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1、 不等式证明不等式证明 -放缩放缩法法灵宝五高高二数学组灵宝五高高二数学组教学目标教学目标 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法放缩法；了解放缩法的思考过程、特点. 教学重点教学重点：会用放缩法证明问题；了解放缩法的思考过程. 教学难点教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.一一. .复习复习1.1.直接证明的两种基本证法：直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法综合法和分析法2.2.这两种基本证法的推证过程和特点：这两种基本证法的推证过程和特点：综综合合法法: :分分已已知知条条件件结结论论结结析析法法: :论论已已知知条条件件由因导果由因导果执果索因执果索因3 3、在实
2、际解题时，两种方法如何运用？、在实际解题时，两种方法如何运用？（1 1）通常用分析法提供思路，再由综合法写过程）通常用分析法提供思路，再由综合法写过程（2 2）“两边凑两边凑”综合分析法综合分析法 反证法：反证法： 假设假设命题命题结论结论的的反面成立反面成立，经过正确的，经过正确的推理推理, ,引出引出矛盾矛盾，因此说明，因此说明假设错误假设错误, ,从而从而间接间接证明证明原命题成立原命题成立, ,这样的的证明方法这样的的证明方法叫叫反证法反证法。反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反反证法的证明过程：反证法的证明过程： 否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论，肯定结论，
3、即分三个步骤：即分三个步骤：反设反设归谬归谬存真存真反设反设假设命题的结论不成立，假设命题的结论不成立， 即假设原结论的反面为真即假设原结论的反面为真.归谬归谬从反设和已知条件出发，从反设和已知条件出发， 经过一系列正确的逻辑推理，经过一系列正确的逻辑推理， 得出矛盾结果得出矛盾结果.存真存真由矛盾结果，断定反设不真，由矛盾结果，断定反设不真， 从而肯定原结论成立从而肯定原结论成立. 在证明不等式过程中，有时为了证明在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：小，实现证明。例如： 要证要证bc,只须寻找只须寻找b1
4、使使ba,只须寻找只须寻找b2使使bb2且且b2a(缩小缩小) 这种证明方法这种证明方法,我们称之为我们称之为放缩法。放缩法。放缩法放缩法的依据就是传递性。的依据就是传递性。放缩法放缩法放缩法放缩法1、一般从不等式的一般从不等式的结构形式结构形式可观可观察出放缩的可能性。察出放缩的可能性。2、放缩时应放缩时应放缩适度放缩适度3、放缩的一般方法：放缩的一般方法：常用的方法 添加或舍去一些项 将分子或分母放大（或缩小） 应用“糖水不等式” 利用基本不等式 利用函数的单调性 利用函数的有界性 绝对值不等式 利用常用结论(2)(2)放缩法的注意事项放缩法的注意事项舍去或加上一些项，如舍去或加上一些项，
5、如: :将分子或分母放大将分子或分母放大( (缩小缩小) )，如，如: : 22131(a)(a) ;242211,kk k12111212,(kN*,k1)kk k1kkk1kkk1特别注意：特别注意：放大或缩小时注意要适当，必须目标放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小过小。几个常用的一些放缩结论几个常用的一些放缩结论：20012312111111212122121,(.)()()aam bbmab mbbm aamnnnnnnn nnn nnnnnnnnnnnn 21, 3 caddbdccacbbdbaa
6、Rdcba求求证证已已知知例例cadddcbadbdccdcbacacbbdcbabdbaadcbaadcba , 0, : 证明证明baa bab dcc dcd 21 . caddabccacbbdbaadcdcbabacadddbccacbbdbaadcbadcba即即得得把把以以上上四四个个不不等等式式相相加加2.111abab例 已知a,b是实数，求证:a+bab 法法： bbaababa111证明：在时，显然成立.0ba当时，左边 0ba111ba1|11111abbaabababab.11bbaa1abab.11bbaa法：法：0,a bab 1 111111111|ababab
7、ababab |11baabab法：函数的方法法：函数的方法*2.)3.:2(n n n 求证：111（ n+1-1）1+3n例2*1222(1),21kkkNkkkk1111232( 10)( 21)( 32)(1)2.nnnn cbacacababa 2222222222222233()()2424()()22aabbaaccaabacaaabcabc例例4:巳知：巳知：a、b、c，求证：，求证：R略解略解【例例】设】设 求证：求证：【证明】【证明】na1 22 33 4n n1 .(nN )2nn n1n1a.22 n2n2n1nn n12352n1123na21 352n1,2n n1
8、n1a.22 2212n1n n1nn, n(n1)n22 ()练习书练习书2929页页2 2题题补充例题补充例题:mccmbbmaamcbaABC :,. 1求求证证为为正正数数且且的的三三边边长长是是已已知知mccmbbmaamcccfbafcbabafmbabmbaambbmaabfafxfmxmxmmxxxf )()(,)(mbaba )()(.),0()(),0,0(1)(:又又上上是是增增函函数数在在易易知知设设函函数数证证明明)(23,. 2222222zyxxzxzzyzyyxyx：，zyx 求求证证不不全全为为零零已已知知实实数数22 )2(43)2(22222yxyxyxy
9、yxyxyx： 证证明明2,22222xzxzxzzyzyzy 同同理理可可得得)(23)2()2()2(,222222zyxxzzyyxxzxzzyzyyxyx，zyx 所所以以三三式式相相加加得得式式取取不不到到等等号号故故上上述述三三式式中中至至少少有有一一不不全全为为零零由由于于【练习练习】已知已知a a0,b0,b0,c0,c0,a+b0,a+bc.c.求证：求证：【分析分析】本题若通分去分母，运算量较大，考本题若通分去分母，运算量较大，考虑到虑到a a0,b0,b0 0可先试试分式的放缩可先试试分式的放缩. .abc.1a1b1c【证明】【证明】aa0,b0,b0,0,只需证：只需
10、证：而函数而函数 在在(0,+)(0,+)上递增，上递增，且且a+ba+bc,f(a+b)c,f(a+b)f(c).f(c).即即原不等式成立原不等式成立. .aabb,1a1ab 1b1ababab,1a1b1ababc.1ab1c x1f x11x1x abc,1ab1c练习练习：设设x x0,y0,y0,0,若若 则则A A、B B的大小关系为的大小关系为_._.【解析】【解析】xx0,y0,y0, 0, 答案：答案：A AB BxyxyA,B,xy2x2y2xyxyxyAB.xy2xy2xy2x2y2练习：练习：设设 则则( )( )(A)M=1 (B)M(A)M=1 (B)M1 (C)M1 (C)M1 (D)M11 (D)M1【解析】【解析】选选C. C. 101010111111M2212221，101010111111M2212221101010101010211121.2222 共个作业作业 P P29 29 习题习题2.3 2 2.3 2