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1、5-1引言在有限元法中，把单元与单元之间设置的相互连接点，称为结点。一般用号码1、2、进行结点编号。结点可为铰接、固接或其它形式的连接。结点的设置、性质及数目等均视所研究问题的性质、描绘变形状态的需要和计算精度的要求等而定。在有限元法中引进结点概念是至关重要的。有了结点，才可将实际连续体看成是仅在结点处相互连接的单元集合组成的离散型结构，从而可使研究的对象转化成可以使用电子计算机计算的教学模型。由单元、结点、结点连线构成的集合称为有限元模型。它是有限元分析与计算的对象。 5-1-1 结构离散化1、单元划分类型单元划分类型 单元类型：三角形单元、四边形单元 单元数目：根据计算精度要求来确定结点设
2、置：使单元的的结点编号尽量靠近有限元模型：由单元、结点、结点连线构成的集合2、 离散化时应注意的问题离散化时应注意的问题 相邻单元的尺寸尽可能相近；同一单元的最大和最小尺寸之比尽可能接近1，不宜过大；应使全部单元中相关结点的结点编码差值为最小；单元划分时内部每个结点所连接的单元数应尽量相等连续介质的离散连续介质的离散 对于二维连续介质，以图所示的建筑在岩石基础上的支墩坝为例，用有限单元法进行分析的步骤如下： (1)用虚拟的直线把原介质分割成有限个三角形单元，这些直线是单元的边界，几条直线的交点称为结点。 (2)假定各单元在结点上互相铰接，结点位移是基本的未知量。 (3)选择位移函数。 (4)通
3、过位移函数，用结点位移唯一地表示单元内任一点的应变；再利用广义虎克定律，用结点位移可唯一地表示单元内任一点的应力。 (5)利用能量原理，找到与单元内部应力状态等效的结点力，再利用单元应力与结点位移的关系，建立等效结点力与结点位移的关系。 (6)将每一单元所承受的荷载，按静力等效原则移置到结点上。 (7)在每一结点建立用结点位移表示的静力平衡方程，得到一个线性方程组：解出这个方程组，求出结点位移，然后可求得每个单元的应力。 连续介质的有限单元分析包含三个基本方面：介质的离散化、单元特性计算以及单元组合体的结构分析。3、位移函数位移函数在选择多项式时，为了使有限单元法的计算精度和收敛性得到保障，还
4、需要满足完备性和连续性的要求。为了使位移模式尽可能地反映物体中的真实位移形态，它应满足下列条件：（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移；（2）位移模式必须能反映单元的常量应变；（3）位移模式应尽可能地反映位移的连续性。弹性力学平面问题一般选择多项式函数作为位移函数。 .26524321yaxyaxayaxaau.26524321ybxybxbybxbbv5-1-2 平面问题的总势能表达式将第二章的原理用于平面问题单元分析时，其总势能表达式为 式中相对第二章所讲的总势能表达式多了一项 ，它是单元结点力的外力势能。从整体分析角度，由于结点平衡单元结点力是不出现的，因此有的数上没有这一项，但从最小势
5、能原理作为单元分析和整体分析的推导来说，应该包括这一项。12TTTeTePbSAALEdAdAdA F dF dF eTeF (5-1)5-2常应变三角形单元三角形单元是一种简单方便、对边界适应性强的单元，由于以三角形的三个顶点作为结点，因此又成为三结点三角形单元。这种单元的计算精度较低，使用的时候必须进行精细的网格划分，但他仍然是一种常用的单元5-2-1 单元结点位移和结点力yxOijkbxFbyFiuiviyFixFkukvkyFkxFjujvjyFjxF图5-2为任一的典型单元。单元局部坐标结点编号记作1，2，3逆时针进行标记，其对应的整体结点编号记作 ，。由于平面问题局部坐标和整体坐标
6、是一致的，因此没有坐标转换问题，故也可只标记整体编号以便形成点位向量，如图所示单元每个结点有两个位移分量，称作结点位移，记作ij k图5-2 常应变三角形单元iiiuv（5-2）将三个结点位移按结点编号排在一起称为单元结点位移记作：TeTTTijk（5-3）与结点位移相对应，每个结点上受有2个其他单元对它作用的力，称为结点力，记作TeTTTijkFFFFixiiyFFF将三个结点力按结点编号排在一起称为单元结点力记作：（5-4）（5-5）单元上作用的体积力记为bxebbyFFF（5-6）若单元的边界是物体边界，并且该边界有表面力的话，该表面力记作：SxeSSyFFF（5-7）体积力和表面力表达
7、式找中矩阵元素均是沿坐标方向的分布荷载集度。5-2-2 用面积坐标建立单元位移场1、面积坐标的定义面积坐标的定义 设P为三角形单元中的一点，与三个顶点 ， ， 相连，则可将 分割3小块，如图5-3a所示，分别记这三个小三角形面积为jkikAiAjAPijkijk图5-3a 面积坐标示意iPjkjPikkPjiAAAAAA对于三角形单元，完全可以同杆系单元一样，在直角坐标下采用广义坐标法建立形函数及单元位移场。但下面将引入的面积坐标除了也可确定点的位置外，对三角形单元的分析具有许多优越性，因此首先介绍面积坐标。jkiP图5-3b 面积坐标示意则显然存在如下恒等关系等坐标轴线 有图5-3b可见，P
8、点位置除了可用直角表示外，也可以用 ， ， 中的任意两个来确定。等坐标轴线等坐标轴线kAiAjAijkijkAAAAA（5-8）kAiAjA 若令1(, , )lALli j kA（5-9）那么P点位置就可用量纲参数 ， ， 中的两个来确定，因此 可以作为确定点位置的一种坐标方法。因此 是根据面积来定义的，故称 ， ， 为面积坐标。kA常数kLjLiLijl, ,lL li j kkLjLiL 由上述定义可见:面积坐标是一种固定于单元的局部坐标，它具有如下性质： Li+Lj+Lk=1； 当P在结点 时， ；当P在结点 所对的边线上时 ； 当P在与 边平行的直线上时， ， ，因此称这些直线为等坐
9、标线，如图5-3b所示。l1, ,lLli j k0lL lL 常数 若以Li和Lj构成面积坐标系，则单元面积坐标系中的图形是个直角边为1的等腰直角三角形，如图5-4所示。三个结点的面积坐标分别为:1( ) i2( ) j11iLjL3( )k图5-4 面积坐标下的单元结点 ：结点 ：结点 ：单元的三条边线方程为：单元形心处的坐标为ijk10ijkLLL10jikLLL10kijLLL000kijijLjkLikL边；边；边13kijLLL2、面积坐标与直角坐标之间的关系面积坐标与直角坐标之间的关系 单元面积 为11121ijjkkxyAxyijkixy脚标轮换规则为 设P点坐标(x,y)，则
10、有数学可知，三块小面积为11121iijjkkxyAxyxyijkA 因此有111111212,()jjjjiikkkkiiiiiijkkjijkikjiyxxyALxyyxxyAAab xc yijkAa b cax yx ybyyijkicxx式中分别为（5-10） 若将式（5-10）写成矩阵关系，则有112iiiijjjjkkkkLabcLabcxALabcy（5-11） 由式（5-11）可求得1111iijkjijkkLxxxxLyyyyL（5-13）（5-12） 即0ijkiijjkkiijjkkLLLxL xL xL xyL yL yL y式（5-10）和式（5-13）即为两种坐标
11、系间的变换关系 建立了坐标系间的转换关系，则按求导法则可得1212ijkijkijkijkbbbxALLLcccyALLL（5-13） 利用数学知识 可以证明! ! !2(2)! !()1 !ijijkVijilSL L L dVtAL L dStlijjkki 1kijLLL （和分部积分）（5-15）（5-14） 式中 ， ， 为面积坐标的幂， 为 边的长度， 为平面问题板厚。这些公式将在今后研究三角形单元等参单元计算中应用。ijLijt3、常应变三角形单元的位移场常应变三角形单元的位移场 由形函数的性质可知，本结点为1，它结点为零，在单元内任一点全部形函数和均为1.而面积坐标的性质正好与
12、形函数的性质相同，所以常应变三角形单元的形函数可取面积坐标，即 由此可得形函数矩阵为 其中1()2iiiiNab xc yijkiA222000()000ijkijkijkNNNNNNNNNNIII,iijjkkNL NL NL（5-15）（5-18）（5-17）2I为二阶单位矩阵 有了形函数矩阵，则单元内任意一点的位移可表示为：euv dN附、附、广义坐标法广义坐标法位移函数位移函数对三角形单元，假定单元内的位移分量是坐标的线性函数( , )123uu x yxy546( , )vv x yxy 则 有123iiiuxy123jjjuxy123mmmuxy 546iiivxy546jjjvx
13、y546mmmvxy 1利用线性代数中解方程组的克来姆法则, 可解出待定常数11AA22AA33AA 式中行列式: 1iiijjjmmmuxyAuxyuxy2111iijjmmuyAuyuy3111iijjmmxuAxuxu2111iijjmmAxyAxyxy A为ijm的面积,只要A不为0,则可由上式解出:11()2m mi ijjaua ua uA21()2m mi ijjbub ub uA31()2m mi ijjcuc uc uA mmijjax yx ymmjiiax yx ymijj iax yx ymijbyymjibyymijbyymijcxxmjicxxmjicxx式中: 为
14、了书写方便，可将上式记为:()jmmjijmimjiax yx ybyyijmicxx整理上式后可得: ( , )( , )( , )mmiijjuN x y uN x y uNx y u( , )( , )( , )mmiijjvN x y vN x y vNx y v 同理: 式中: 1()()2iiiiNabx c yijmiA 将三角形单元的位移函数用矩阵表示： vuivuvum 0 j 0 i 0 0 m 0 j 0 mjiimNNNNNNvuid evuNd或 例题5-1 试求图5-5所示等腰直角三角形单元的形函数矩阵N。a2a13xy图5-5 等腰直角三角形单元212332123
15、13222311323121331221312321111122223333123120,0,0,012112120000Aaax yx ybyycxxaax yx ya byya cxxaax yx ybyya cxxyNab xc yAaxyNab xc yAaxNab xc yAaNNNN N由此可得形函数矩阵1230100000010yxyxaaaNNyxyxaaa l应变根据单元的位移场函数式（5-20），由几何方程可以得到单元 的应变场表达式：00 xTyxyuxxvyyuvyxyxdA d（5-21）式中微分算子矩阵A为00 xyyxA=（5-22）5-2-3 基于最小势能原理的
16、单元分析TeeA NBBB000000jikjikjjiikkijkNNNxxxNNNyyyNNNNNNyxyxyxB =BBB010(, ,)2rrrrrbcri j mAcbB其中，矩阵称为几何矩阵。矩阵可以表示为分块矩阵的形式这里，由此位移模式可得单元中任意一点的应变矩阵（5-25）将式（5-19）代入式（5-24）可得（5-24）（5-23） 可见，由于采用了线性位移函数，应变矩阵是常数矩阵。因而单元中的应力及应变式是常数，这就是把这种单元称为常应变单元的原因。 若单元中存在初应变（由温度改变或是收缩的因素引起）00000Txyxye则单元的弹性应变 为e = -（5-27）（5-26
17、）l应力场由物理方程及式（5-27），可以得到单元的应力场表达式： （5-28）其中为应力矩阵，称为弹性矩阵，对于平面应力问题，00eDeDBDSDeSDBD21010(1)1002ED将应力矩阵表示为分块矩阵的形式，有： （5-29）其中： ijmSSSS2(, ,)2 (1)1122rrrrrrrrbcEbcri j mAcbSDB11(, ,)2 (1 2 ) 111 21 22 12 1rrrrirrrbcEbcri j mAcbSDB对于平面应变问题，只需将换为，换为 ，则（5-30）变为： E21E1（5-30）（5-31）l单元刚度矩阵（1）单元的应变能 （5-32）（2）单元上
18、外力的势能 1( )2TV dd *eTeTePbVeTeTebAeTeTeTePbSVSeTeTeTebSALEdVtdAEdVdStdAdL若单元的三边均不是物体的应力边界（也即没有边界属于S ），此时外力势能为若单元至少有一边是物体的应力边界时，外力势能中应增加表面力的外力势能，即F dF F NFF dF dF F NF NF（5-34）（5-33）由式（5-32）和式（5-34）得到单元的总势能为：*02eTTTTPAtAtdACE e B DBB Dee利用最小势能原理，取结点位移的变分，得到： 0 ee当为内部单元时*TeTeePbAEtdA FN F（5-35）（5-36）当单
19、元在边界处时（5-37）*TeTeTeePbSALEtdAdL FN FN F（5-38）若记：iiijikTjijjjkkikjkktAkkkkB DBkkkkkke0eTTeEbAAtdAtdAFB DN F或eEk FFeee（5-39）0eTTeTeEbbAALtdAtdAdLFB DN FN F则式（5-36）可改写为（5-41）（5-40）上式即为单元刚度方程式。单元刚度矩阵的显式表示, ,rx sxrx syTrsrsry sxry sykkr si j mkkkB DB对于平面应力问题，其刚度矩阵的显式： 21122, ,114 (1)22rsrsrsrsrsrsrsrsrsb
20、 bc cb cc bEtr si j mAc bb cc cb bksrsrsrsrsrsrsrsrrsbbcccbbcbccbccbbAtE)1 (221)1 (2211)1 (2211)1 (221)21)(1 (4)1 (k平面应变问题（5-42）l等效结点荷载等效结点荷载矩阵可由式（5-40）计算获得，但是对一些简单荷载情况也不按式（5-40）计算，而是由静力等效原则直接取得。因此作用在弹性体上的外力，需要移置到相应的结点上成为结点荷载。荷载移置要满足静力等效原则。、 静力等效原则：指原荷载与结点荷载在任何虚位移上的虚功都相等。在一定的位移模式下这样的移置结果是唯一的，而且总能符合通
21、常理解的对刚体而言的静力等效原则。分布边界力的等效结点荷载TxTememejejeieieEtlpYXYXYX0001012FTxTememejejeieieEtlpYXYXYX000320312Fij边上均布力pxij边上三角形荷载pxSesTeEdstFNF分布体积力的等效结点荷载TememejejeieiAbTeEYXYXYXdAtFNFdxdypNpNpNpNpNpNtdAtTymxmyjxjyixiAbTeEFNFgppyx , 0),(3mjigtAYi0iX 例题5-2 试求例题5-1等腰直角三角形单元的刚度矩阵；若在单元边界点 处作用有竖向荷载 ，试求等效结点荷载矩阵 ，设 。
22、1011010010100101001aByP0eEF22aayPa2a13xy 解解：算例5-1已求出了形函数N1，N2和N3于是由式（5-24）有 当 时，平面应力问题与平面应变问题弹性矩阵D彼此相等，即01000200022ED 由式（5-29）可得1011010020200202002aEDBS 因此可得：1011010202001031211213010020201011014EtAtAtTTeSBDBBk又由（5-40），单元厚度为t=1:eTeESLdLFN F1231102222aaxyNNN当时，12312322000000011000022TeEyaaxyTyyNNNPNN
23、NPP F3.2.6整体刚度矩阵得到了单元刚度矩阵后，需要将一系列的将单元组成一个整体结构，然后根据结点载荷平衡的原则进行分析，得到整体刚度矩阵。整体分析包括以下4个步骤：（1）建立整体刚度矩阵，（2）根据支承条件修改整体刚度矩阵，（3）解方程组，求出结点的位移，（4）根据结点位移，求出单元的应变和应力。由单元刚度矩阵得到整体刚度矩阵的基本方法是刚度集成法，即整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成。 整体刚度矩阵的集成 xy123456ijmijmijm单元编号单元编号单元结点局部编号单元结点局部编号单元结点整体编号单元结点整体编号（1）312（2）524（3）532（4）356ijmijmijmi
24、jmijm2j（ ）(2)m(2)i2j（ ）(2)jjk(2)jmk(2)jik(2)m(2)mjk(2)mmk(2)mik(2)i(2)ijk(2)imk(2)iik整体整体编号123456 局部编号0001 00000020003 000000400050006 000000以二单元为例 进行集装 mmjmimjmjjiiiiimijijimijimmmmjimijijiijjiijmmiijimijjmjmimmmjjmmmjjimjjjkk0k00kkkkkkkkk00kk0k0kkk0kkkkkk0kkkkkkkkk000kkk整体刚度矩阵 其中 K为二阶矩阵。由上表可以看出，整体
25、刚度矩阵也具有对称性。同时它是一个稀疏矩阵，即其中有大量的零元素，并且非零元素都集中于主对角线附近呈带状。和单元刚度矩阵一样，由于位移函数中包含刚体位移，所以整体刚度矩阵也是一个奇异矩阵。必须要排除刚体位移后，才能变为正定矩阵。 边界条件的处理 边界的约束情况 (1)基础支承结构 (2)具有对称轴的结构（3）具有给定位移边界的结构 边界条件的处理方法 (1)直接代入法 按结点位移已知和待定重新组合方程 对角元素改1法 nnjnnnnnpppKKKKKKKKnjnj000001000002121212121222111211只能用于给定零位移。 对角元素乘大数法 njjjnjnnnnjnjjjj
26、npKppKKKKKKKKKKKK21212121222111211jjjnjnjjjjjKKKKK2211)(jiKKjijjjjjjjjKKjj输入离散模型数据按选择的单元计算单元刚度矩阵按总刚存储模式集成总刚按单元循环计算单元等效结点荷载集成结点荷载列阵引入位移边界条件解方程组其他辅助计算结果输出、结束形成K形成P5-2-6有限元的收敛性有限元的收敛性 解的收敛性也可理解为一个问题的解的精度，较粗的分，影响一个实际问题的解的精度可分成三个方面： 实际物理问题理想化力学模型有限元求解方法（解法）数字截断。 此处仅讨论解法。绪论中提到，有限元作为一种数值方法可以认为是里兹法（弹性力学解）的一
27、种特殊形式，不同之处在于有限元法的形函数（在弹力称试探函数）是定义于单元（子域）而不是全域。里兹法的收敛条件是要求试函数具有完全性和连续性。那么它在有限元法中又是如何具体体现的？ 可从两方面： 严格的数学论证（用变分原理）； 物理方面，也就是单元模型问题（三角形单元的位移摸式）。、位移模式的收敛性条件、位移模式的收敛性条件 （1）完备性完备性 条件条件u位移函数中必须包含刚体位移；u位移函数必须能反映单元的常应变状态。（2）协调性条件协调性条件u位移函数应在单元内连续，在单元之间边界上要协调。 不满协调条件的单元不一定不收敛，满足一定条件的一些非协调单元不仅收敛而且收敛速度比协调单元还快、精度
28、更高。因此，对任何单元完备性条件必须满足，如再满足协调条件的单元称为协调元。 用能量变分法可以证明，有限元位移法得到的位移解，总体上不大于真正解。即解具有下限性质解具有下限性质。 位移解下限性质可以这样理解：所划分单元是原来连续体的一部分，具有无限多个自由度，在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际加强了，因此连续体刚度随之加强，故求得的近似解总体上（而不是每一点）将小于精度解。 又由此可知，杆件结构原本只在结点约束，且位移模式与假设者相同（精确方法：力法，位移法），故有限元法对于杆件结构所求得的是精确解。
29、、位移法解的下限性质、位移法解的下限性质位移法解的下限性质证明位移法解的下限性质证明5-3 平面矩形单元矩形单元也是常用的单元之一，由于采用了比常应变三角形单元更高次数的位移模式，故可以更好地反映弹性体的位移状态和应力状态。yx2a2b4321O2243211 1 11O(a)直角坐标(b)自然坐标图5-9 矩形双线性单元图5-9a所示为有四个结点的平面矩形单元，共有8个结点位移参数。可以直接在直角坐标下进行分析。为使分析过程简洁明了，这里引入一个量纲一的正则坐标正则坐标(自然坐标),xyab 在正则坐标系下原矩形单元映射为边长为2的正方形单元如图5-9b。5-43 5-3-1 用正则坐标建立
30、单元位移场l广义坐标法 和杆系单元一样，根据结点位移条件，可设单元的位移函数为12345678uaaaavaaaa（5-44） 式中 为广义坐标，根据结点位移求出，代会式（5-44）整理后便可获得以形函数表达的位移场。ia 将四个结点的局部坐标值代入（5-44）式，可以列出八个结点位移分量方程，从而得到两组关于 的四元联立方程，即12345678123456781234567812345678uaaaavaaaauaaaavaaaauaaaavaaaauaaaavaaaaia 分别解除八个位移参数，代回式（5-44），按结点位移分类合并可得：41 1223344141 12 23 34 41i
31、iii iiuN uN uN uN uN uvN vN vN vN vN v附 形函数求解过程132411(1)(1)(1)(1)4411(1)(1)(1)(1)44NNNN 其中：00,(1,2,3,4)iii0011/4iN 其中： 写成统一表达式： 需要说明的是，位移函数中二次 而不是取平方项 或是 ，基于如下考虑： （1）位移应该只与物体受力和变形有关，和坐标系的选取无关，即所选位移函数应该具有“坐标不变性”； （2） 如果取平方项，则沿单元边线（另一坐标为常数）位移变化将是坐标的二次曲线 而此边线两相邻的单元只有两个结点具有相同的 值，有它们只能保证直线的位移变化，不可能保证两单元具
32、有相同的二次曲线位移变化，也即不能保证相邻单元位移协调。因此，从收敛性可知，取坐标平方项是不合适的。u2212341124(,1)uaaaauaaa 设则在边界上22l试凑法确定形函数 在 坐标系下，单元的四条边界线的方程分别为1234(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)NNNN 111122133144( ,)1(,)(,)(,)0NNNN 10,1010,10 根据形函数应具有的性质：本点处形函数为1，它点处形函数为0，例如（5-45）（a） 由式（5-45）可知下列函数且自动满足形函数它点为零的性质（b） 代入本点坐标且令其等于1可求得14 1N00,(1,2,3,4)iii
33、0011/4iN（c） 将式(c)代回式(b)且引入如下记号 则形函数可写作 可以验证广义坐标法和试凑法的结果完全相同。形函数的图形如图5-10 。 （5-46）（5-47）41123图5-10 双线性单元形函数 示意图1Nl单元位移函数 有了形函数，和三角形单元一样，可由单元结点位移用下式构造单元位移场 euv dN（5-48） 式中形函数矩阵 为N12223242()NNNNNIIII（5-49）l单元协调性 从式（5-44）或式（5-47）和式（5-48）可见位移函数中包含常数项和一次项，并且从式（5-47）可验证 ，故完备性条件满足。在单元边界上 ，位移是按线性变化的，在相邻单元边界的
34、结点位移协调的情况下，边界位移也是协调的。因此这种单元式收敛的。1iN 11 或或 5-3-2 应变和应力矩阵 采用与三角形单元完全相同的分析方法和步骤可得一下结果： 1uubxvvayabuvuvabyxBe记为：l应变矩阵1234BBBBB这里，B矩阵称为几何矩阵。B矩阵可以表示为分块矩阵的形式（5-50）其中 00000(1)01100(1)(1,2,3,4)4(1)(1)iiiiiiiiiNbbNaaiabababNNab B（5-51）式中 、 为 、 方向单元边长的一半。 abxyl应力矩阵由物理方程及式几何方程，可以得到单元的应力场表达式，DDBSee其中为应力矩阵，D称为弹性矩
35、阵，对于平面应力问题，SDB21010(1)1002ED将应力矩阵表示为分块矩阵的形式1234SSSSS其中：0000200(1)(1)(1)(1)(1,2,3,4)4(1)11(1)(1)22iiiiiiiibaEbaiabab SDB对于平面应变问题，只需将E换为，换为。 21E1（5-52）（5-53）5-3-3单元刚度矩阵和三角形单元一样，可以根据最小势能原理导出结点位移向量和结点力向量之间关系，即单元的刚度矩阵 ，可以将其写成分块的形式。Ke11121314212223243132333441424344ekkkkkkkkkkkkkkkkke其中如果单元厚度t为常数，则得到1111(
36、 ,1,2,3,4)eTijijabtd di j kB DB（5-55）（5-54）对于平面应力问题21131211123,1,2,3,44(1)1131211123ijijijijijijeijijijijijijijbaabEti jabbak（5-56）对于平面应变问题，只需将E换为，换为。 21E1l单元等效结点荷载矩阵11eTeTeEbSLtd ddL FN FN F（5-57）式（5-57）中后一项只有单元处于边界且受表面力时才有。和三角形单元一样，一些简单情况的等效荷载也可由静力等效来得到。5-5 平面等参单元对于线性边界问题，矩形和三角形单元不仅精度低，而且必然产生离散误差。
37、如果通过缩小单元尺寸来改善计算结果，又将使未知量数目剧增。为了提高精度减少未知量，本节介绍一种工程有限元分析中广泛应用的“等参数单元（简称等参元）”。等参元的基本思想：首先建立规整形状单元（称为母单元）的形函数，然后利用它做两件事：（1）根据坐标映射用母单元形函数和实际单元的结点坐标确定所划分单元的几何形状，这个实际划分单元称为“子单元”；（2）利用母单元形函数和单元结点位移建立子单元的位移场。 解决了这两个问题后，利用最小势能原理，进行一定的数学推导，就可以建立等参元的单元刚度方程。在平面问题的有限单元法中，最简单也是常用的单元是具有三个结点的三角形单元，其次是具有四结点的矩形单元。这两种单
38、元形状简单、规整，单元各基本矩阵如N、B、k、R等的求解比较容易，具有显式表示。并且三角形单元具有适应性强的优点，能应用于曲折的几何边界，分布不均匀的材料类型和梯度不等的应力区域，但它的精度较低。而矩形单元具有精度较高、形状规整、便于实现计算自动化等优点，但它的适应性差，不便用于曲线边界和非正交的直线边界。对于材料不均匀的结构和应力梯度不等的区域也难以布置大小不等的网格。5-5-1 基本概念基本概念现以任意四边形等参元为例，说明等参元的有关基本概念，为进一步介绍打好基础。1、实际单元几何形状的描述，图形变换、实际单元几何形状的描述，图形变换图5-14b为任一四结点四边形单元（子单元）。在直角坐
39、标下要用一个解析的式子描述单元上的任意一点，也即确定其几何形状不太容易，为此选用自然坐标表示四结点正方形单元做为参照（母单元），见图5-14a。通过映射来实现从母单元到子单元之间的图形变换。其实质是建立两个单元上所有点的一一对应关系。yO2134xOxy4312(a)母单元及试凑直线方程示意(b)等参元图5-14 四结点等参元示意从母单元映射到任意子单元的映射关系可借子单元的结点坐标表达为4141(,)(,)iiiiiixx Nyy N （5-58）若记单元任一点的坐标矩阵（简称坐标矩阵），结点坐标矩阵和单元结点坐标矩阵分别为11223344()()(1,2,3,4)()TTiiieTxyxy
40、ixyxyxyxyxxx 则式（5-58）可用矩阵形式表示如下ex = Nx（5-59） 式中： 为母单元的形函数矩阵。N由式（5-58）或式（5-59）可得如下结论l由母单元形函数的性质可知，通过映射可得到子单元结点直角坐标母单元中某一坐标线 代入式（5-58），可得l它是以 为参变量的子单元整体xy坐标系中直线的参数方程。也即映射结果是子单元的一条斜直线。l母单元的正交坐标轴 映射到子单元上，得到一个斜角坐标（以后的高阶单元为曲线坐标）轴，记作 轴，因此，现在子单元有两种坐标 ， 是整体坐标，而 是固定于单元的局部坐标。l当母单元形函数确定后，再由各种具体问题实际单元划分所确定的子单元结点
41、坐标，由式（5-59）关系，可映射得到所有实际单元，因此，关键是建立母单元的形函数。l由于母单元直线经式（5-59）映射后仍为直线，而两个相邻子单元的公共边线有相同的结点，故映射后的两子单元相邻边线处处吻合，不会产生分离和重叠。()例如常数1212xaaybb( , ) ( , ),x y 和()( , )x y( , ) ( , ) （5-60）2、建立单元位移场、建立单元位移场( , ) 4141iiiiiieuu Nvv Nd = N 由于 坐标既是母元的直角坐标，又是等参元的曲线（现在是斜交直线）坐标。母元的形函数是 的函数，因此，等参元的位移场亦可仿母元的位移场建立如下：( , )
42、（5-61b）（5-61a） 或 式中： 为母元的形函数； 为子元中任意一点的位移； 为子元的结点位移。Nde3、几点说明、几点说明l等参元的位移分布与母元的位移分布即使在结点位移相同的情况下也可能是不同的。l单元位移场与单元几何形状都是用相同的形函数构造的，并用相同个数的结点参数来描述，因此称这类单元为等参数单元。l若由结点坐标插值构造单元几何形状所用的形函数比结点位移插值构造单元位移场的形函数阶次低，并且所用的结点参数个数少，则称为亚参元亚参元。反之，若阶次高，结点个数多，则称为超参元超参元 。 4、两类坐标系之间导数的变换关系、两类坐标系之间导数的变换关系 形函数矩阵N只是局部坐标,的显
43、函数,为求形函数对整体坐标x,y的偏导数，必须用复合函数求导公式: yyxxyyxx或写成： yxyxyx（5-62）（5-63）将式（5-58）代入式（5-63）则有 yxyNxNyNxNiiiiiiiiiiii由式（5-64）可得 yxxNxNyNyNiiiiiiiiiiiiJdet1（5-64）（5-65）式中 iiiiiiiiiiiiyNxNyNxNJ称为雅可比矩阵雅可比矩阵。而 iiiiiiiiiiiixNyNyNxNJdet（5-66） 称为雅可比行列式雅可比行列式。基于式（5-65）和 式（5-66）对于平面问题的微分算子矩阵为xyyxTAAAAxyyx0000A（5-67）式中
44、 iiiiiiyiiiiiixxNxNAyNyNA11)(det)(detJJ（5-68）（5-69）雅可比矩阵计算示例单元a334)1)(1 ()3(4)1)(1 ()3(4)1)(1 (34)1)(1 (x2)2(4)1)(1 ()2(4)1)(1 (24)1)(1 (24)1)(1 (y2003yxyxJdet3 2 06 J单元b)1)(1 (3213)1)(1 (3213)1)(1 (3213)1)(1 (321341x)1)(1 (21)1)(1 (21)1)(1 (21)1)(1 (2141y2132103yxyxJ113det30222 3 J单元c)1)(1 ()1)(1 (
45、)1)(1 ()1)(1 (41x)3(41)1)(1 (43)1)(1 (43)1)(1 (41)1)(1 (4541y)3(0)1 (441yxyxJ313det10444 J1、八结点曲边四边形等参元、八结点曲边四边形等参元5-5-2 几种常用单元描述和位移模式 图5-15给出了八结点曲边四边形等参元母元与子元示意图，四边形等参元四结点曾加到八结点，一方面可以进一步提高精度，另一面又可拟合曲边界线，因而此单元用途比较广。 l母元的形函数母元的形函数 八结点四边形等参元母元是八结点正方形单元（图5-15a），除四个角顶结点外，还取四边中点作为新结点。根据形函数性质，可直接由试凑法得到八个形
46、函数。下面介绍由低阶母元形函数按统一方法生成高阶母元形函数的步骤。 36521Ohx1x1h10 x h 10 x h 84710 x h 1h1x10 x h 36521847xhyx(a)母单元及试凑法方程示意图(b)等参元图5-15 八结点等参元示意 (1)根据形函数性质，用试凑法建立边界上新增结点函数。对八结点等参元为 2257226811(1)(1),(1)(1)2211(1)(1),(1)(1)22NNNN （2）计算低阶母元函数在新增结点处的值，对八结点等参元分别为：111122225867678533324444675885670.500.500.500.50NNNNNNNNN
47、NNNNNNN （3）对低阶母元角顶结点形函数进行“它点为零的修正”。例如八结点等参元的N1为：81113221(1)(1)41111(1)(1)(1)(1)22221(1)(1)(1)4iiNNN N 不难验证直接试凑和统一方法所得的结果完全相同。八结点等单元的全部形函数为：21522523524511(1)(1)(1),(1)(1)4211(1)(1)(1),(1)(1)4211(1)(1)(1),(1)(1)4211(1)(1)(1),(1)(1)42NNNNNNNN （5-70） 或是写成如下形式000021020001(1)(1)( 1)(1,2,3,4)41(1)(1)(5,7)2
48、1(1)(1)(6,8)2,iiiNii 其中（5-71）四边形十二结点等参元 参考教材119页【例题5-7】l位移场位移场 按照等参元建立位移场思路，八结点四边形等参元的位移模式可由八结点母元形函数构造得到:8811(),()iiiiiieuu Nvv Nd = N或（5-73a）（5-73b） 补充：拉氏族单元（矩形单元） 拉格朗日插值：121111211()()()()()()()()()()()()( )1;( )0(1,2,)nkknikikkkkkkknkii kkikLLLinin k性质=且( )( )ijijNLL形函数为O21341111(1)(1)1 11 14N 例：边
49、长为2 其他形函数自行推出。结点的等效荷载2、六结点三角形等参元、六结点三角形等参元 图5-17给出了用面积坐标表示的六结点三角形母元及六结点三角形等参元示意。42516320L 10L 1L11/20L 21/2 0L 2L2463xy521LLO1(a)母单元及试凑法方程示意图(b)等参元图5-15 六结点三角形等参元示意l母元的形函数母元的形函数 在面积坐标下，由直接试凑或统一方法可得六结点三角形等参元形函数为111412(21)(123)4(456,1231)NLLNLL （5-74b）（5-74a）角结点边中点 三角形十结点等参元参考120页【例题5-8】。l图形变换图形变换 根据等
50、参元定义，子单元形状可由下式确定6123161231(,)(,)iiiiiiexx N L L Lyy N L L Lx = Nx 或 式中 又子单元的六个结点坐标分量所组成。ex（5-75）l位移场位移场 根据等参元定义，六结点三角形等参元的位移模式，可由母元形函数构造而成。即6123161231(,)(,)iiiiiieuu N L L Lvv N L L Ld = N 或（5-76） 补充：索氏单元（三角形单元） 索氏插值：函数构造就是选择能盖着其他点的直线的乘积。4251632L3L 例：11111111111111()211211() 1(1)2212 ()(21)2NL LNNL