《2019-2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.2.1函数奇偶性的概念.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.2.1函数奇偶性的概念.docx（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第1课时函数奇偶性的概念1理解函数奇偶性的定义2掌握函数奇偶性的判断和证明方法3会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题函数的奇偶性温馨提示：(1)奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域(对照函数的单调性是函数的局部性质，以加深理解)(2)奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性1函数f(x)x21，f(x)，f(x)2x的图象分别如图所示：(1)各个图象有怎样的对称性？(2)对于以上三个函数，分别计算f(x)，观察对定义域内的每一个x，f(x)与f(x)有怎样的关系？答案(1)yx21的图象关于y轴对称；y和y2x的图象关
2、于原点对称(2)对于f(x)x21，f(x)x21f(x)；对于f(x)，f(x)f(x)；对于f(x)2x，f(x)2xf(x)2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)偶函数的图象一定与y轴相交()(2)奇函数的图象一定经过原点()(3)函数f(x)x2，x1,2是偶函数()(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)f(x)0.()答案(1)(2)(3)(4)题型一函数奇偶性的判断【典例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)2|x|；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)思路导引借助奇函数、偶函数的定义判断解(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)2|x
3、|2|x|f(x)，f(x)为偶函数(2)函数f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，且f(x)0，又f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数(4)f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，f(x)1(2x)12xf(x)；当x0，f(x)1(2x)12xf(x)综上可知，对于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，f(x)为偶函数判断函数奇偶性的2种方法(1)定义法(2)图象法针对训练1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x2(x22)；(2)f(x)|x1|x1|；(
4、3)f(x)；(4)f(x)解(1)xR，关于原点对称，又f(x)(x)2(x)22x2(x22)f(x)，f(x)为偶函数(2)xR，关于原点对称，又f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)为奇函数(3)f(x)的定义域为1,0)(0,1，关于原点对称，又f(x)f(x)f(x)为奇函数(4)显然函数f(x)的定义域关于原点对称当x0时，x0，f(x)x2x(xx2)f(x)，当x0，f(x)xx2(x2x)f(x)，f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数.题型二奇函数、偶函数的图象【典例2】已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图象如图所示(1
5、)画出在区间5,0上的图象(2)写出使f(x)0的x的取值集合思路导引根据奇函数图象特征作出函数图象，再求解解(1)因为函数f(x)是奇函数，所以yf(x)在5,5上的图象关于原点对称由yf(x)在0,5上的图象，可知它在5,0上的图象，如图所示(2)由图象知，使f(x)0的x的取值集合为(2,0)(2,5)变式若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，试画出在区间5,0上的图象解因为函数f(x)是偶函数，所以yf(x)在5,5上的图象关于y轴对称由yf(x)在0,5上的图象，可知它在5,0上的图象，如图所示巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称(2
6、)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题针对训练2定义在3，11,3上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；(2)比较f(1)与f(3)的大小解(1)由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示(2)观察图象，知f(3)0时，f(x)x2，则f(1)_.解析f(x)为奇函数，且x0时，f(x)x2，f(1)f(1)2.答案2课堂归纳小结1一个条件：定义域关于原点对称是函数f(x)是奇(偶)函数的一个必要不充分条件2两个性质：函数为奇函数它的图象关于原点对称；函数为偶函数它的图象关于y轴对称3证明一
7、个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了4熟悉常见函数的奇偶性：一次函数ykxb(k0)，当b0时是奇函数；当b0时既不是奇函数也不是偶函数y(k0)为奇函数yax2bxc(a0)，当b0时是偶函数，当b0时既不是奇函数也不是偶函数.1函数yf(x)，x1，a(a1)是奇函数，则a等于()A1B0C1D无法确定解析由1a0，得a1.选C.答案C2下列函数是偶函数的是()AyxBy2x23CyDyx2，x0,1解析A项中的函数为奇函数；C、D选项中的函数定义域不关于原点对称，既不是奇函数，也不是偶函数；B项中的函
8、数为偶函数故选B.答案B3函数f(x)x的图象()A关于y轴对称B关于直线yx对称C关于坐标原点对称D关于直线yx对称解析函数f(x)x的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，且f(x)(x)xf(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称答案C4若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_.解析由f(x)(xa)(x4)得f(x)x2(a4)x4a，若f(x)为偶函数，则a40，即a4.答案45已知yf(x)是偶函数，yg(x)是奇函数，它们的定义域都是3,3，且它们在0,3上的图象如图所示，求不等式00x2或2x01x3或1x0.0或可求得其解集是x|2x1或0x1或2x0时，f(x
9、)x21，则f(2)f(0)_.解析由题意知f(2)f(2)(221)5，f(0)0，f(2)f(0)5.答案5三、解答题9判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)x2|xa|1.解(1)由x10，得f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称，所以函数f(x)不具有奇偶性(2)1x1且x0，定义域为x|1x1，且x0f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(3)f(x)的定义域为R，f(x)x2|xa|1.又f(x)x2|xa|1，当a0时，f(x)f(x)，此时f(x)为偶函数；当a0时，|xa|xa|，此时f(x)不具有奇偶性10(1)如图，给出奇函数yf(
10、x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值(2)如图，给出偶函数yf(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小解(1)奇函数yf(x)在y轴左侧图象上任一点P(x，f(x)关于原点的对称点为P(x，f(x)，图为图补充后的图象，易知f(3)2.(2)偶函数yf(x)在y轴左侧图象上任一点P(x，f(x)关于y轴的对称点为P(x，f(x)，图为图补充后的图象，易知f(1)f(3)综合运用11设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A|f(x)|g(x)是奇函数Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数Df
11、(x)|g(x)|是偶函数解析函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)对于选项A，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)(|f(x)|g(x)，故其不具有奇偶性；对于选项B，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，故函数为偶函数；对于选项C，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)(|f(x)|g(x)，故其不具有奇偶性；对于选项D，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，故函数为偶函数综上，选D.答案D12已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于()A4B3C2D1解析由题意知f(1)g
12、(1)f(1)g(1)2，f(1)g(1)f(1)g(1)4.两式相加，解得g(1)3.答案B13若函数f(x)为奇函数，则a等于_解析函数f(x)的定义域为x.又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，a.答案14已知yf(x)是奇函数，当x0时，f(x)x2ax，且f(3)6，则a的值为_解析因为f(x)是奇函数，所以f(3)f(3)6，所以(3)2a(3)6，解得a5.答案515已知函数f(x)对一切x、y都有f(xy)f(x)f(y)(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(3)a，试用a表示f(12)解(1)证明：由已知f(xy)f(x)f(y)，令yx得f(0)f(x)f(x)，令xy0得f(0)2f(0)，所以f(0)0.所以f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，故f(x)是奇函数(2)因为f(x)为奇函数所以f(3)f(3)a，所以f(3)a.又f(12)f(6)f(6)2f(3)2f(3)4f(3)，所以f(12)4a.