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1、第2课时函数的最大(小)值1理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义2会借助单调性求最值3掌握求二次函数在闭区间上的最值1最大值(1)定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：xI，都有f(x)M；x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最大值(2)几何意义：函数yf(x)的最大值是图象最高点的纵坐标2最小值(1)定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：xI，都有f(x)M；x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最小值(2)几何意义：函数yf(x)的最小值是图象最低点的纵坐标温馨提示：(1)最大(小)值必须是一个函数值
2、，是值域中的一个元素(2)并不是每一个函数都有最值，如函数y，既没有最大值，也没有最小值(3)最值是函数的整体性质，即在函数的整个定义域内研究其最值1函数yf(x)在2,2上的图象如图所示，试指出此函数的最小值、最大值和相应的x的值答案f(x)的最小值为1，此时x2；f(x)的最大值为2，此时x12判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何函数都有最大值或最小值()(2)函数的最小值一定比最大值小()(3)函数f(x)x在2,3)上的最大值为2，无最小值()(4)函数最大值对应图象中的最高点，且该点只有一个()答案(1)(2)(3)(4)题型一图象法求函数的最大(小)值【典例1】(1)已
3、知函数f(x)求f(x)的最大值、最小值；(2)画出函数f(x)的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值思路导引作出函数f(x)的图象，结合图象求解解(1)作出函数f(x)的图象(如图1)由图象可知，当x1时，f(x)取最大值为f(1)1；当x0时，f(x)取最小值f(0)0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.(2)f(x)的图象如图2所示，f(x)的单调递增区间是(，0)和0，)，函数的最小值为f(0)1.图象法求最大(小)值的步骤针对训练1利用图象求下列函数的最大值和最小值(1)y，x1,3；(2)y|x1|x2|.解(1)作出函数图象如右图所示，该函数的图象既有最高点，也有最低点(1
4、，2)，所以函数y，x1,3有最大值，最小值2；(2)y|x1|x2|作出函数的图象，由右图可知，y3,3所以函数的最大值为3，最小值为3.题型二利用单调性求函数的最大(小)值【典例2】已知函数f(x)x.(1)证明：f(x)在(1，)内是增函数；(2)求f(x)在2,4上的最值解(1)证明：设x1，x2(1，)，且x1x11，x1x21，x1x210，故(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(1，)内是增函数(2)由(1)可知f(x)在2,4上是增函数，当x2,4时，f(2)f(x)f(4)又f(2)2，f(4)4，f(x)在2,4上的最大值为，最小值为.函数的最值与单调性的
5、关系(1)如果函数yf(x)在区间(a，b上是增函数，在区间b，c)上是减函数，则函数yf(x)，x(a，c)在xb处有最大值f(b)(2)如果函数yf(x)在区间(a，b上是减函数，在区间b，c)上是增函数，则函数yf(x)，x(a，c)在xb处有最小值f(b)(3)如果函数yf(x)在区间a，b上是增(减)函数，则在区间a，b的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值针对训练2已知函数f(x)，x2,5，判断函数f(x)的单调性，并求函数f(x)的最大值和最小值解任取2x1x25，则f(x1)，f(x2)，f(x2)f(x1)，2x1x25，x1x20，x110，f(x2)f(x1)
6、0.f(x2)f(x1)f(x)在区间2,5上是单调减函数f(x)maxf(2)2，f(x)minf(5).题型三求二次函数的最大(小)值【典例3】(1)已知函数f(x)3x212x5，x0,3，求函数的最大值和最小值(2)求二次函数f(x)x22ax2在2,4上的最小值思路导引找出f(x)的对称轴，分析对称轴与给定区间的关系，结合单调性求最值解(1)函数f(x)3x212x53(x2)27，函数f(x)3(x2)27的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在0,2)上递减，在2,3上递增，并且f(0)5，f(2)7，f(3)4，所以在0,3上，f(x)maxf(0)5，f(x)minf(2)7
7、.(2)函数图象的对称轴是xa，当a4时，f(x)在2,4上是减函数，f(x)minf(4)188a.当2a4时，f(x)minf(a)2a2.f(x)min变式本例(2)条件变为，若f(x)x22ax2，当x2,4时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围解在2,4内，f(x)a恒成立，即ax22ax2在2,4内恒成立，即af(x)max，x2,4又f(x)max当a3时，a188a，解得a2，此时有2a3.当a3时，a64a，解得a，此时有a3.综上有实数a的取值范围是2，)求解二次函数最值问题的顺序(1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图(2)在图象上标出定义域的位置(3)观察单调性写出最
8、值针对训练3已知函数f(x)x22xa(x0,2)有最小值2，则f(x)的最大值为()A4 B6 C1 D2解析函数f(x)x22xa的对称轴为x1，在0,2上为增函数，所以f(x)的最小值为f(0)a2，f(x)的最大值为f(2)8a6.答案B4已知函数f(x)x26x8，x1，a，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是_解析如图可知f(x)在1，a内是单调递减的，又f(x)的单调递减区间为(，3，1400时，f(x)60000100x是减函数，f(x)60000100400200000)的单调性来求其最值.2.函数的值域与最大(小)值的区别(1)函数的值域是一个集合，函数的最
9、值是一个函数值，它是值域的一个元素，即定义域中一定存在一个x0，使f(x0)M(最值)(2)函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大(小)值，如yx在x(1,1)时无最值.1函数f(x)在2，)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为()A3,0B3,1C3，无最小值D3，2解析观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值故选C.答案C2已知函数f(x)|x|，x1,3，则f(x)的最大值为()A0 B1 C2 D3解析作出函数f(x)|x|，x1,3的图象，如图所示根据函数图象可知，f(x)的最大值为3.答案D3下列函数
10、在1,4上最大值为3的是()Ay2 By3x2Cyx2Dy1x解析B、C在1,4上均为增函数，A、D在1,4上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.答案A4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_(m)解析设矩形花园的宽为y m，则，即y40x，矩形花园的面积Sx(40x)x240x(x20)2400，当x20时，面积最大答案205已知二次函数yx24x5，分别求下列条件下函数的最小值：(1)x1,0；(2)xa，a1解(1)二次函数yx24x5的对称轴为x2且开口向上，二次函数在x1,0上是单调递减的ymin024055.(2)当a2
11、时，函数在xa，a1上是单调递增的，ymina24a5；当a12即a1时，函数在a，a1上是单调递减的，ymin(a1)24(a1)5a22a2；当a2a1即1a0时，有(2a1)(a1)2，解得a2；当a0时，有(a1)(2a1)2，解得a2.综上知a2.答案C5当0x2时，ax22x恒成立，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，0C(，0) D(0，)解析令f(x)x22x，则f(x)x22x(x1)21.又x0,2，f(x)minf(0)f(2)0.ax1，则f(x1)f(x2).由于x2x1，所以x2x10，且(2x11)(2x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x
12、2)，所以函数f(x)在区间上是减函数(2)由(1)知，函数f(x)在1,5上是减函数，因此，函数f(x)在区间1,5的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)3，最小值为f(5).10求函数f(x)x22ax2在1,1上的最小值解函数f(x)图象的对称轴为直线xa，且函数图象开口向上，如图所示：当a1时，f(x)在1,1上单调递减，故f(x)minf(1)32a；当1a1时，f(x)在1,1上先减后增，故f(x)minf(a)2a2；当a0时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)是R上的单调减函数(2)求f(x)在3,3上的最小值解(1)证明：设x1，x2是任意的两个实数，且x10，因为x0时，f(x)0，所以f(x2x1)0，又因为x2(x2x1)x1，所以f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)，所以f(x2)f(x1)f(x2x1)0，所以f(x2)f(x1)所以f(x)是R上的单调减函数(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数，所以f(x)在3,3上也是减函数，所以f(x)在3,3上的最小值为f(3)而f(3)f(1)f(2)3f(1)32.所以函数f(x)在3,3上的最小值是2.