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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第04讲_一元二次方程的应用知识图谱错题回顾顾题回顾一元二次方程的应用知识精讲一列一元二次方程解应用题的一般步骤1找出题中的等量关系；2设未知数；3根据找出的等量关系列出方程；4解一元二次方程；5将方程的解代入原方程检验，回到实际问题中检验；6作答结论注意：列方程解应用题的关键是将实际问题中内在、本质的联系抽象为数学问题，进而建立方程模型，解决问题三点剖析一考点：一元二次方程的应用二重难点：列一元二次方程解应用题三易错点：建立一元二次方程解决实际问题时一定要注意检验是否符合实际意义题模精讲题模一：面
2、积问题例1.1.1如图是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3m3，则根据图中的条件，可列出方程：_-【答案】x（x+1）=3【解析】长方体的高是1，宽x，长是x+1，根据题意得x（x+1）=3例1.1.2公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A（x+1）（x+2）=18Bx23x+16=0C（x1）（x2）=18Dx2+3x+16=0【答案】C【解析】设原正方形的边长为xm，依题意有（x1）（x2）=18，例1.1.3如图
3、，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程_【答案】（30-2x）（20-x）=678【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30-2x）m，宽为（20-x）m根据长方形面积公式即可列方程（30-2x）（20-x）=678设道路的宽为xm，由题意得：（30-2x）（20-x）=678，故答
4、案为：（30-2x）（20-x）=678例1.1.4如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，恰好用完，试求AB的长，使矩形花园的面积为300m2【答案】15米【解析】该题考查的是列方程解应用题设，则1分根据题意可得， 3分解得：，4分当，故（不合题意舍去），5分答：AB的长为15米 6分题模二：经济问题例1.2.1某商品经过两次降价，每盒零售价由168元降为128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）ABCD【答案】B【解析】该题考查的是列一元二次方程解应用
5、题第一次降价后的售价是，第二次降价后的售价是，所以方程为故答案是B例1.2.2某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件（1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多【答案】（1）每件衬衫应降价20元（2）每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多【解析】（1）设每件衬衫应降价x元，由题意得：（50x）（40+2x）=2400，解得：x1=10，x2=20，因为尽量减少库存，x1=10舍去答：每
6、件衬衫应降价20元（2）设每天盈利为W元，则W=（50x）（40+2x）=2（x15）2+2450，当x=15时，W最大为2450答：每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多题模三：其他问题例1.3.1有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）Ax（x1）=45Bx（x+1）=45Cx（x1）=45Dx（x+1）=45【答案】A【解析】有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛场数为x（x1），共比赛了45场，x（x1）=45，例1.3.2假如一人患红眼病，经过两轮传染共有人染上了红眼病，按这样的传播速度，若有两人患了红眼病，经过第
7、一轮传染后患红眼病的人数共有_人【答案】【解析】设假如一人患红眼病，第一轮传染给x人，由题意得，解得x=11，故若有两人患病，经过第一轮传染后患病的人数共有2+11+11=24人随堂练习随练1.1有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，设铁皮各角应切去的正方形边长为xcm，则下面所列方程正确的是（）A4x2=3600B100504x2=3600C（100x）（50x）=3600D（1002x）（502x）=3600【答案】D【解析】设切去的小正方形的边长为x根据题意得
8、（1002x）（502x）=3600随练1.2如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为【答案】300【解析】设道路的宽应为x米，由题意有（22x）（17x）=300，随练1.3如图，要建一个面积为40平方米的矩形花园ABCD，为了节约材料，花园的一边AD靠着原有的一面墙，墙长为8米（），另三边用栅栏围成，已知栅栏总长为24米，求花园一边AB的长【答案】10米【解析】该题考查的是一元二次方程的应用设AB的长度为x米，则BC的长度为米根据题意：
9、解得：或者，当时，BC的长度为20，大于8米，不合题意AB边长为10米答：AB的长为10米随练1.4某县政府2011年投资0.5亿元用于保障性房建设，计划到2013年投资保障性房建设的资金为0.98亿元如果从2011年到2013年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是（）A30%B40%C50%D60%【答案】B【解析】设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：0.5（1+x）2=0.98，解得：x1=40%x2=-2.4（不合题意舍去）答：这两年中投入资金的平均年增长率约是40%故选：B随练1.5山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出10
10、0千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元（2）九折【解析】（1）设每千克核桃应降价x元 1分 根据题意，得 （60-x-40）（100+20）=2240 4分化简，得 x2-10x+24=0 解得x1=4，x2=66分答：每千克核桃应降价4元或6元 7分（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元 因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元 此时，售价
11、为：60-6=54（元），100%=90%9分答：该店应按原售价的九折出售 10分随练1.6参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同设共有x家公司参加商品交易会，则x满足的关系式为（）Ax（x+1）=45Bx（x1）=45Cx（x+1）=45Dx（x1）=45【答案】B【解析】设有x家公司参加，依题意，得x（x1）=45，故选B随练1.7有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）7个人（2）448人【解析】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传
12、染中平均每人传染了多少人数是解题关键（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出x，（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，1+x+x（x+1）=64x=7或x=-9（舍去）答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；（2）647=448（人）答：第三轮将又有448人被传染自我总结 课后作业作业1如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【答案】，【解析】本题考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条
13、件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解设AB的长度为x，则BC的长度为（100-4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程根据题意得 （100-4x）x=400，解得 x1=20，x2=5则100-4x=20或100-4x=808025，x2=5舍去即AB=20，BC=20答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米作业2小萍要在一幅长厘米，宽厘米的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积是整个挂图面积的，设金色纸边的宽为厘米，根据题意所列方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意可得，故答案为B选项作业3为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某
14、单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为_米（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）【答案】1【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30-2x）（20-x）=532整理，得x2-35x+34=0解得，x1=1，x2=343420（不合题意，舍去），x=1答：小道进出
15、口的宽度应为1米作业4目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A438（1+x）2=389B389（1+x）2=438C389（1+2x）2=438D438（1+2x）2=389【答案】B【解析】设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则去年下半年发放给每个经济困难学生389（1+x）元，今年上半年发放给每个经济困难学生389（1+x）2元，由题意，得：389（1+x）2=438故选B作业5某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个1
16、0元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？【答案】9【解析】由题意得出：200（10-6）+（10-x-6）（200+50x）+（4-6）（600-200）-（200+50x）=1250，即800+（4-x）（200+50x）-2（200-50x）=1250，整理得：x2-2x+1=0，解得：x1=
17、x2=1，10-1=9答：第二周的销售价格为9元作业6在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）Ax（x-1）=10B=10Cx（x+1）=10D=10【答案】B【解析】理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x-1）次，x人共需握手x（x-1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x-1（次）；依题意，可列方程为：=10；故选B作业7某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均每台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，轮感染后，被感染的电脑会不会超过台？【答案】每轮感染中平均每台电脑会感染台电脑；轮感染后，被感染的电脑会超过台【解析】设每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑，则，解得，（舍去）；，故轮感染后，被感染的电脑会超过台10