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1、有限元分析有限元分析第第1章章绪论1.1 1.1 计算机辅助工程（计算机辅助工程（CAECAE）概述）概述1.2 1.2 有限元法（有限元法（FEMFEM）的发展与现状）的发展与现状1.3 1.3 有限元法的基本思想有限元法的基本思想什么是计算机辅助工程（CAE）CAE=在产品的研发过程中，利用计算机进行建模及性能仿真分析性能仿真的内容涉及产品（或系统）的力学性能（变形，应力）、热学性能、流动性能、振动特性和噪声控制等可替代大多数昂贵而费时的物理样机实验，即用数字化样机取代传统的物理样机实验广泛应用于各工业领域1.1 计算机辅助工程（CAE）概述为什么要采用CAE波音777的研发过程中采用CA
2、E数字化样机技术，节省了大量物理样机试飞次数，仅一次试飞即获得成功，每次物理样机实验需花费1亿美元CAE技术在汽车工业中的应用，使新车开发周期由原来的56年缩减到现在的12年在机械工程中的应用齿轮在土木工程中的应用在航空工程中的应用在电子工程中的应用在生物工程中的应用CAE方法体系机械系机械系统物理模型：物理模型：结构模型，机构模型构模型，机构模型数学模型：数学模型：偏微分方程，常微分方程偏微分方程，常微分方程数学模型：数学模型：物体运物体运动：常微分方程，：常微分方程，铰约束：代数方程束：代数方程解析法：材料力学，解析法：材料力学，弹性力学等性力学等数数值法法解析法：理解析法：理论力学，力学
3、，机械原理等机械原理等数数值法法有限差分法有限差分法FDM有限元法有限元法FEM边界元法界元法BEM有限体有限体积法法FVM无网格法无网格法Meshfree多体多体动力学力学或虚或虚拟样机机结构模型构模型机构模型机构模型CAE方法体系数值分析工具箱“如果仅有一把锤子，解决问题的方法只能是用钉子”有限元法：CAE的最主要方法，求解问题包罗万象，几乎涵盖各个学科及各个工程领域。技术最成熟，商业软件十分丰富。如ANSYS,NASTRAN,MAC,LS-DYNA,ABAQUS,ADINA与CAE相关的课程材料力学，结构力学，弹性力学，流体力学，热力学等理论力学，机械原理，机械振动计算机三维造型（Sol
4、idEdge,Pro/E,Solid Work,UG等软件的使用）有限元分析（FEM）(有限元理论及软件的使用如ANSYS,ABAQUS,LS-DYNA)虚拟样机理论及应用（多体系统动力学理论及虚拟样机软件的使用如ADAMS）无网格法理论及应用CAE应用现状现有先进产品开发技术包括:CAD/CAE/CAM/PLM(Product Lifecyele Management)CAD已普及（要求每个工程师必须掌握）CAM/PLM（PDM）应用较少CAE在发达国家及一些大公司中利用CAE技术优化产品设计以降低成本，缩短研发周期已达80%95%CAE 的应用已涵盖机械工程的各个方面（包括运动分析，动力学
5、分析，强度及稳定性分析，液压传动分析，振动和噪声的控制等）CAE方面的专业人才短缺（包括发达国家）CAE的未来CAD/CAE/CAM/PLM 的软件被广泛应用，其价格低廉（“CAE计算器”）每个工程师都具备CAE的知识和能力大规模、多尺度、多场耦合分析，虚拟工程CAE全球化（如中国、印度的工程师承接美国的CAE项目）在线分析：基于新一代的高速因特网实现软件共享，协同分析打好基础，做好准备，适应未来发展的需要1.2有限元法的有限元法的发展与展与现状状 有限元法的基本思想源于有限元法的基本思想源于2020世纪世纪5050年代中期用于飞机结构年代中期用于飞机结构分析的分析的“矩阵分析法矩阵分析法”。
6、有限元法（。有限元法（Finite element methodFinite element method）的名称由美国的于的名称由美国的于19601960年首先提出。年首先提出。有限元法的应用范围有限元法的应用范围:从开始的杆、梁结构发展到弹性力学平面问题、空间问题、从开始的杆、梁结构发展到弹性力学平面问题、空间问题、板壳问题；板壳问题；由静力学平衡问题扩展到动力问题、波动问题和稳定问题等由静力学平衡问题扩展到动力问题、波动问题和稳定问题等;研究对象从弹性材料扩展到黏弹性、塑形、黏塑形及复合材料等研究对象从弹性材料扩展到黏弹性、塑形、黏塑形及复合材料等;从固体力学扩展到流体力学、传热学及连续
7、介质力学各个领域。从固体力学扩展到流体力学、传热学及连续介质力学各个领域。有限元法的理论也相当完善。科技人员将有限元理论、数值计算有限元法的理论也相当完善。科技人员将有限元理论、数值计算技术和计算机辅助设计技术等相结合，开发了一大批通用和专用技术和计算机辅助设计技术等相结合，开发了一大批通用和专用有限元软件。有限元软件。国际上大型通用有限元软件已经有几百种，最著名的有：国际上大型通用有限元软件已经有几百种，最著名的有：ANSYSANSYS、ADINAADINA、MARCMARC、ALGORALGOR等等有限元法是综合现代数学、力学理论、计算方法、计算机技术有限元法是综合现代数学、力学理论、计算
8、方法、计算机技术等学科的最新知识发展起来的一种新兴技术。等学科的最新知识发展起来的一种新兴技术。有限元法的基本思想：有限元法的基本思想：1.1.结构的离散化。结构的离散化。将连续体离散成若干个将连续体离散成若干个单元单元，单元之间通过其边界上的，单元之间通过其边界上的节点节点连接连接成组合体。成组合体。2.2.单元分析。单元分析。1.3有限元法的基本思想有限元法的基本思想有限元法基本采用有限元法基本采用位移法位移法，位移作为求解的基本未知量。，位移作为求解的基本未知量。选择选择位移模式位移模式：单元内任意点的位移随位置变化的函数，：单元内任意点的位移随位置变化的函数，近似表达单元内的位移分布。
9、近似表达单元内的位移分布。计算计算单元刚度矩阵单元刚度矩阵：建立单元节点力和节点位移之间的：建立单元节点力和节点位移之间的关系。运用几何方程和物理方程。关系。运用几何方程和物理方程。计算单元等效节点力：将作用在弹性体上的各种力等效计算单元等效节点力：将作用在弹性体上的各种力等效到节点上。到节点上。4.4.引入约束和载荷条件，求解线性方程组，得出节点位移引入约束和载荷条件，求解线性方程组，得出节点位移5.5.由节点位移计算单元的应力和应变。由节点位移计算单元的应力和应变。3.3.单元集成。单元集成。把单元刚度矩阵集成起来，形成整体刚度矩阵。把单元刚度矩阵集成起来，形成整体刚度矩阵。2.FEM的特
10、点的特点（1 1）具有）具有通用性和灵活性通用性和灵活性。（2 2）理论基础简明，物理概念清晰。）理论基础简明，物理概念清晰。（3 3）广泛采用矩阵计算，最适合于计算机）广泛采用矩阵计算，最适合于计算机存储，便于程序设计。对同一类问题，可以编存储，便于程序设计。对同一类问题，可以编制出通用程序，应用计算机进行计算。制出通用程序，应用计算机进行计算。1.4 1.4 有限元法在机械工程中的应用有限元法在机械工程中的应用1.1.静力学分析。包括机械结构承受静载荷作用下的应力、应变静力学分析。包括机械结构承受静载荷作用下的应力、应变和变形情况。和变形情况。2.2.模态分析。分析结构的固有频率和振型。模
11、态分析。分析结构的固有频率和振型。3.3.动力学分析。包括谐响应分析和瞬态动力学分析，用于分析动力学分析。包括谐响应分析和瞬态动力学分析，用于分析结构在随时间呈正弦规律或任意规律变化是的载荷作用下的响应。结构在随时间呈正弦规律或任意规律变化是的载荷作用下的响应。4.4.热应力分析。分析结构因温度分布不均而产生的热应力。热应力分析。分析结构因温度分布不均而产生的热应力。6.6.其他分析。例如：结构其他分析。例如：结构-流体耦合分析等。流体耦合分析等。5.5.流体分析。流体分析。课程内容程内容弹性力学的基本知性力学的基本知识平面平面问题的有限元法的有限元法等参数等参数单元元1.有限元基本理有限元基
12、本理论2.ANSYS上机上机实习王王新新荣荣 陈永永波波主主编 有有限限元元法法基基础及及ANSYSANSYS应用用 科学出版社科学出版社教材张力力 主主编，有限元法基，有限元法基础及及ANSYS程序程序应用基用基础，科学出版社科学出版社刘刘怀恒恒 主主编，结构及构及弹性力学有限元法西北工性力学有限元法西北工业大学大学出版社出版社参考资料第第2章章弹性力学的基本知性力学的基本知识2.1弹性力学的基本概念性力学的基本概念2.2弹性力学的基本方程性力学的基本方程2.3弹性力学的平面性力学的平面问题2.1弹性力学的基本概念性力学的基本概念有限元的基本理论是建立在有限元的基本理论是建立在弹性力学有限单
13、元法弹性力学有限单元法的基础上的基础上,在经典弹性力学的基本概念和基本方程上建立的。在经典弹性力学的基本概念和基本方程上建立的。研究对象研究对象材料力学材料力学研究杆件(如杆、梁、柱和轴)的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等。结构力学构力学在材料力学基础上研究杆系结构(如桁架、刚架等)。弹性力学性力学研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。杆系结构杆系结构研究研究弹性体的力学，有材料力学、性体的力学，有材料力学、结构力学、构力学、弹性力学。性力学。研究方法研究方法在区域在区域V内内严格考格考虑静
14、力学、几何学和物理学三方面的条件，静力学、几何学和物理学三方面的条件，建立建立三套方程三套方程;在在边界界s上考上考虑受力或受力或约束条件，建立束条件，建立应力或力或位移位移边界条件界条件;并在并在边界条件下求解上述方程，得出界条件下求解上述方程，得出较精确精确的解答。的解答。也考也考虑这几方面的条件，但不是十分几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近格的：常常引用近似的似的计算假算假设（如平面（如平面截面假截面假设）来）来简化化问题，并在，并在许多多方面方面进行了近似的行了近似的处理。理。因此因此材料力学材料力学建立的是近似理建立的是近似理论，得出的是近似的解答。，得出的是近似的解答。从其
15、精度来看，材力解法只能从其精度来看，材力解法只能适用于杆件形状的适用于杆件形状的结构。构。弹力研究方法力研究方法材力研究方法材力研究方法单元体的受力单元体的受力应力理论应力理论(平衡方平衡方程程)；单元体的变形单元体的变形变形几何理论变形几何理论(几几何方程何方程););单元体受力与变形间的关系单元体受力与变形间的关系本本构理论构理论(物理方程物理方程)。建立建立起普遍起普遍适用的适用的理理论与与解法。解法。在受力物体在受力物体内任取一点内任取一点（单元体）为（单元体）为研究对象。研究对象。弹塑性力学研究塑性力学研究问题的基本方法的基本方法 弹性力学的基本假性力学的基本假设 （1 1）连续性假
16、设：假定物质充满了物体所占据的全部空间，不留下）连续性假设：假定物质充满了物体所占据的全部空间，不留下 任何空隙。这是连续介质力学（包括弹塑性力学）的一条基本任何空隙。这是连续介质力学（包括弹塑性力学）的一条基本 假设。假设。（2 2）均匀性假设：假定物体内各点处材料均相同。）均匀性假设：假定物体内各点处材料均相同。（3 3）各向同性假设：假定物体内各点处各个方向上的物理性质相同。）各向同性假设：假定物体内各点处各个方向上的物理性质相同。(4)(4)完全弹性假设完全弹性假设:胡可定律胡可定律 （5 5）几何假设）几何假设小变形假设：小变形假设：变形产生的位移与物体的尺变形产生的位移与物体的尺寸
17、相比寸相比 ,是微小的。是微小的。关于外力、关于外力、应力、力、应变和位移的定和位移的定义分为体积力（体力）和表面力（面力）两类。有限元分析也使用集中力这一概念。1.外力外力（定义）分布在物体体积内的力，如重力、惯性力等。（表示）以单位体积内所受的力来量度，Px，Py，Pz（单位）力长度-3（符号）坐标正向为正。（定义）分布于物体表面上的力，如接触力，压力容器所受内压等。（表示）以单位面积所受的力来量度，qxqyqz（单位）力长度-2,Pa、MPa（符号）坐标正向为正。面力面力体力体力2.应力力假想切开物体，截面两假想切开物体，截面两边互互相作用的力（合力和合力矩相作用的力（合力和合力矩)，称
18、称为内力内力。应力：受力物体内某点某微力：受力物体内某点某微截面上内力的分布集度。截面上内力的分布集度。A0（量（量纲）力力长度度-2 ,(表示）表示）xx面上沿面上沿x向正向正应力，力，xyx面上沿面上沿y向切向切应力。力。（符号）（符号）应力成力成对出出现，坐，坐标面上的面上的应力的方向以力的方向以正面正向，正面正向，负面面负向向为正。正。根据剪根据剪应力互等定理知力互等定理知共计六个独立的应力分量。应力列阵应力列阵一点的一点的应力状力状态围绕一点一点p做出正六面体做出正六面体六个面：六个面：正面，正面，负面面物体形状的改物体形状的改变可以用它各部分的可以用它各部分的长度改度改变和角度改和
19、角度改变来表示。来表示。切切应变xy,yz,zx以直角减小以直角减小为正正,用弧度表示。用弧度表示。3.应变应变正应变和切切应变都是无因次的量都是无因次的量应变列阵应变列阵正正应变x，y，z以伸以伸长为正。正。在在P点沿点沿x、y、z三个正方向取微三个正方向取微线段段PA、PB、PC。变形后，形后，这三条三条线段的段的长度和它度和它们之之间的直角都会有所改的直角都会有所改变。以通以通过一点的沿坐一点的沿坐标正向微分正向微分线段的段的正正应变和和 切（剪）切（剪）应变 来表示。来表示。4.位移位移刚性位移：刚性位移：反映物体整体位置的变动；反映物体整体位置的变动；变形位移：变形位移：反映物体的形
20、状和尺寸发生变化。反映物体的形状和尺寸发生变化。研究物体在外力作用下的变形规律，只需研究物体研究物体在外力作用下的变形规律，只需研究物体内各点的相对位置变动情况，即研究变形位移。内各点的相对位置变动情况，即研究变形位移。位移列阵位移列阵一、几何方程一、几何方程2.2弹性力学基本方程性力学基本方程应变分量和位移分量的关系应变分量和位移分量的关系二、物理方程二、物理方程若弹性体只有单向拉伸或压缩时若弹性体只有单向拉伸或压缩时,根据材料根据材料力学胡克定律力学胡克定律:X方向拉伸时方向拉伸时,y和和z方向必然伴随横向收缩方向必然伴随横向收缩,则则剪应力与对应的剪应变之比剪应力与对应的剪应变之比G、E
21、和和的关系的关系:在三维情况下在三维情况下,由应变求应力由应变求应力的方程的方程:写成矩阵形式写成矩阵形式:=简写为简写为:=D其中其中:D称为弹性矩阵称为弹性矩阵由应力求应变的弹性方程由应力求应变的弹性方程:写成矩阵形式写成矩阵形式:=显然显然:=D-1三、平衡方程三、平衡方程弹性体中任一点满足平衡方程弹性体中任一点满足平衡方程,在给定边界上满在给定边界上满足应力边界条件。足应力边界条件。由微分体的平衡条件，建立由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程平衡微分方程；由微分由微分线段上段上应变与位移的几何关系，建立与位移的几何关系，建立几何方程几何方程；由由应力与形力与形变之之间的物理关系的物理关
22、系,建立建立物理方程物理方程；在在给定面力的定面力的边界界S上，建立上，建立应力力边界条件界条件;在在给定定约束的束的边界界Su上，建立上，建立位移位移边界条件。界条件。弹力的研究方法力的研究方法在在边界界S面上面上在在边界条件下求解上述方程，界条件下求解上述方程，15个未知量，个未知量，15个方程，得出个方程，得出应力、力、应变和位移。和位移。在体在体积V内内2.3弹性力学的平面性力学的平面问题弹性力学可分性力学可分为空空间问题和平面和平面问题。当当弹性体具有某种特殊形状，并且承受的是某种特殊外性体具有某种特殊形状，并且承受的是某种特殊外力力时，空，空间问题可能会近似地可能会近似地简化化为平
23、面平面问题。这样处理，分析和理，分析和计算的工作量会大大减少。算的工作量会大大减少。平面平面问题可分可分为平面平面应力力问题和和平面平面应变问题。一、平面应力问题一、平面应力问题厚度厚度远小于其他两方向尺寸的一等厚薄平板。小于其他两方向尺寸的一等厚薄平板。取平分厚度的平面（称取平分厚度的平面（称为中面）作中面）作为xOy坐坐标面。面。设在板面上不受任何外力，全部面力和体力都平行于中面，且沿厚度不在板面上不受任何外力，全部面力和体力都平行于中面，且沿厚度不变。在平面应力问题中，虽有，但0二、平面应变问题二、平面应变问题设有一等截面的无限有一等截面的无限长柱体，其受力特点是所有面力和体力都柱体，其
24、受力特点是所有面力和体力都平行于横截面，且沿其平行于横截面，且沿其长度方向不度方向不变。若其端部因受若其端部因受约束而在束而在z轴方向不能移方向不能移动，则每个横截面上各每个横截面上各点点Z向位移分量向位移分量W均均为零，且位移分量零，且位移分量u与与v仅是坐是坐标x、y的函数。的函数。物理方程物理方程:FEM中应用的方程：中应用的方程：几何方程几何方程:其中其中D D为弹性矩阵，对于平面应力问题是为弹性矩阵，对于平面应力问题是:对于平面应变问题：将上式弹性矩阵中的对于平面应变问题：将上式弹性矩阵中的E E换成换成 换成换成平衡方程平衡方程8 8个未知量，个未知量，8 8个方程。个方程。第第3
25、章章平面平面问题的有限元法的有限元法3.1结构的离散化构的离散化3.2三角形常三角形常应变单元的位移模式和形函数元的位移模式和形函数3.5整体分析整体分析3.6等效等效节点点载荷荷计算算3.8有限元分析的有限元分析的实例例3.3单元元刚度矩度矩阵3.4单元位移函数的元位移函数的选择原原则3.7约束条件的束条件的处理理v将将连续体体变换为离散化离散化结构构 将连续体划分为将连续体划分为有限有限多个、有限大小的多个、有限大小的单元单元，并使这些单元仅在并使这些单元仅在节点节点处连结起来，构成所谓处连结起来，构成所谓“离散化结构离散化结构”。3.1结构的离散化构的离散化离散化要注意离散化要注意:1.
26、1.单元形状的选择单元形状的选择:平面问题的单元，按其几何平面问题的单元，按其几何特性可分为两类：特性可分为两类：以三节点三角形为基础；以三节点三角形为基础；以任意四边形为基础。以任意四边形为基础。较高精度的三角形等参数单元；较高精度的三角形等参数单元；运用非常广泛的运用非常广泛的四边形等参数单元四边形等参数单元。这两两类都可以增加都可以增加节点也构成一系列点也构成一系列单元：元：首首选三角形三角形单元和等参数元和等参数单元。元。2.2.对称性的利用对称性的利用 利用结构和载荷的对称性：如结构和载荷都对于某轴对称，利用结构和载荷的对称性：如结构和载荷都对于某轴对称，可以取一半来分析；若对于可以
27、取一半来分析；若对于x x轴和轴和y y轴都对称，可以取四分之轴都对称，可以取四分之一来分析。一来分析。3.3.单元的划分原则单元的划分原则 通常集中载荷的作用点、分布载荷强度的突变点、分通常集中载荷的作用点、分布载荷强度的突变点、分布载荷与自由边界的分界点，支承点都应取为节点布载荷与自由边界的分界点，支承点都应取为节点单元的形状和尺寸可以根据要求进行调整。对于重要或应单元的形状和尺寸可以根据要求进行调整。对于重要或应力变化急剧的部位，单元应划分得小些；对于次要和应力变力变化急剧的部位，单元应划分得小些；对于次要和应力变化缓慢的部位，单元可划分得大些；中间地带以大小逐渐变化缓慢的部位，单元可划
28、分得大些；中间地带以大小逐渐变化的单元来过渡。化的单元来过渡。单元的划分原则单元的划分原则 单元数量要根据计算精度和计算机的容量来决定。在保证单元数量要根据计算精度和计算机的容量来决定。在保证精度的前提下，尽可能减少单元数量。精度的前提下，尽可能减少单元数量。不要把不同厚度或不同材料的区域划分在一个单元里。不要把不同厚度或不同材料的区域划分在一个单元里。单元的划分原则单元的划分原则 根据误差分析，应力及位移的误差都和单元的最小内角根据误差分析，应力及位移的误差都和单元的最小内角正弦成反比，所以单元的边长力求接近相等。即单元的三正弦成反比，所以单元的边长力求接近相等。即单元的三（四）条边长尽量不
29、要悬殊太大。（四）条边长尽量不要悬殊太大。4.4.节点的编号节点的编号应尽量使应尽量使同一单元的节点编号相差小些同一单元的节点编号相差小些，以减少整体，以减少整体刚度矩阵的半带宽，节约计算机存储。刚度矩阵的半带宽，节约计算机存储。上图，节点顺短边编号为好。上图，节点顺短边编号为好。3.2三角形常三角形常应变单元的位移模式和形函数元的位移模式和形函数首先以平面单元中最基本的三节点三角形单元为例，介绍首先以平面单元中最基本的三节点三角形单元为例，介绍有限元法。有限元法。单元分析的步骤可表示如下：单元分析的步骤可表示如下：节点位移节点位移内部各点内部各点位移位移应变应变应力应力节点力节点力 单元分析
30、单元分析分为四步求出相邻各量之间的转换关系分为四步求出相邻各量之间的转换关系,综合起来综合起来,得出由得出由节点位移求节点力的转换关系节点位移求节点力的转换关系:单元刚度矩阵单元刚度矩阵位移模式位移模式1.1.位移模式位移模式单元的若干个节点有基本未知量，即单元的若干个节点有基本未知量，即位移模式位移模式:单元内任一点的位移表达式，假定为坐标的简单元内任一点的位移表达式，假定为坐标的简单函数。单函数。反映单元的位移分布形态，是单元内的插值函数。反映单元的位移分布形态，是单元内的插值函数。在节点处等于该节点位移。在节点处等于该节点位移。位移模式可表示为：位移模式可表示为：N N为为形态矩阵形态矩
31、阵（形函数矩阵形函数矩阵）平面问题每个节点位移分量有两个，所以整个单元有平面问题每个节点位移分量有两个，所以整个单元有6 6个节点位移分量，即个节点位移分量，即6 6个自由度。个自由度。单元节点位移列阵单元节点位移列阵:三角形单元有6个自由度，内部任一点的位移是由6个节点位移分量完全确定的，位移模式中应含有6个待定系数，所以位移模式位移模式可取为：位移函数一般用位移函数一般用多多项式式来构造。来构造。位移模式位移模式:单元内任一点的位移表达式，假定为坐标的简单单元内任一点的位移表达式，假定为坐标的简单函数。函数。反映单元的位移分布形态。反映单元的位移分布形态。在弹性体内，位移变化非常复杂。有限
32、元法将整个弹性体在弹性体内，位移变化非常复杂。有限元法将整个弹性体分割成许多小单元，在每个单元内采用简单的函数来近似分割成许多小单元，在每个单元内采用简单的函数来近似表达单元的真实位移，将各单元连接起来，便可近似表达表达单元的真实位移，将各单元连接起来，便可近似表达整个弹性体的真实位移函数。整个弹性体的真实位移函数。这种化整种化整为零、化繁零、化繁为简的方法，正是有限元法的精的方法，正是有限元法的精华。假设节点i，j，m的坐标分别为(xi,yi),(xj,yj),(xm,ym)2.2.形函数形函数联立求解左边3个方程，得：其中A为三角形单元的面积注意注意：为了使得出的面了使得出的面积值不不为负
33、值，节点点i,j,m的次序必的次序必须是逆是逆时针。至于将那个。至于将那个节点作点作为起始点起始点i则没有关系。没有关系。同理，求解右边的三个方程，得到a4，a5，a6，解得：i，j，m轮换整理后得：其中Ni，Nj，Nm是坐标的线性函数，反应了单元的位移形态，称为形（状）函数形（状）函数。写成矩阵形式式中：I 二阶单位阵，N 形函数矩阵3.3.三角形面积坐标三角形面积坐标定义：定义：在三角形内任一点在三角形内任一点P P，向三个，向三个角点（节点）连线，将原三角形分割角点（节点）连线，将原三角形分割成三个子三角形，设子三角形的面积成三个子三角形，设子三角形的面积分别是：分别是：A Ai i，A
34、 Aj j，A Am m，则：，则：即即面积坐标定义为子三角形与原三角形面积之比面积坐标定义为子三角形与原三角形面积之比；记为：记为：P P（L Li i，L Lj j，L Lm m）。）。面积坐标的性质：面积坐标的性质：1.1.L Li i，L Lj j，L Lm m中只有两个是独立的。中只有两个是独立的。2.2.三角形三个角点处三角形三个角点处3.3.三条边上三条边上i-j:Li-j:Lm m=0 =0 j-m:Lj-m:Li i=0 =0 m-i:Lm-i:Lj j=0 =0 形心处：形心处：推论：三角形内一条平行于三角形任一边的直线推论：三角形内一条平行于三角形任一边的直线上的各点，具
35、有相同的与该边对应的坐标值。上的各点，具有相同的与该边对应的坐标值。面积坐标与直角坐标的转换：面积坐标与直角坐标的转换：（i,j,m)(i,j,m)因此：即三角形面即三角形面积坐坐标就是三角形相就是三角形相应的形函数。的形函数。所以，位移模式也可以用面所以，位移模式也可以用面积坐坐标表示表示为：(i,j,m)将面将面积坐坐标的表达式：的表达式：写成矩写成矩阵形式：形式：求逆得：求逆得：第第1行展开行展开为面面积坐坐标性性质1，第，第2行和第行和第3行展开即行展开即为局部的面局部的面积坐坐标和整体直角坐和整体直角坐标的关系：的关系：例例 题题下图为一平面应力的直角三角形单元，直角边长均为下图为一
36、平面应力的直角三角形单元，直角边长均为a,a,厚度为厚度为t t，弹性模量为，弹性模量为E,E,泊松比泊松比=0.3,=0.3,求形函数。求形函数。1.1.单元应变单元应变应变矩阵为常量，单元内应变是常数3.3单元元刚度矩度矩阵2.2.单元应力单元应力S称为应力力转换矩矩阵应用平面应力问题的弹性矩阵：应用平面应力问题的弹性矩阵：应变矩阵为常量，单元内应力也是常数，相邻单元的应变与应力将产生突变，但位移是连续的。能量转换与守恒定律能量转换与守恒定律，是自然界基本的运动规律之一。，是自然界基本的运动规律之一。实功原理：处于平衡状态的可变形固体，在受外力作用实功原理：处于平衡状态的可变形固体，在受外
37、力作用而变形时外力对其相应的位移所做的功（实功），等于而变形时外力对其相应的位移所做的功（实功），等于积蓄在物体中的应变能（实应变能）。积蓄在物体中的应变能（实应变能）。能量法的优点：与坐标系的选择无关，因而应用极为广泛。能量法的优点：与坐标系的选择无关，因而应用极为广泛。能量法与数学工具能量法与数学工具变分法的结合，导出虚位移（虚功）变分法的结合，导出虚位移（虚功）原理，使得用数学分析的方法解决力学问题的理论得到原理，使得用数学分析的方法解决力学问题的理论得到发展而更趋完善。发展而更趋完善。3.3.虚位移（功）原理虚位移（功）原理单元节点力列阵：单元节点力列阵：单元节点虚位移列阵：单元节点虚
38、位移列阵：节点力在虚位移所做的功：节点力在虚位移所做的功：简写为：简写为：4.4.单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元虚应变：单元虚应变：单元内应力在虚应变上所做的功（虚应变能）：单元内应力在虚应变上所做的功（虚应变能）：其中：其中：t t为单元厚度为单元厚度单元应力：单元应力：单元刚度矩阵单元刚度矩阵k ke e取决于单元的大小、方向和弹性常数，而与取决于单元的大小、方向和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。对于三角形常应变单元：对于三角形常应变单元：单元刚度矩阵为对称矩阵。单元刚度矩阵为对称矩阵。例例 题题下图为一平
39、面应力的直角三角形单元，直下图为一平面应力的直角三角形单元，直角边长均为角边长均为a,a,厚度为厚度为t t，弹性模量为，弹性模量为E,E,泊松泊松比比=0.3,=0.3,求单元刚度矩阵。求单元刚度矩阵。理论力学中质点、质点系（刚体）的虚位移原理；理论力学中质点、质点系（刚体）的虚位移原理；材料力学中杆件的虚位移原理。材料力学中杆件的虚位移原理。弹性力学中的弹性力学中的虚位移（虚功）原理虚位移（虚功）原理：在外力作用下处于平衡状态的变形体，当给与该物体微小在外力作用下处于平衡状态的变形体，当给与该物体微小位移时，位移时，外力总虚功外力总虚功在数值上在数值上等于变形体的总虚应变能等于变形体的总虚
40、应变能。虚：虚：微小的、任意的、可能的，变分的思路微小的、任意的、可能的，变分的思路实功实功是力在自己产生位移上所做的功，是力在自己产生位移上所做的功，虚功虚功是力在别的是力在别的（人为的）因素产生的位移上做的功。所谓（人为的）因素产生的位移上做的功。所谓”虚虚“并不并不是虚无，而是可能、虚设的意思。是虚无，而是可能、虚设的意思。“虚虚”的表达：的表达：l虚位移（虚功）原理：虚位移（虚功）原理：3.4单元位移函数的元位移函数的选择原原则三角形常应变单元简单，精度较差，要提高精度：三角形常应变单元简单，精度较差，要提高精度：1.1.增加单元数目和节点数目；增加单元数目和节点数目；2.2.采用更高
41、精度的单元。采用更高精度的单元。FEM中的一系列工作，都是以中的一系列工作，都是以位移模式位移模式为基基础的。所以当的。所以当单元元趋于很小于很小时，即，即x,y0时，为了使了使FEM之解逼近于真解，即之解逼近于真解，即为了保了保证FEM收收敛性性,位移模式位移模式应满足下列条件：足下列条件：1.位移模式必须能反映反映单元的元的刚体位移体位移。单元位移包含两部分：本单元的形变引起的位移；其他单元的形变引起单元位移包含两部分：本单元的形变引起的位移；其他单元的形变引起的位移，即刚体位移。在位移函数中，的位移，即刚体位移。在位移函数中，常数项即提供刚体位移常数项即提供刚体位移。2.位移模式必须能反
42、映反映单元的元的常量常量应变。单元应变包含两部分：变量应变和常量应变。位移函数的单元应变包含两部分：变量应变和常量应变。位移函数的一次项提供常一次项提供常量应变量应变。当当单元元0时，单元中的位移和元中的位移和应变都都趋近于基本量近于基本量刚体位移和常量位移。体位移和常量位移。3.位移模式应尽可能反映位移的尽可能反映位移的连续性性 l 使相邻单元之间的位移保持连续使相邻单元之间的位移保持连续，即受力后，相邻单元在，即受力后，相邻单元在公共边界上，即既不互相脱离，也不互相嵌入。公共边界上，即既不互相脱离，也不互相嵌入。使相邻单元在公共节点处具有相同的位移。使相邻单元在公共节点处具有相同的位移。l
43、使单元内部的位移保持连续使单元内部的位移保持连续。位移函。位移函数取坐标的单值连续函数。数取坐标的单值连续函数。满足条件满足条件1 1、2 2的单元，称为的单元，称为完备单元完备单元；满足条件；满足条件3 3的单元，的单元，称为称为协调单元协调单元。常采用常采用“帕斯卡三角形帕斯卡三角形”来来选取位移模式代数多取位移模式代数多项式的形式。式的形式。按照帕斯卡三角形选择位移模式的原则：按照帕斯卡三角形选择位移模式的原则：1.1.多项式的阶次及项数，由单元的节点数目和自由度数目多项式的阶次及项数，由单元的节点数目和自由度数目来决定。保证多项式中的来决定。保证多项式中的待定系数待定系数同单元的同单元
44、的自由度自由度数目数目相相一致一致，以避免在确定待定系数时增加困难。，以避免在确定待定系数时增加困难。2.2.当高次多项式只选取一部分项时，应遵循当高次多项式只选取一部分项时，应遵循“对称性对称性”原原则，即取其最高次中的位置对称的相应项，以保证在各坐则，即取其最高次中的位置对称的相应项，以保证在各坐标轴方向上具有相同的精度。标轴方向上具有相同的精度。3.3.应满足完备性和协调应满足完备性和协调性要求。性要求。3 3节点三角形单元：节点三角形单元：6 6节点三角形单元：节点三角形单元：4 4节点四边形单元：节点四边形单元：3.5整体分析整体分析 结构的整体分析是将离散后的所有单元通过节点连结构
45、的整体分析是将离散后的所有单元通过节点连接成原结构，进行分析。接成原结构，进行分析。分析过程是将所有单元平衡方程组集成分析过程是将所有单元平衡方程组集成整体平衡方整体平衡方程程，引进，引进边界条件边界条件后求解后求解整体节点位移向量整体节点位移向量。整体平衡方程：整体平衡方程：F=KF=KK K为整体刚度矩阵为整体刚度矩阵设弹性体被划分为设弹性体被划分为N N个三角形单元和个三角形单元和n n个节点，则结构就个节点，则结构就有有2n2n个自由度。个自由度。K K2n2n2n2n整体刚度矩阵的组装：整体刚度矩阵的组装：例：例：求下面结构的整体刚度矩阵求下面结构的整体刚度矩阵解：解：1 1）结构离
46、散，单元和节点编码）结构离散，单元和节点编码用三角形单元把该结构分成用三角形单元把该结构分成4 4个单元，个单元，6 6个节点个节点节点两种编码：一是节点两种编码：一是节点总码节点总码；二是；二是节点局部码节点局部码，每个三角，每个三角形单元的三个节点按逆时针方向的顺序各自编码为形单元的三个节点按逆时针方向的顺序各自编码为i i，j,mj,m。单元单元1 1：节点号码：节点号码1 1，2 2，3 3单元单元2 2：节点号码：节点号码2 2，5 5，3 3单元单元3 3：节点号码：节点号码5 5，6 6，3 3单元单元4 4：节点号码：节点号码2 2，4 4，5 52 2）分别写出各个单元的分块
47、刚度矩阵：）分别写出各个单元的分块刚度矩阵：单元单元1 1：节点号码：节点号码1 1，2 2，3 3单元单元2 2：节点号码：节点号码2 2，5 5，3 3单元单元3 3：节点号码：节点号码5 5，6 6，3 3单元单元4 4：节点号码：节点号码2 2，4 4，5 53 3）组装整体刚度矩阵）组装整体刚度矩阵利用单元分块矩阵中，各子块的节点利用单元分块矩阵中，各子块的节点和单元信息，直接把单元刚度的各元和单元信息，直接把单元刚度的各元素送入总体刚度矩阵的相应行列上，素送入总体刚度矩阵的相应行列上，并同总体刚度矩阵该元素的已有值相并同总体刚度矩阵该元素的已有值相加。加。“对号入座对号入座”组装一
48、般规则：组装一般规则：1)1)当当KKrsrs 中中r=sr=s时，该点被哪几个单元所共有，时，该点被哪几个单元所共有，则整体刚度矩阵中的子矩阵则整体刚度矩阵中的子矩阵KKrsrs 就是这几个就是这几个单元的刚度矩阵中的子矩阵单元的刚度矩阵中的子矩阵KKrsrs e e的相加。的相加。2)2)当当KKrsrs 中中rsrs时，若时，若rsrs边是组合体的内边，则边是组合体的内边，则整体刚度矩阵中的子矩阵整体刚度矩阵中的子矩阵KKrsrs 就是共用该边的两就是共用该边的两相邻单元刚度矩阵中的子矩阵相邻单元刚度矩阵中的子矩阵KKrsrs e e的相加。的相加。3)3)当当KKrsrs 中中r r和
49、和s s不同属于任何单元时，整体刚度矩阵中不同属于任何单元时，整体刚度矩阵中的子矩阵的子矩阵KKrsrs=0=0。整体刚度矩阵的性质：整体刚度矩阵的性质：1 1）整体刚度矩阵是对称矩阵。）整体刚度矩阵是对称矩阵。2 2）整体刚度矩阵每一个元素的物理意义：）整体刚度矩阵每一个元素的物理意义：3 3）整体刚度矩阵的主对角线上的元素总是正的。）整体刚度矩阵的主对角线上的元素总是正的。4 4）整体刚度矩阵是一个奇异阵。只有排除刚体位移后，）整体刚度矩阵是一个奇异阵。只有排除刚体位移后，K K才是正定的，其逆矩阵才存在。才是正定的，其逆矩阵才存在。在在 F=KF=K中，令节点中，令节点1 1在在x x方
50、向的位移方向的位移u u1 1=1=1，而其余，而其余节点位移均为节点位移均为0 0，则：，则：5 5）整体刚度矩阵是一个稀疏阵。）整体刚度矩阵是一个稀疏阵。离散后结构的任一节点，只和与它相连的元素发生联系，离散后结构的任一节点，只和与它相连的元素发生联系，所以所以K K存在大量的零元素，而非零元素往往分布在主对存在大量的零元素，而非零元素往往分布在主对角线的附近。角线的附近。带形矩阵带形矩阵半带宽：半带宽：在半个斜带形区域内，每在半个斜带形区域内，每行具有的元素个数，用行具有的元素个数，用d d表示。表示。半带宽半带宽d=d=（相邻节点码的最大差值（相邻节点码的最大差值+1+1）22半带存储