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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第04讲_一元一次方程的应用知识图谱错题回顾顾题回顾一元一次方程的应用（一）知识精讲一列方程解应用题的基本步骤和方法：步骤要求注意事项审题读懂题目、弄清题意、找出能够表示应用题全部含义的相等关系审题是分析解题的过程，解答过程中不用体现出来设元设未知数把各个量用含未知数的代数式表示出来设未知数一般是问什么，就直接设什么为x，即直接设元；直接设元有困难时，可以间接设元列方程根据等量关系列出方程避免列出恒等式解方程解这个方程，求出未知数的值如果是间接设元，求出的未知数还需要利用其他算式得到所求的量检验把方
2、程的解代入方程检验，或根据实际问题进行检验列一元一次方程解应用题检验的步骤在解答过程中不用写出来；方程的解要符合实际问题作答写出答案，作出结论这一步在列方程解应用题中必不可少，是一种规范要求注意：（1）初中列方程解应用题时，怎么列简单就怎么列（即所列的每一个方程都直接的表示题意），不用担心未知数过多，简化审题和列方程的步骤，把难度转移到解方程的步骤上（2）解方程的步骤不用写出，直接写结果即可（3）设未知数时，要标明单位，在列方程时，如果题中数据的单位不统一，必须把单位换算成统一单位，尤其是行程问题里需要注意这个问题二设未知数的方法：设未知数的方法一般来讲，有以下几种：1“直接设元”：题目里要求
3、的未知量是什么，就把它设为未知数，多适用于要求的未知数只有一个的情况；2“间接设元”：有些应用题，若直接设未知数很难列出方程，或者所列的方程比较复杂，可以选择间接设未知数，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用3“辅助设元”：有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增加辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知量，可以在解题时消去4“部分设元”与“整体设元”转换：当整体设元有困难时，可以考虑设其一部分为未知数，反之亦然，如：数字问题三数字问题1多位数字的表示方法：一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b，（其中a、b均为整数，）则这个两
4、位数可以表示为一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，（其中均为整数，且，）则这个三位数表示为：2奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k，奇数可表示为（其中k表示整数）3三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a，则这三个相邻的整数可表示为四经济问题在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系： 五方案决策问题在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方案
5、三点剖析一考点：一元一次方程的应用二重难点：根据题意列方程三易错点：1数字的表示方法中，一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b，这个两位数不能表示为，只能表示成2经济问题中概念的理解和相互推导计算错误，比如利润率，打折问题题模精讲题模一：数字问题例1.1.1在如图的2016年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（ ）A27B51C69D72例1.1.2一个两位数的数字之和是11，若原数加上45，则得到的数正好等于原数的十位数字与个位数字交换位置后得到的数，求这个两位数例1.1.3五一放假，小明的爸爸开车带着小明和妈妈去郊游，他们在公路上匀速行驶，下表是小明
6、每隔1小时看到的路边里程碑上数的信息你能确定小明在7:00时看到的里程碑上的数是多少吗？时间里程碑上数的特征7:00是一个两位数，它的个位数字与十位数字之和是78:00十位数字和个位数字与7:00时所看到的正好颠倒了9:00比7:00时看到的两位数中间多一个0例1.1.4一个四位数的首位数字是7，如果把首位上的数字移动到个位上，那么所得的新四位数比原四位数的一半多3，求原四位数题模二：经济问题例1.2.1列方程或方程组解应用题:周末小明和爸爸准备一起去商场购买一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商场都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价30元，茶杯每把定价5元，且两家
7、都有优惠甲商场买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯）；乙商场全场九折优惠小明的爸爸需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）当去两家商场付款一样时，求需要购买茶杯的数量.例1.2.2某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价）甲乙进价（元/件）1535售价（元/件）2045若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？例1.2.3某学习用品批发商场大练习本的价格如下表：购买练习本数不超过20本超过20本但不超过40本40本以上每本价格3元2.5元2元李强同学两次共购买大练习本50本（第二次多于第一次），共付出132元，请问李强第
8、一次、第二次分别购买大练习本多少本?题模三：方案决策问题例1.3.1某中学库存若干套桌凳，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳16套，乙每天修桌凳比甲多8套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费（1）问该中学库存多少套桌凳？（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：由甲单独修理；由乙单独修理；甲、乙合作同时修理你认为哪种方案省时又省钱为什么？例1.3.2某种绿色食品，若直接销售，每吨可获利润0.1万元；若粗加工后销售，每吨可获利润0.4万元；若精加工后销售，每
9、吨可获利润0.7万元.某公司现有这种绿色产品140吨，该公司的生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行.受各种条件限制，公司必须在15天内将这批绿色产品全部销售或加工完毕，为此该公司设计了三种方案：方案一：全部进行粗加工；方案二：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售；方案三：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成.你认为选择哪种方案可获利润最多，为什么？最多可获利润多少元？随堂练习随练1.1一次数学测验中，小明认为自己可以得满分，不料卷子发下来一看得了96分，原来是由于粗心把一个题目的答案十位与个位
10、数字写颠倒了，结果自己的答案比正确答案大了36，而正确答案的个位数字是十位数字的2倍正确答案是多少?随练1.2下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）.若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为46，则这9个数的和为（ ）A69B84C126D207随练1.3小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：时刻12：0013：0014：30碑上的数是一个两位数，数字之和为6十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了比12：00时看到的两位数中间多了个0则12：00时看到的两位数是（
11、）A24B42C51D15随练1.4有一个四位数，它的个位数字是8，如果将个位数字8调到千位上，则这个数就增加117，求这个四位数随练1.5列方程或方程组解应用题： 年“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进棵柏树苗和棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同.每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的倍少元，每棵柏树苗的进价是多少元？随练1.6某地居民生活用电基本价格为05元/度，并规定了每月基本用电量，超过部分的电量每度电价比基本用电量的每度价格增加005元，某户8月份用电量为240度，应缴电费为122元，求每月的基本用电量随练1.7某社区小型便利超市第一次用3000元购进甲、乙两种商品，两种商品都销售完以
12、后获利500元，其进价和售价如下表（注：获利=售价进价）：甲乙进价（元/件）1520售价（元/件）1724（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件?（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的2倍；乙种商品按第一次的售价销售，而甲种商品降价销售若第二次两种商品都销售完以后获利700元，求甲种商品第二次的售价随练1.8某商店打出了促销广告如下表，对顾客实行优惠，某人在此商场两次购物分别付款168元和423元 . （1）第一次付款168元，可购价值多少元的货物？（2）第二次付款423元，可购价值多少元的货物？（3）若该顾客把两次的货物合在
13、一起买，需要多少元钱？优惠条件一次购物不超过200元一次购物超过200元，但不超过500元一次购物超过500元优惠方法不予优惠按物价给予九折优惠其中500元按九折优惠，超过500元部分按八折优惠随练1.9下表是两种手机套餐的计费方式：套餐月费/元套餐主叫限定时间/分钟主叫超出套餐收费（元/分钟）被叫套餐一66500.2免费套餐二962400.15免费如果某人每月的主叫通话时间超过50分钟，但不超过220分钟，要选择省钱的套餐，你认为应如何选择?随练1.10某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购
14、，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：）（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元问：甲、乙两人各投资了多少万元？一元一次方程的应用（二）知识精讲一行程问题1行程问题2流水行船问题3火车过桥问题火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意从车头至桥起，到车尾离桥
15、止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：车速过桥时间=车长+桥长二工程问题三其它问题 在近年的考试中，除了上述常考的题型以外，出题人还会设计一些新的问题情境，要求学生能快速理解题意，灵活地根据题目中的条件来列方程解应用题三点剖析一考点：1行程问题；2工程问题；3其它问题二重难点：行程问题；工程问题三易错点：1行程问题运动过程分析错误；2流水行船问题误认为船的实际速度为静水速度；3火车过桥问题中火车所行距离等于桥长加上车长题模精讲题模一：行程问题例2.1.1某校七年级学生从学校出发步行去博物馆参观，他们出发半小时后，张老师骑自行车按相同路线用15分钟赶上学生队伍已知张老师
16、骑自行车的速度比学生队伍步行的速度每小时多8千米，求学生队伍步行的速度？例2.1.2有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长例2.1.3从甲地到乙地的路有一段平路与一段上坡路如果骑自行车保持平路每小时行15km，上坡路每小时行10km，下坡路每小时行18km，那么从甲地到乙地需29min，从乙地到甲地需25min从甲地到乙地的路程是多少？例2.1.4一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行至B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，
17、立即返回，1小时后找到救生圈问：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需多少小时？（2）救生圈是何时掉入水中的？题模二：工程问题例2.2.1要加工200个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工了4小时完成了任务已知甲每小时比乙多加工2个零件，问甲、乙二人每小时各加工多少个零件？例2.2.2某中学要整理一批图书,由甲单独整理需要9小时完成，由乙单独整理需要6小时完成现在计划由甲先单独整理4个小时，剩下的由乙帮忙和甲一起整理，则甲、乙合作几个小时后可完成任务?例2.2.3有甲、乙、丙三个水管，独开甲管5小时可以注满一池水；甲、乙两管齐开，2小时可注满一池水；甲、丙两管齐开，3小时注满一池水
18、现把三管一齐开，过了一段时间后甲管因故障停开，停开后2小时水池注满问三管齐开了多少小时？题模三：其他问题例2.3.12012年，某地开始实施农村义务教育学校营养计划“蛋奶工程”该地农村小学每份营养餐的标准是质量为300克，蛋白质含量为8%，包括一盒牛奶、一包饼干和一个鸡蛋已知牛奶的蛋白质含量为5%，饼干的蛋白质含量为12.5%，鸡蛋的蛋白质含量为15%，一个鸡蛋的质量为60克（1）一个鸡蛋中含蛋白质的质量为多少克？（2）每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克？例2.3.2足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了一
19、场，得17分（1）前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？（2）这支球队打满14场比赛，最高能得多少分？（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期目标请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标例2.3.3小杰到学校食堂买饭，看到，两窗口前面排队的人一样多（设为人，）就站到窗口队伍的后面，过了分钟，他发现窗口每分钟有人买了饭离开队伍，窗口每分钟有人买了饭离开队伍，且窗口队伍后面每分钟增加人（1）此时，若小杰继续在窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（用含的代数式表示）？（2）此时，若小杰迅速从窗口队伍转移到窗口队伍后面重新排队
20、，但是令人遗憾的是到达窗口所花的时间和继续在窗口排队到达窗口所花的时间相等，求的值（不考虑其他因素）随堂练习随练2.1甲、乙两人从相距米的两地同时相对而行，甲每分钟行米，乙每分钟行米几分钟后，甲、乙二人相遇？如果甲带了一只狗和甲同时出发，狗以每分钟米的速度向乙跑去，遇到乙后立刻回头向甲跑去这样，狗在甲、乙二人之间来回奔跑，直到两人相遇时为止求这只狗跑了多少路？随练2.2小明每天早上要在7:40之前赶到距家1100米的学校上学 小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带数学书，于是，爸爸立即以180米/分钟的速度去追小明，并且在途中追上了他（1）爸爸追上小明用了多长时间？（2
21、）追上小明时，距离学校还有多远？随练2.3某人有急事，预定搭乘一辆小货车从A地赶往B地实际上，他乘小货车行了三分之一路程后改乘一辆小轿车，车速提高了一倍，结果提前一个半小时到达已知小货车的车速是36千米小时，求两地间路程随练2.4一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行多少小时？随练2.5甲乙两人承包铺地砖任务，若甲单独做需20小时完成，乙单独做需要12小时完成.甲乙二人合做6小时后，乙有事离开，剩下的由甲单独完成.问甲还要几个小时才可完成任务?随练2.6一水池装有甲、乙两个进水管和一个出水管丙，如果单独开放甲管
22、4小时注满水池；单独开放乙管3小时可注满水池；单独开放丙管8小时可把满池水放完问三管一齐开放，几小时注满水池？随练2.7某校高一年级有12个班在学校组织的高一年级篮球比赛中，规定每两个班之间只进行一场比赛，每场比赛都要分出胜负，每班胜一场得2分，负一场得1分某班要想在全部比赛中得18分，那么这个班的胜负场数应分别是多少？随练2.8有一个只允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人一天王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能有3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过，通过道口后，还需7分钟到达学校（1）若绕道而行，要15分钟到达学校从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校还是选
23、择通过拥挤的道口去学校？（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后秩序恢复正常（每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？自我总结 课后作业作业1一个两位数，十位数字是个位数字的倍，如果把十位数字与各位数字交换，所成的新数比原数少，求原数作业2某年份的号码是一个四位数，它的千位数字是2，如果把2移到个位上去，那么所得的新四位数比原四位数的2倍少6，求这个年份作业3初一（2）班的数学课代表苗苗问数学老师家的电话号码是多少？老师说：“我家的电话号码是八位数，这个数的前四位数字相同，后面四位数字是连续的自然数.全部数字之和恰好等于号码的最后两位数，巧
24、的是，这个号码的后五位数也是连续的自然数.”请你把老师家的电话号码求出来作业4某商场进了一批豆浆机，按进价的180%标价，春节期间，为了能吸引消费者，打7折销售，此时每台豆浆机仍可获利52元，请问每台豆浆机的进价是多少元？作业5国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：稿费不高于800元的不纳税；稿费高于800元，而低于4000元的应缴纳超过800元的那部分稿费的14%的税；稿费为4000元或高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税，试根据上述纳税的计算方法作答：（1）如果王老师获得的稿费为2400元，那么应纳税_元，如果王老师获得的稿费为4000元，那么应纳税_元（2）如果王
25、老师获稿费后纳税420元，求这笔稿费是多少元？作业6五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为1000元的商品，共节省280元，则用贵宾卡又享受了几折优惠？作业7一牛奶制品厂现有鲜奶9t若将这批鲜奶制成酸奶销售，则加工1t鲜奶可获利1200元；若制成奶粉销售，则加工1t鲜奶可获利2000元该厂的生产能力是：若专门生产酸奶，则每天可用去鲜奶3t；若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶1t由于受人员和设备的限制，酸奶和奶粉两产品不可能同时生产（同一天内一段时间生产酸奶，另一段时间生产奶粉），为保证产品的质量，这批鲜奶必须在不超过4天的时间内全部
26、加工完毕假如你是厂长，你将如何设计生产方案，才能使工厂获利最大，最大利润是多少？作业8“中国竹乡”安吉县有丰富的毛竹资源，某企业已收购毛竹吨，根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获利元；如果对毛竹进行粗加工，每天可加工吨，每吨可获利元；如果进行精加工，每天可加吨，每吨可获利元由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月(天)内将这批毛竹全部销售，为此研究了二种方案：方案一：将毛竹全部粗加工后销售，则可获利_元方案二：天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利 元问：是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在天内完成?若存在，求销
27、售后所获利润；若不存在，请说明理由作业9某校科技小组的学生在名老师带领下，准备前往国家森林公园考察、采集标本当地有两家旅行社，分别去两个景区两家旅行社收取的途中费用和相应的景区门票定价都相同，且对师生都有优惠：甲旅行社表示带队老师免费，学生按折收费；乙旅行社表示师生一律按7折收费甲景区对师生均收半价，乙景区则规定当人数超过人时，按折收费，否则按折收费经合算两家旅行社的实际途中收费正好相同你认为该去何处较合算?若该校在暑假夏令营中，学生数增加了名，老师不变，则又该去哪个旅行社？作业10一艘轮船航行在甲、乙两地之间，顺流需要3小时，逆流要比顺流多用半个小时，已知船在静水中每小时航行26千米，求水流
28、速度作业11“春节期间”，弟弟和妈妈从家里出发一同去外婆家，他们走了1小时后，哥哥发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追，如果弟弟和妈妈每小时行2千米，他们从家里到外婆家需要1小时45分钟，问哥哥能在弟弟和妈妈到外婆家之前追上他们吗？作业12甲、乙两车同时从A，B两地出发，相向而行，在A，B两地之间不断往返行驶甲车到达B地后，在B地停留了2个小时，然后返回A地；乙车到达A地后，马上返回B地；两车在返回的途中又相遇了，相遇的地点距离B地288千米已知甲车的速度是每小时60千米，乙车的速度是每小时40千米请问：A，B两地相距多少千米？作业13某人骑自行车从A地先以每小时
29、12千米的速度下坡后，再以每小时9千米的速度走平路到B地，共用了55分钟回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，再以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用小时，问A、B两地相距多少千米？作业14某中学要搬运一批图书,由甲班单独搬运需要9小时完成，由乙班单独搬运需要6小时完成.现在计划由甲班先单独搬运4小时，剩下的由乙班帮忙和甲班一起搬运，则甲、乙两班合作几小时后可完成任务?作业15某车间原计划每周装配台机床，预计若干周完成任务在装配了三分之一以后，改进操作技术，工效提高了一倍，结果提前一周半完成任务求这次任务需装配机床总台数作业16一个水池，有甲、乙、丙三个水管，甲、乙是入水管，丙是排水管
30、，单开甲管16分钟可将水池注满，单开乙管10分钟可将水池注满，单开丙管20分钟可将整水池放完，甲、乙两管打开，4分钟后关上甲管开丙管，问又经过几分钟可将水池注满？作业17某次数学竞赛出了15道选择题，选对一道得4分，选错一道倒扣2分若某个同学做了全部15道选择题得36分，则该同学做对了几道选择题作业18已知数轴上两点A、B对应的数分别是 6，-8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位（1）若点M向右运动， 同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距54个单位？（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？12