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1、第1课时函数的单调性1理解函数单调区间、单调性等概念2会划分函数的单调区间，判断单调性3会用定义证明函数的单调性1函数的单调性温馨提示：定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1x2；(3)属于同一个单调区间2函数的单调区间如果函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间温馨提示：(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它是函数的一个局部性质(2)函数f(x)在定义域的某个区间D上单调，不一定在定
2、义域上单调如f(x)x2等(3)并非所有的函数都具有单调性，如f(x)，它的定义域是N，但不具有单调性1观察下列函数图象：(1)从图象上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？(2)甲、乙图中，若x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是什么？(3)丙图中，若x1x2，f(x1)f(x2)，则自变量x属于哪个区间？如何用符号表示这一现象答案(1)甲：自变量x增大时，函数f(x)也随之变大乙：自变量x增大时，函数f(x)随之减小丙：在y轴左侧函数f(x)的值随x的增大而减小；在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大(2)甲：x1x2，f(x1)f(x2)乙：x1f(x2)(3)0，
3、)x1，x20，)，若x1x2，则f(x1)f(x2)2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx2在R上是增函数()(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性()(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“x1，x2”改为“x1，x2”()(4)若函数f(x)在2，)上为增函数，则f(x)在3,4上也为增函数()答案(1)(2)(3)(4)题型一函数单调性的判断与证明【典例1】证明函数f(x)x在(，2)上是增函数思路导引设出x1x22，判定f(x1)与f(x2)的大小关系证明x1，x2(，2)，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).x1x22，x1x24，x1x240
4、.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)x在(，2)上是增函数证明或判断函数单调性的方法步骤针对训练1求证：函数f(x)在(0，)上是减函数，在(，0)上是增函数证明x1，x2(，0)，且x1x2，有f(x1)f(x2).x1x20，x1x20.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(，0)上是增函数x1，x2(0，)，且x1x2，有f(x1)f(x2).0x10，x2x10，xx0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(0，)上是减函数.题型二求函数的单调区间【典例2】求下列函数的单调区间：(1)f(x)；(2)f(x)|x2
5、3x2|.思路导引(1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2)作出函数yx23x2的图象，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，结合图象写出f(x)的单调区间解(1)函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，x1，x2(，1)，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x1x20，x110，x210，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，)上单调递减综上，函数f(x)的单调递减区间是(，1)，(1，)(2)f(x)|x23x2|作出函数的图象，如图所示根据图象，可知，单调递增区间是和2，)；单调递减区间是(，1和.(1)求函数单调区间的2种方法定义法：
6、即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间(2)求函数单调区间的注意点一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接针对训练2函数f(x)2的单调递减区间是_解析函数f(x)的定义域为(，0)(0，)当x1x20，f(x)在(，0)上为减函数；当0x10，f(x)在(0，)上为减函数f(x)的单调递减区间为(，0)，(0，)答案(，0)，(0，)3作出函数f(x)的图象，并指出函数的单调区间解f(x)的图象如图所示由图象可知：函数的单调递减区间为(，1和(1,2；单调递增区间为(2，).题型三函数单调性的应用【
7、典例3】(1)已知函数f(x)x22(1a)x2在4，)上是增函数，求实数a的取值范围(2)已知yf(x)在定义域(，)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范围思路导引二次函数的单调性由开口方向及对称轴确定，与函数值有关的不等式问题依据单调性转化为自变量的不等关系解(1)f(x)x22(1a)x2x(1a)22(1a)2，f(x)的增区间是1a，)又已知f(x)在4，)上是增函数，1a4，即a3.所求实数a的取值范围是3，)(2)f(x)在R上是减函数，且f(1a)2a1，得a，a的取值范围是.变式(1)若本例(1)条件改为“函数f(x)x22(1a)x2的单调递增区间为4，)”，
8、其他条件不变，如何求解？(2)若本例(2)中“定义域(，)”改为“定义域(1,1)”，其他条件不变，如何求解？解(1)f(x)x22(1a)x2x(1a)22(1a)2，f(x)的递增区间为1a，)1a4，得a3.(2)由题意可知解得0a1.又f(x)在(1,1)上是减函数，且f(1a)2a1，即a.由可知，0af(2a) Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a) Df(a21)a2，f(a21)f(a2)选D.答案D5函数f(x)x22mx3在区间1,2上单调，则m的取值范围是_解析二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f(x)x22mx3的对称轴为xm，函数在区间1,2上单调
9、，则m1或m2.答案m|m1或m2课堂归纳小结1.若f(x)的定义域为D，AD，BD，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在AB上单调递减，如函数y.2.对增函数的判断，当x1x2时，都有f(x1)0或0.对减函数的判断，当x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1x2)f(x1)f(x2)0或0.3.熟悉一些常见函数的单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等.4.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：在定义域的交集(非空)上，f(x)g(x)单调递增，f(x)h(x)单调递增，f(x)单调递减，单调递减(f(x)0).5.对于函数值恒正(或恒负)的函
10、数f(x)，证明单调性时，也可以作商与1比较.1如图所示，函数yf(x)在下列哪个区间上是增函数()A4,4B4，31,4C3,1D3,4解析观察题中图象知，函数在3,1上是增函数答案C2下列函数中，在(，0内为增函数的是()Ayx22 ByCy12xDy(x2)2解析选项A，B在(，0)上为减函数，选项D在(2，0上为减函数，只有选项C满足在(，0内为增函数故选C.答案C3若函数f(x)(2a1)xb是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.解析由一次函数的性质得2a10，即a.故选D.答案D4已知函数f(x)为定义在区间1,1上的增函数，则满足f(x)f的实数x的取值范围为_
11、解析因为f(x)在区间1,1上为增函数，且f(x)f，所以解得1xx20，f(x1)f(x2)，由x1x20知x110，x210，x1x20，故f(x1)f(x2)0，即f(x)在(0，)上单调递增课后作业(十九)复习巩固一、选择题1若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)(b，c)上()A必是增函数B必是减函数C是增函数或减函数D无法确定单调性解析函数在区间(a，b)(b，c)上无法确定单调性如y在(0，)上是增函数，在(，0)上也是增函数，但在(，0)(0，)上并不具有单调性答案D2下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()
12、Ay|x| By3xCyDyx24解析因为10，所以一次函数yx3在R上递减，反比例函数y在(0，)上递减，二次函数yx24在(0，)上递减故选A.答案A3对于函数yf(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1x2，使f(x1)f(0) Bf(x2)f(0)Cf(3a1)f(2a)故选D.答案D二、填空题6若函数f(x)2x2mx3，当x2，)时是增函数，当x(，2)时是减函数，则f(1)_.解析由条件知x2是函数f(x)图象的对称轴，所以2，m8，则f(1)13.答案137已知函数f(x)|xa|在(，1)是单调函数，则a的取值范围是_解析因为函数f(x)的单调递减区间为(，a，所以a1
13、，解得a1.答案(，18已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2)f(1x)，则x的取值范围为_解析f(x)是定义在R上的增函数，又f(x2)f(1x)，x21x，xBaCa0时，由函数f(x)ax22x3的图象知，不可能在区间(，4)上是单调递增；当a0时，只有4，即a满足函数f(x)在区间(，4)上是单调递增的，综上可知实数a的取值范围是a0.答案D12已知函数f(x)x2bxc的图象的对称轴为直线x1，则()Af(1)f(1)f(2) Bf(1)f(2)f(1)Cf(2)f(1)f(1) Df(1)f(1)f(2)解析因为二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x1，所以f(1)f(3)
14、又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，则f(x)在区间1，)上为增函数，故f(1)f(2)f(3)，即f(1)f(2)f(1)故选B.答案B13已知函数f(x)是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A(0,3) B(0,3C(0,2) D(0,2解析依题意得实数a满足解得00，则f(3)与f()的大小关系是_解析由(x1x2)f(x1)f(x2)0，可知函数f(x)为增函数又3，所以f(3)f()答案f(3)f()15设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，则不等式f(x)f(2)1的解集为_解析由条件可得f(x)f(2)f(2x)，又f(3)1，不等式f(x)f(2)1，即为f(2x)f(3)f(x)是定义在R上的增函数，2x3，解得x1的解集为.答案16已知函数f(x)x在(1，)上是增函数，求实数a的取值范围解设1x11.函数f(x)在(1，)上是增函数，f(x1)f(x2)x1(x1x2)0.x1x20，即ax1x2.1x11，x1x21，a1.a的取值范围是1，)