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1、有限元分析平面问题有限单元法第1页，本讲稿共27页内容内容 Chp.4 平面问题的有限元法平面问题的有限元法 1 4.1 连续体的离散化连续体的离散化 4.2 常应变三角形单元常应变三角形单元 4.3 形函数的性质形函数的性质 4.4 刚度矩阵刚度矩阵要求要求 理解：连续体理解：连续体有限元分片插值的含义有限元分片插值的含义 有限元分析中的几个常用概念，包括：有限元分析中的几个常用概念，包括：形函数形函数，应变矩阵应变矩阵，应力矩阵应力矩阵，刚度矩阵刚度矩阵等等 掌握：掌握：常应变三角形单元分析常应变三角形单元分析流程流程课后作业课后作业 推导常应变三角形单元各矩阵推导常应变三角形单元各矩阵有
2、限元分析有限元分析41,2,3,4第2页，本讲稿共27页回顾回顾刚架有限元分析的基本流程 整体离散梁单元分析单元组装整体解算刚架结构结构整体刚度方程结构整体刚度方程结构整体刚度方程结构整体刚度方程PP1432123456eijTjmjqjTimiqiO单元内力单元内力单元内力单元内力eijjfjifiyxO单元变形单元变形单元变形单元变形单元刚度方程单元刚度方程单元刚度方程单元刚度方程材料力学材料力学第3页，本讲稿共27页 离散化方法 节点：节点：节点：节点：i i，j j单元编号单元编号单元编号单元编号e ePP1432123456单元单元单元单元(elementelement):):节点节
3、点节点节点(nodenode):1,2,3,):1,2,3,4 44123456eij其中其中：e=1,2,3,4,5,6;i,j=1,2,3,4回顾回顾天然划分出各天然划分出各梁单元梁单元第4页，本讲稿共27页梁单元分析由由由由材料力学材料力学材料力学材料力学得：得：得：得：单元节点力与单元节点位移之单元节点力与单元节点位移之单元节点力与单元节点位移之单元节点力与单元节点位移之间的关系间的关系间的关系间的关系局部坐标系局部坐标系局部坐标系局部坐标系单元受力单元受力单元受力单元受力eijTjmjqjTimiqiO局部坐标系局部坐标系局部坐标系局部坐标系单元变形单元变形单元变形单元变形eijjf
4、jifiyxO回顾回顾第5页，本讲稿共27页总体刚度矩阵的组装PP1432123456组装原理：组装原理：组装原理：组装原理：位移协调条件位移协调条件位移协调条件位移协调条件节点平衡条件节点平衡条件节点平衡条件节点平衡条件位移协调条件位移协调条件：各单元共享节点的位移相等：各单元共享节点的位移相等节点平衡条件节点平衡条件：各节点单元内力与节点外力构成平衡力系：各节点单元内力与节点外力构成平衡力系回顾回顾最终数学模型：第6页，本讲稿共27页基本概念 回顾回顾单元单元（element）节点节点(node)单元节点位移单元节点位移(node displacement)单元节点内力单元节点内力(nod
5、e force)单元刚度矩阵单元刚度矩阵(element stiffness matrix)整体刚度矩阵组装原理整体刚度矩阵组装原理总体刚度矩阵，载荷向量，刚度方程总体刚度矩阵，载荷向量，刚度方程第7页，本讲稿共27页新问题：连续体的有限元分析如何离散化？如何离散化？如何单元分析？如何单元分析？如何组装单元？如何组装单元？第8页，本讲稿共27页一、连续体的离散化人工节点人工节点逼近性离散逼近性离散节点位置节点位置，单元形状、大小单元形状、大小都会影响对原始结构的逼近描述都会影响对原始结构的逼近描述平面问题:三角形、矩形、任意四边形空间问题:四面体、正方体、任意六面体第9页，本讲稿共27页单元分
6、析的理论基础：二、平面问题三角形单元分析建立三角形单元节点力与单元节点位移之间的关系单元分析的目的：弹性力学基本理论vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxoFymFxmFyjFyiFxii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eFxjyxo单元节点位移单元等效节点力(基本变量，基本方程，边界条件)？第10页，本讲稿共27页二、平面问题三角形单元分析平面问题弹性力学基本理论回顾：基本基本变量变量几何几何方程方程平衡平衡方程方程物理方物理方程程平面应力问题平面应力问题平面应力问题平面应力问题第11页，本讲稿共27页单元变形分析（位移）单元变形分析（位
7、移）问题问题：平面三角形问题中仍包含无：平面三角形问题中仍包含无穷多内部连续点，如何用节点位移穷多内部连续点，如何用节点位移表征内部连续位移？表征内部连续位移？二、平面问题三角形单元分析解决思路解决思路：插值，即用节点位移插：插值，即用节点位移插值近似其它点的位移。值近似其它点的位移。vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo如何插值？如何插值？多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。第12页，本讲稿共27页二、平面问题三角形单元分析单元变形分析（位移）单元变形分析（位移）vmumvjviuii(xi,y
8、i)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo插值系数的确定：插值系数的确定：待定系数法待定系数法6个方程个方程6个系数个系数第13页，本讲稿共27页二、平面问题三角形单元分析矩阵表达和运算令令A为三角形单元的面积 T*为T的伴随矩阵：第14页，本讲稿共27页二、平面问题三角形单元分析矩阵表达和运算（续）令令同理，由同理，由回代，得回代，得第15页，本讲稿共27页二、平面问题三角形单元分析三角形单元形函数令令得得单元内各点位移：单元内各点位移：单元节点位移：单元节点位移：形函数第16页，本讲稿共27页 例题：图示等腰三角形单元，求其形函数矩阵例题：图示等腰三角形单元，求其形函数矩阵NN。ij
9、m第17页，本讲稿共27页 由三角形的面积由三角形的面积第18页，本讲稿共27页二、平面问题三角形单元分析单元变形分析（应变）单元变形分析（应变）位移位移应变应变代入代入记为记为B矩阵称为应变矩阵。常数第19页，本讲稿共27页二、平面问题三角形单元分析单元应力分析单元应力分析应变应变应力应力代入代入记为记为S矩阵称为应力矩阵。D为弹性矩阵为弹性矩阵第20页，本讲稿共27页单元平衡分析二、平面问题三角形单元分析FymFxmFyjFyiFxii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eFxjyxo问题问题：假设隔离出的各单元，仅在节点上有：假设隔离出的各单元，仅在节点上有内力的作用（内力的作
10、用（若单元边界上和体内有力的作用，若单元边界上和体内有力的作用，可事先等效到节点上，可事先等效到节点上，如何等效？如何等效？），则单），则单元节点内力与变形产生的应力构成平衡力系。元节点内力与变形产生的应力构成平衡力系。单元满足平衡条件单元满足平衡条件平平衡衡方方程程用虚功方程代替。第21页，本讲稿共27页单元平衡分析二、平面问题三角形单元分析平面问题虚功原理平面问题虚功原理代入代入得得内力虚功内力虚功第22页，本讲稿共27页二、平面问题三角形单元分析单元平衡分析外力虚功外力虚功载荷等效公式第23页，本讲稿共27页二、平面问题三角形单元分析单元平衡分析外力虚功外力虚功内力虚功内力虚功令令Ke单
11、元刚度矩阵单元刚度矩阵单元刚度方程单元刚度方程第24页，本讲稿共27页连续体三角形单元分析小结单元位移：节点位移插值单元位移：节点位移插值单元位移：节点位移插值单元位移：节点位移插值单元刚度方程：由虚功方程建立单元刚度方程：由虚功方程建立单元刚度方程：由虚功方程建立单元刚度方程：由虚功方程建立离散化离散化：单元分析单元分析：单元单元单元单元节点节点节点节点人工单元、节点人工单元、节点单元应变：由几何方程建立单元应变：由几何方程建立单元应变：由几何方程建立单元应变：由几何方程建立单元应力：由物理方程建立单元应力：由物理方程建立单元应力：由物理方程建立单元应力：由物理方程建立下次课内容：单元组装和单元等效节点外载下次课内容：单元组装和单元等效节点外载第25页，本讲稿共27页课后作业课后作业如图（如图（a）所示一高深悬臂梁，在右端部受集中力）所示一高深悬臂梁，在右端部受集中力F作用，材料弹性模量作用，材料弹性模量E、泊松比泊松比v1/3，悬臂梁的厚度（板厚）为，悬臂梁的厚度（板厚）为t，如图（，如图（b）所示有限元模型，）所示有限元模型，试按平面应力问题计算两个单元的位移形函数，应变矩阵，应力矩阵和刚试按平面应力问题计算两个单元的位移形函数，应变矩阵，应力矩阵和刚度矩阵。度矩阵。第26页，本讲稿共27页再再 见见 第27页，本讲稿共27页