答。因此，选用的位移模式应当满足下列两方面的条件：(1) (1) 必须能反映单元的刚体位移和常量应变。必须能反映单元的刚体位移和常量应变。 6 6个参数个参数 到到 反映了三个刚体位移和三个常量应变。反映了三个刚体位移和三个常量应变。(2) (2) 必须保证相邻单元在公共边界处的位移连续性。必须保证相邻单元在公共边界处的位移连续性。 ( (线性函数的特性线性函数的特性) )1a6a 形态函数Ni具有以下性质：1) 在单元结点上形态函数的值为1或为0。2）在单元中的任意一点上，三个形态函数之和等于1。T0T21A0T21A用 来计算三角形面积时，要注意单元结点的排列顺序，当三个结点
15、i，j，m取逆时针顺序时，当三个结点i，j，m取顺时针顺序时，图 4-3yxu,yxv,yxu,yxv,2-3 单元位移函数单元位移函数 作业：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵作业：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵N,N,应变矩阵应变矩阵, ,应力矩阵应力矩阵, ,单元刚度矩阵。单元刚度矩阵。0yxyxajmmjiayybmji0 xxcjmi0yxyxamiimj0yybimjaxxcmij2ijjimayxyxaayybjimaxxcijm2-3 单元位移函数单元位移函数 由三角形的面积由三角形的面积2aA2ax)0ax0(a1)ycxba(A21N2iiiiay)ay00(a1)ycxb
16、a(A21N2jjjjayax1)ayaxa(a1)ycxba(A21N22mmmmayax10ay0ax00ayax10ay0axN2-4 单元载荷移置单元载荷移置 连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹性体承受的任意分布的载荷都向结点需把弹性体承受的任意分布的载荷都向结点移置移置( (分解分解) )，而成为结点载荷。如果弹性体受承受的载荷全都是集中力，而成为结点载荷。如果弹性体受承受的载荷全都是集中力，则将所有集中力的作用点取为结点，就不存在移置的问题，则将所有集中力的作用点取为结点，就不存在移置的问题，集中力就是结点载荷。但实际
17、问题往往受有分布的面力和集中力就是结点载荷。但实际问题往往受有分布的面力和体力，都不可能只作用在结点上。因此，必须进行载荷移体力，都不可能只作用在结点上。因此，必须进行载荷移置。如果集中力的作用点未被取为结点，该集中力也要向置。如果集中力的作用点未被取为结点，该集中力也要向结点移置。结点移置。 将载荷移置到结点上，必须遵循将载荷移置到结点上，必须遵循静力等效的原则静力等效的原则。静。静力等效是力等效是指原载荷与结点载荷在任意虚位移上做的虚功相指原载荷与结点载荷在任意虚位移上做的虚功相等等。在一定的位移模式下，移置结果是唯一的，且总能符。在一定的位移模式下，移置结果是唯一的，且总能符合静力等效原
18、则。合静力等效原则。单元的虚位移可以用结点的虚位移 表示为 （3-15）令结点载荷为 e* eNf*令结点载荷为 mmjjiieYXYXYXRtdxdypNtdsPNPNRTsTTce yxPPP*PNRTTeeTePNRTe集中力的移置如图所示，在单元内任意一点作用集中力由虚功相等可得，由于虚位移是任意的，则例题1：在均质、等厚的三角形单元ijm的任意一点p（xp，yp）上作用有集中载荷。yxyxmmjjiimmjjiiPPNNNNNNYXYXYXpp),(000000 yxptdxdypNRTTeTe*tdxdypNRTe体力的移置令单元所受的均匀分布体力为 由虚功相等可得， TYXP,s
19、TetdsPNR分布面力的移置设在单元的边上分布有面力，同样可以得到结点载荷，例题：设有均质、等厚的三角形单元ijm，受到沿y方向的重力载荷qy的作用。求均布体力移置到各结点的载荷。tdxdyqNNNNNNYXYXYXymmjjiimmjjii00000000, 0, 0mjiXXXdxdyNtqtdxdyqNYiyyiiAycxbaAAAycAxbAaAdxdyycxbaAdxdyNciciiciciiiiii31)(2121)(21AtqYyi31AtqYAtqYymyj31,31同理，例题：在均质、等厚的三角形单元ijm的ij边上作用有沿x方向按三角形分布的载荷，求移置后的结点载荷。sx
20、mmjjiimmjjiitdsqNNNNNNYXYXYX0000000LsNi1LsNj0mN取局部坐标s，在i点s=0，在j点s=l，L为ij边的长度。在ij边上，以局部坐标表示的插值函数为，LsqqxqtLLsLsqttdsLsqLsXLLi61)32()1 (02320qtLLsqttdsLsqLsXLLj3130230载荷为 例：例：总载荷的总载荷的2/32/3移置到结点移置到结点i i，1/31/3移置到结点移置到结点j j，与原载荷同向与原载荷同向yxmjipixjxjLiLyxmjiqixjxLW3/W3/W3/W3/ql6/qllq2/ql2/ql2-5 单元应力矩阵单元应力矩
21、阵 本节利用几何方程、物理方程，实现用结点位移表示单元本节利用几何方程、物理方程，实现用结点位移表示单元的应变和单元的应力。的应变和单元的应力。 用结点位移表示单元的应变的表达式为用结点位移表示单元的应变的表达式为 ，BB矩阵称为几何矩阵。矩阵称为几何矩阵。 mmjjiimmjjiimjimjivuvuvubcbcbcc0c0c00b0b0bA21xvyuyvxueB mjiBBBB iiiiibcc00bA21B2-5 单元应力矩阵单元应力矩阵 由物理方程，可以得到单元的应力表达式由物理方程，可以得到单元的应力表达式 为应力矩阵为应力矩阵 eBDDBDS mjiSSSS iiiiii2iib
22、21c21cbcb)1(A2EBDS2-6 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 讨论单元内部的应力与单元的结点力的关系，导出用结点讨论单元内部的应力与单元的结点力的关系，导出用结点位移表示结点力的表达式。位移表示结点力的表达式。 由应力推算结点力，需要利用平衡方程。第一章中已经用由应力推算结点力，需要利用平衡方程。第一章中已经用虚功方程表示出平衡方程。虚功方程表示出平衡方程。 17)-(1 dxdydzFT*T*ivimUjUiUmvjvmj*ivi*mU*jU*iU*mv*jvmjy*xy*y*x，xyx(a)结点力、内部应力(b)虚位移、虚应变2-6 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 考虑上图三角形单元的实
23、际受力，结点力和内部应力为：考虑上图三角形单元的实际受力，结点力和内部应力为： 任意虚设位移，结点位移与内部应变为任意虚设位移，结点位移与内部应变为 xyyx *xy*y*x* mmjjiiVUVUVUF *m*m*j*j*i*ie*vuvuvu2-6 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为m*mm*mj*jj*ji*ii*iVvUuVvUuVvUuTmmjjii*m*m*j*j*i*iVUVUVU vuvuvu eeT*F2-6 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为计算内力虚功时，
24、从弹性体中截取微小矩形，边长为dxdx和和dydy，厚度为厚度为t t，图示微小矩形的实际应力和虚设变形。图示微小矩形的实际应力和虚设变形。dydxdxdxdydydxdxdxdydydyt dyxt dyxt dxyt dxyt dxxyt dxxyt dyxyt dyxydx*xdy*y*xy*xy(a)实际应力(b)虚设应变2-6 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 微小矩形的内力虚功为微小矩形的内力虚功为 整个弹性体的内力虚功为整个弹性体的内力虚功为tdxdydUUT*dy)(tdx)(dy)(tdx)(dx)(tdy)(dU*xyxy*yy*xx)tdxdy(xy*xyy*yx*xtdxdy
25、xyyx*xy*y*x tdxdyT*2-6 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 根据虚功原理，得根据虚功原理，得 这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。的平衡方程。 虚应变可以由结点虚位移求出：虚应变可以由结点虚位移求出： 代入虚功方程代入虚功方程 tdxdyFT*eTe* TTe*Te*T*B)B( tdxdyBFTTe*eTe* tdxdyBFTe2-6 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 接上式，将应力用结点位移表示出接上式，将应力用结点位移表示出 有有 令令 则则 建立了单元的结点力与结点位移之间的关系，建立了单元的结点力与结点位
26、移之间的关系， 称为称为单元刚度矩阵。它是单元刚度矩阵。它是6 6* *6 6矩阵，其元素表示该单元的各结点沿矩阵，其元素表示该单元的各结点沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的形坐标方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。元或坐标轴的平行移动而改变。 eBD eTeyDBtdxdBF yDBtdxdBKTe eeeKF eK2-6 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 由于由于DD中元素是常量，而在线性位移模式下，中元素是常量，而在线性位移模式
27、下， BB中的元中的元素也是常量，且素也是常量，且 因此因此 可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩阵。度矩阵。 eTeyDBtdxdBFAdxdy eTeDBtABF DBtABKTe2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义及其性质 已经求出了下列关系已经求出了下列关系 t ABT t ABDBKTe e eF D B BDS ( (6 6) )( (3 3) )( (3 3) )( (6 63 3) )( (3 33 3) )( (3 36 6) )( (3 36 6) )( (6 66 6) )2-7
28、单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义及其性质 结点力和结点位移的关系：结点力和结点位移的关系：( (以简单平面桁架为例以简单平面桁架为例) ) 平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合体平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合体在结点载荷的作用下，结点对单元、单元对结点都有作用力与在结点载荷的作用下，结点对单元、单元对结点都有作用力与反作用力存在，大小相等方向相反，统称为结点力。反作用力存在，大小相等方向相反，统称为结点力。 结点力和结点位移的关系前面已经求出：结点力和结点位移的关系前面已经求出：ADBPCAP eeeKF2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质单
29、元刚度矩阵的物理意义及其性质 单元刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的物理意义： 将将 写成分块矩阵写成分块矩阵 写成普通方程写成普通方程 其中其中 表示结点表示结点S(S=S(S=i,j,mi,j,m) )产生单位位移时，在结点产生单位位移时，在结点r(rr(r= =i,j,mi,j,m) )上所需要施加的结点力的大小。上所需要施加的结点力的大小。mjimmmjmijmjjjiimijiimji KKKKKKKKKFFF K K KF K K KF K K KFmmmjmjimiimjmjjjijijmimijijiiii eF rsK2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意
30、义及其性质 单元刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的物理意义： 将结点力列矩阵将结点力列矩阵 与结点位移列矩阵与结点位移列矩阵 均展开成均展开成(6(6* *1)1)阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成(6(6* *6)6)阶方阵：阶方阵： 元素元素K K的脚码，标有的脚码，标有“- -”的表示水平方向，没有标的表示水平方向，没有标“- -”的表示垂直方向。的表示垂直方向。 eF emmjjiimmmmmjjmmiimmmmmjmjmimimjmmjjjjjjiijmjmjjjjjijijimmiijjiiiiimimijijiiiiimmjjiivuvuvu K
31、KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKVUVUVU2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义及其性质 单元刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的物理意义： 单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。 表示结点表示结点S(S=S(S=i,j,mi,j,m) )在水平方向、垂直方向在水平方向、垂直方向产生单位位移时，在结点产生单位位移时，在结点r(rr(r= =i,j,mi,j,m) )上分别所要施加的水平结上分别所要施加的水平结点力和垂直结点力的大小。例如点力和垂直结点力的大小。例如 表示结点表示结点j
32、j在垂直方向产在垂直方向产生单位位移时，在结点生单位位移时，在结点i i所需要施加的水平结点力的大小。所需要施加的水平结点力的大小。mj,i,Sssrssrrm)j,i,)(rvKu(K Umj,i,Ssrsssrrm)j,i,)(rvKu(K Vrssrsrsr，K，K，KKjiK2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义及其性质 单元刚度矩阵的性质：单元刚度矩阵的性质： 1)1)对称性：对称性： 是对称矩阵是对称矩阵 2)2)奇异性：奇异性： 是奇异矩阵，是奇异矩阵， 单元刚度矩阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数单元刚度矩阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的
33、对应元素之和也为零。由此可见，单元刚度矩阵各列元素行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚度矩阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。 eK eK0Ke2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义及其性质 单元刚度矩阵的性质：单元刚度矩阵的性质： 例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设yxaai(a,0)m(0,0)j(0,a)1 1、求、求BB2 2、求求 DD3 3、求求 SS4 4、求求 0 eK 110110101000010001a1B 5.000010001 ED 5.0
34、5.005.05.00101000010001aES 5.15.15.5.05.5.105.5.11010005.5.05.5.05.5.05.5.00100012EtKe2-8 整体分析整体分析 将各单元组合成结构，进行整体分析。将各单元组合成结构，进行整体分析。23yP3xP314562xP1yPaaaa整体分析分整体分析分4 4个步骤个步骤1 1、建立整体刚度矩阵；、建立整体刚度矩阵；2 2、根据支承条件修改整、根据支承条件修改整体刚度矩阵；体刚度矩阵；3 3、解方程组，求出结点、解方程组，求出结点位移；位移；( (消去法与叠加法消去法与叠加法) )4 4、根据结点位移求出应、根据结点位
35、移求出应力。力。 KF2-8 整体分析整体分析23yP3xP314562xP1yPaaaa 图示结构的网格共有四图示结构的网格共有四个单元和六个结点。在结个单元和六个结点。在结点点1 1、4 4、6 6共有四个支杆支共有四个支杆支承。结构的载荷已经转移承。结构的载荷已经转移为结点载荷。为结点载荷。 整体分析的四个步骤：整体分析的四个步骤：1 1、建立整体刚度矩阵；、建立整体刚度矩阵；2 2、根据支承条件修改整体、根据支承条件修改整体刚度矩阵；刚度矩阵；3 3、解方程组，求结点位移；、解方程组，求结点位移；4 4、根据结点位移求出应力。、根据结点位移求出应力。 对单元的分析得出单元刚度矩阵，下面
36、，将各单元组合成对单元的分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组合成结构，进行整体分析。结构，进行整体分析。2-8 整体分析整体分析 1 1、建立整体刚度矩阵、建立整体刚度矩阵( (也叫作结构刚度矩阵也叫作结构刚度矩阵) ) 上图中的结构有六个结点，共有上图中的结构有六个结点，共有1212个结点位移分量和个结点位移分量和1212个个结点力分量。由结构的结点位移向量求结构的结点力向量时，结点力分量。由结构的结点位移向量求结构的结点力向量时，转换关系为：转换关系为： 分块形式为：分块形式为： 其中子向量其中子向量 和和 都是二阶向量，子矩阵都是二阶向量，子矩阵 是二行二列矩阵。整体刚度矩阵是二行二列
37、矩阵。整体刚度矩阵KK是是1212* *1212阶矩阵。阶矩阵。 KF 654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211654321KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKFFFFFF i iFijK2-8 整体分析整体分析 2 2、根据支承条件修改整体刚度矩阵。、根据支承条件修改整体刚度矩阵。 建立整体刚度矩阵时，每个结点的位移当作未知量看待，没有建立整体刚度矩阵时，每个结点的位移当作未知量看待，没有考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对支承条件
38、加以考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对支承条件加以处理。处理。 在上图的结构中，支承条件共有四个，即在结点在上图的结构中，支承条件共有四个，即在结点1 1、4 4、6 6的四的四个支杆处相应位移已知为零：个支杆处相应位移已知为零： 建立结点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。建立结点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。 3 3、解方程组，求出结点位移。、解方程组，求出结点位移。 通常采用消元法和迭代法两种方法。通常采用消元法和迭代法两种方法。 4 4、根据结点位移求出应力。、根据结点位移求出应力。00006441vvuu，2-9 整体刚度矩阵的形整体刚度矩阵的形式式 整体刚
39、度矩阵整体刚度矩阵 是单元刚度矩阵是单元刚度矩阵 的集成。的集成。 1 1、刚度集成法的物理概念：、刚度集成法的物理概念： 刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点位移引起的刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点位移引起的结点力。结点力。 由由2-82-8节的例题可见，与结点节的例题可见，与结点2 2和和3 3相关的单元有单元和相关的单元有单元和，当结点，当结点3 3发生单位位移时，相关单元和同时在结点发生单位位移时，相关单元和同时在结点2 2引引起结点力，将相关单元在结点起结点力，将相关单元在结点2 2的结点力相加，就得出结构在的结点力相加，就得出结构在结点结点2 2的结点力。由此看出，结
40、构的刚度系数是相关单元的刚的结点力。由此看出，结构的刚度系数是相关单元的刚度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是相关单元的对应子块度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是相关单元的对应子块的集成。的集成。 ek K2-9 整体刚度矩阵的形整体刚度矩阵的形式式 2 2、刚度矩阵的集成规则：、刚度矩阵的集成规则： 先对每个单元求出单元刚度矩阵先对每个单元求出单元刚度矩阵 ，然后将其中的每，然后将其中的每个子块个子块 送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭加送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构刚度矩阵之后即得出结构刚度矩阵KK的子块，从而得出结构刚度矩阵的子块，从而得出结构刚度矩阵K
41、K。 关键是如何找出关键是如何找出 中的子块在中的子块在KK中的对应位置。这需中的对应位置。这需要了解单元中的结点编码与结构中的结点编码之间的对应关系。要了解单元中的结点编码与结构中的结点编码之间的对应关系。 ek ijk ek2-9 整体刚度矩阵的形整体刚度矩阵的形式式 2 2、刚度矩阵的集成规则：、刚度矩阵的集成规则：23145aaaa61j3m2m1m4i3i1i2i4j3j2j4m 结构中的结点编码称为结构中的结点编码称为结点的总码，各个单元的三结点的总码，各个单元的三个结点又按逆时针方向编为个结点又按逆时针方向编为i,j,mi,j,m, ,称为结点的局部码。称为结点的局部码。 单元刚
42、度矩阵中的子块单元刚度矩阵中的子块是按结点的局部码排列的，是按结点的局部码排列的，而结构刚度矩阵中的子块是而结构刚度矩阵中的子块是按结点的总码排列的。因此，按结点的总码排列的。因此，在单元刚度矩阵中，把结点在单元刚度矩阵中，把结点的局部码换成总码，并把其的局部码换成总码，并把其中的子块按照总码次序重新中的子块按照总码次序重新排列。排列。2-9 整体刚度矩阵的形整体刚度矩阵的形式式 以单元为例，局部码以单元为例，局部码i,j,mi,j,m对应于总码对应于总码5,2,45,2,4，因此，因此 中的子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵中的子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵 为：为： (2)k (2
43、)K)2(jjK)2(jmK)2(jiK)2(mjK)2(mmK)2(miK)2(ijK)2(imK)2(iiK2j2m2i2j2m2i126543216543局部码总码2-9 整体刚度矩阵的形整体刚度矩阵的形式式 用同样的方法可得出其他单元的扩大矩阵用同样的方法可得出其他单元的扩大矩阵 将各单元的扩大矩阵迭加，即得出结构刚度矩阵将各单元的扩大矩阵迭加，即得出结构刚度矩阵KK： 集成规则包含搬家和迭加两个环节：集成规则包含搬家和迭加两个环节： 1 1、将单元刚度矩阵、将单元刚度矩阵 中的子块搬家，得出单元的扩中的子块搬家，得出单元的扩大刚度矩阵大刚度矩阵 。 2 2、将各单元的扩大刚度矩阵、将
44、各单元的扩大刚度矩阵 迭加，得出结构刚度迭加，得出结构刚度矩阵矩阵KK。 ( (例题略例题略) ) (4)(3)(1)K、K、K (e)(4)(3)(2)(1)KKKKKK ek eK eK)1(jjK)2(mmK)2(miK)1(jmK)1(jiK)2(jmK)4(iiK)4(miK)4(jiK2m1j2m4i126543216543局部码总码321i ,j ,m431j ,m,i432m,j ,i321ijm1j431jmi432mji4i)1(mmK)2(jjK)3(iiK)1(miK)3(imK)1(iiK)3(mmK)4(jjK)2(jiK)3(ijK)3(mjK)4(jmK)2(i
45、iK)3(jjK)4(mmK2-10 支承条件的处理支承条件的处理 整体刚度矩阵整体刚度矩阵KK求出后，结构的结点力求出后，结构的结点力FF可表示为可表示为 在无支杆的结点处，结点力就等于已知的结点载荷。在在无支杆的结点处，结点力就等于已知的结点载荷。在有支杆的结点处，则求结点力时，还应把未知的支杆反力考有支杆的结点处，则求结点力时，还应把未知的支杆反力考虑在内。如果用虑在内。如果用PP表示结点载荷和支杆反力组成的向量，则表示结点载荷和支杆反力组成的向量，则结点的平衡方程为结点的平衡方程为 根据支承条件对平衡方程加以处理。先考虑结点根据支承条件对平衡方程加以处理。先考虑结点n n有水平有水平支
46、杆的情况。与结点支杆的情况。与结点n n水平方向对应的平衡方程是第水平方向对应的平衡方程是第2n-12n-1个方个方程，程， 根据支承情况，上式应换成根据支承情况，上式应换成 ，即在，即在KK中，第中，第2n-12n-1行的对角线元素行的对角线元素 应改为应改为1 1，该行全部非对角线元，该行全部非对角线元素应改为素应改为0 0。在。在PP中，第中，第2n-12n-1个元素个元素 应改为应改为0 0。 此外，为了保持矩阵此外，为了保持矩阵KK的对称性，则第的对称性，则第2n-12n-1列全部非对列全部非对角线元素也改为角线元素也改为0 0。 KF P Kxnn1,2n2nn11,2n2n11,
47、22n11,12nP.vKuK.vKuK0un11,2n2nKxnP2-10 支承条件的处理支承条件的处理 同理，如果结点同理，如果结点n n有竖向支杆，则平衡方程的第有竖向支杆，则平衡方程的第2n2n个方程个方程应改为应改为 ，为此，在矩阵，为此，在矩阵KK中，第中，第2n2n行的对角线元素行的对角线元素改为改为1 1，该行全部非对角线元素改为，该行全部非对角线元素改为0 0，同时，第，同时，第2n2n列全部非列全部非对角线元素也改为对角线元素也改为0 0。在。在PP中，第中，第2n2n个元素改为个元素改为0 0。0vn00PPPPvuvuvu000000000000100000000000
48、01000000000000000000y2x2y1x1nn22112-10 支承条件的处理支承条件的处理 2-8 2-8节中的结构，结点节中的结构，结点1 1有水平支杆，结点有水平支杆，结点2 2有两个支杆，有两个支杆，结点结点3 3有竖向支杆。对支承条件处理后，矩阵修改为：有竖向支杆。对支承条件处理后，矩阵修改为：23yP3xP314562xP1yPaaaa210*0*0*000010000010*00*0*00*0*00*0*00*0*00*000000000001Et称对2-10 支承条件的处理支承条件的处理 最后考虑支点最后考虑支点n n的水平位移的水平位移 为已知非零值为已知非零值
49、 的情的情况，这时的支承条件为况，这时的支承条件为 对平衡方程的第对平衡方程的第2n-12n-1个方程作如下修改：个方程作如下修改： 对角线系数对角线系数 乘以一个大数乘以一个大数A ( A ( 例如例如A=A=101010 10 ) )； 右边自由项换成右边自由项换成 ； 其余各项保持不变，即有其余各项保持不变，即有 实际上，上式中除包含大数实际上，上式中除包含大数A A的两项外，其他各项相对地的两项外，其他各项相对地都比较小，可以忽略不计，因此与支承条件等价。都比较小，可以忽略不计，因此与支承条件等价。 对于支点的竖向位移对于支点的竖向位移 的支承条件，也可用同的支承条件，也可用同样的方法
50、进行修改。样的方法进行修改。nu*nu)*n(*nn0u uu*nnvv 11,2n2nK*n11,2n2nuAK*n11,2n2nn1,2n2nn11,2n2n11,22n11,12nuAK.vKuAK.vKuK2-11 整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。找到整体解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。找到整体刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。 1 1、对称性。、对称性。 只存贮矩阵的上三角部分，节省近一