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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第03讲_二元一次方程的应用知识图谱错题回顾顾题回顾二元一次方程的应用知识精讲一二元一次方程的应用列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面，我们在七年级上学期已经学习过列一元一次方程解应用题，其一般步骤可以简单归纳为“审、设、列、解、验、答”，列方程组解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，具体是：1审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系；2设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；3列代数式和方程组：用含所设未知数的
2、代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的；4解方程组；5检验：检验方程的根是否符合题意；6作答：检验后作出符合题目要求的答案综上所述，列方程（组）解应用题的实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程（组），再将数学问题解决从而解决实际问题在这个过程中，列方程起着承前启后的作用因此，列方程是解应用题的关键虽然列方程解应用题与列方程组解应用题的步骤基本类似，但列一元一次方程解应用题时，由于只能设一个未知数，而题目中一般会有多个未知量，其他未知量只能由所设的唯一一个未知数来表示，因此列方程的过程较复杂；列方程组解应用题时，我们可以多设几个未
3、知数，用不同的未知数来表示不同的未知量，然后将题目中的等量关系“一一翻译”成方程由于未知数的个数较多，因此解方程的过程较复杂三点剖析一考点：工程问题，行程问题，经济问题，其它问题二重难点：正确找出等量关系列出方程三易错点：注意单位要统一题模精讲题模一：工程问题例1.1.1某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨，或粗加工16吨现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排天精加工，天粗加工为解决这个问题，所列方程组正确的是（ ）ABCD【答案】D【解析】该题考查的是二元一次方程组安排天精加工，天粗加工，现计划用15天完成
4、加工任务，可列方程，每天可以精加工6吨，或粗加工16吨，现收购到某种蔬菜140吨，可列方程，故选D例1.1.2一项工程甲单独做需12天完成，乙单独做需18天完成，计划甲先做若干后离去，再由乙完成，实际上甲只做了计划时间的一半因事离去，然后由乙单独承担，而乙完成任务的时间恰好是计划时间的2倍，则原计划甲、乙各做多少天？【答案】原计划甲做8天，乙做6天【解析】设原计划甲做x天，乙做y天，则有，解得题模二：行程问题例1.2.1李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟他家离学校的距离是2900米如果他骑车
5、和步行的时间分别为x、y分钟，列出的方程是（ ）ABCD【答案】D【解析】他骑车和步行的时间分别为x分钟，y分钟，由题意得：例1.2.2在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【答案】巡逻车的速度是80千米/时，犯
6、罪团伙的车的速度是40千米/时【解析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则，解得，因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时题模三：经济问题例1.3.1在一年一度的“安仁春分药王节”市场上，小明的妈妈用280元买了甲、乙两种药材甲种药材每斤20元，乙种药材每斤60元，且甲种药材比乙种药材多买了2斤设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，你认为小明应该列出哪一个方程组求两种药材各买了多少斤？（）ABCD【答案】A【解析】设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，由题意得：例1.3.2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价
7、是多少？【答案】商品定价为200元【解析】设此商品的定价为x元，进价为y元，根据题意，得，解得，因此，此商品定价为200元例1.3.3列方程或方程组解应用题：为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费）规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费下图是张磊家2014年3月和4月所交电费的收据：请问该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度多少元？【答案】第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯电价每度0.6元【解析】设第一阶梯电价每度x元，第二阶梯电价每度y元，由题意可得：，解得第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯
8、电价每度0.6元题模四：其他问题例1.4.1一个长方形的周长是，若这个长方形的长减少，宽增加，就可以成为一个正方形，则长方形的长是多少？【考点】与面积有关的二元一次方程组问题【答案】【解析】根据题意设长方形长为，宽为，则可列方程组为，解得，故长方形的长为例1.4.2某运动员在一场篮球比赛中的技术统计如表所示：技术上场时间（分钟）出手投篮（次）投中（次）罚球得分篮板（个）助攻（次）个人总得分数据4666221011860注：表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中2分球和3分球各几个【答案】本场比赛中该运动员投中2分球16个，3分球6个【解析】设本场比赛中该运
9、动员投中2分球x个，3分球y个，依题意得：，解得：答：本场比赛中该运动员投中2分球16个，3分球6个随堂练习随练1.1为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x人，女生有y人根据题意，所列方程组正确的是（）ABCD【答案】D【解析】该班男生有x人，女生有y人根据题意得：，随练1.2某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2000件已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少400件求该企业分别捐给甲、乙两所学校的矿泉水各多少件？【答案】见解析 【解析】设该企业向甲学校捐了x件矿泉水，向乙学校捐了y件矿泉水，由题意得，解得：答：该企业向甲学校捐了
10、1200件矿泉水，向乙学校捐了800件矿泉水随练1.3某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米？（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？【答案】（1）甲班组平均每天掘进4.8米，乙班组平均每天掘进4.2米（2）少用10天【解析】（1）设甲、乙班组平均每天掘进x米，y米，得，解得甲班组平均每天掘进4.8米，
11、乙班组平均每天掘进4.2米（2）设按原来的施工进度和改进施工技术后的进度分别还需a天，b天完成任务，则a=（1755-45）（4.8+4.2）=190（天）b=（1755-45）（4.8+0.2+4.2+0.3）=180（天）a-b=10（天）少用10天完成任务随练1.4成渝路内江至成都段全长170千米，一辆小汽车和一辆客车同时从内江、成都两地相向开出，经过1小时10分钟相遇，小汽车比客车多行驶20千米设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时，则下列方程组正确的是（）ABCD【答案】D【解析】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，解答本题的关键是仔细审题得到等量关系，根据等
12、量关系建立方程根据等量关系：相遇时两车走的路程之和为170千米，相遇时，小汽车比客车多行驶20千米，可得出方程组设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时，由题意得，故选：D随练1.5一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程【答案】见解析【解析】设普通公路长为x（km），高速公路长为y（km）根据题意，得=2.2，解得，答：普通公路长为60km，
13、高速公路长为120km方式2：问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？设汽车在普通公路上行驶了x（h），高速公路上行驶了y（h）根据题意，得，解得，答：汽车在普通公路上行驶了1h，高速公路上行驶了1.2h方式3：问题：普通公路和两地公路总长各为多少千米？设普通公路长xkm，两地公路总长ykm根据题意，得+，答：普通公路长60km，两地公路总长180km方式4：问题：普通公路有多少千米，汽车在普通公路上行驶了多少小时？设普通公路长x（km），汽车在普通公路上行驶了y（h）根据题意，得，解得，答：普通公路长60km，汽车在普通公路上行驶了1h随练1.6一列火车从北京出发到达广州大约需要1
14、5小时火车出发后先按原来的时速匀速行驶8小时后到达武汉，由于2009年12月世界时速最高铁路武广高铁正式投入运营，现在从武汉到广州火车的平均时速是原来的2倍还多50公里，所需时间也比原来缩短了4个小时求火车从北京到武汉的平均时速和提速后武汉到广州的平均时速【答案】150；350【解析】该题考查的是列二元一次方程组解应用题设火车从北京到武汉的平均时速为x公里每小时，提速后武汉到广州的平均时速为y公里每小时依题意，有， 解方程组，得 ， 答：火车从北京到武汉的平均时速为150公里每小时，提速后武汉到广州的平均时速为350公里每小时随练1.7某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动下面是年级组长
15、李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元”小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5000元”小明：“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满”根据以上对话，解答下列问题：（1）平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（2）按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？【答案】（1）平安公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为900元，700元（2）5200元【解析】（1
16、）设平安公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为x元，y元由题意列方程组解得答：平安公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为900元，700元；（2）九年级师生共需租金：5900+1700=5200（元）答：共需资金5200元随练1.8某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售每吨获利（元）100250450现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨（两种加工不能同时进行）（1）如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格：销售方式全部直接销售全部粗加工后销售尽量精加工，剩余部分直接销售获利（元
17、）（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间？【答案】（1）见下表：销售方式全部直接销售全部粗加工后销售尽量精加工，剩余部分直接销售获利（元）140003500051800（2）应安排10天进行精加工，5天进行粗加工【解析】（1）全部直接销售获利为：100140=14000（元）；全部粗加工后销售获利为：250140=35000（元）；尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：450（618）100（140618）=51800（元）（2）设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工由题意，得解得，故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工自我总结 课后
18、作业作业1甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行经过3小时后甲、乙第一次相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍求甲、乙两人的速度【答案】甲的速度为4千米/时，乙的速度为5千米/时【解析】设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时依题意，得，解得作业2在早餐店里，王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元若馒头每颗x元，包子每颗y元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系（）ABCD【答案】B【解析】设馒头每颗x元，包子每颗y元，伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2
19、元，只要50元，可列式为5x+3y=50+2，李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元，可列式为0.9（11x+5y）=90，故可列方程组为，故选B作业3在水果店里，小李买了5kg苹果，3kg梨，老板少要2元，收了50元；老王买了11kg苹果，5kg梨，老板按九折收钱，收了90元，该店的苹果和梨的单价各是多少元？【答案】5，9【解析】设该店的苹果的单价是每千克x元，梨的单价是每千克y元，由题意得：，解得：，答：该店的苹果的单价是每千克5元，梨的单价是每千克9元作业4经营户小熊在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容：蔬菜品种红辣椒黄瓜西红柿茄子批发价(元/公斤)41.21.6
20、1.1零售价(元/公斤)51.42.01.3他共用116元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共44公斤到菜市场去卖，当天卖完请你计算出小熊能赚多少钱？【答案】设小熊在市场上批发了红辣椒x公斤，西红柿y公斤则根据题意，得解这个方程组，得（元）所以，他卖完这些西红柿和红辣椒能赚29元【解析】要求小熊用116元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共44公斤到菜市场去卖能赚多少钱，就得先求出红辣椒和西红柿各批多少公斤，由表中提供的信息红辣椒和西红柿的价格分别是4元/公斤和1.6元/公斤，而红辣椒和西红柿共44公斤，这样即可根据题意即可列出二元一次方程组求解作业5我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：求
21、100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）ABCD【答案】C【解析】设有x匹大马，y匹小马，根据题意得，作业6某企业开发的一种罐装饮料，有大、小件两种包装，3大件4小件共装120缺罐，2大件3小件共装84罐每大件与每小件各装多少罐？【答案】24；12【解析】设每大件装x罐，每小件装y罐，依题意得：解这个方程组得：答：每大件装24罐，每小件装12罐作业7有甲、乙两种车辆参加来宾市“桂中水城”建设工程挖渠运土，已知5辆甲种车和4辆乙种车一次可运土共140立方米，3辆甲种车和2辆乙种车一次可运
22、土共76立方米求甲、乙两种车每辆一次可分别运土多少立方米？【答案】甲、乙两种车每辆一次可分别运土12和20立方米【解析】设甲种车辆一次运土x立方米，乙车辆一次运土y立方米，由题意得，解得：答：甲、乙两种车每辆一次可分别运土12和20立方米作业8列方程组解应用题：食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输.某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知生产100瓶A、B两种饮料中，共添加270克该添加剂，问A、B两种饮料各生产了多少瓶?【答案】30瓶；70瓶【解
23、析】该题考查的是二元一次方程组的应用设A种饮料生产x瓶，B种饮料生产y瓶 （1分）依题意，得 （3分）解得（4分）答：A种饮料生产30瓶，B种饮料生产70瓶作业9某校去年有学生1 000名，今年比去年增加4.4%，其中寄宿学生增加了6%，走读学生减少了2%，问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名？【答案】【解析】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组根据“某校去年有学生1000名”，可得出方程为x+y=1000；根据“今年比去年增加4.4%，其中寄宿学生增加了6%，走读学生减少了2%”，得出的方程为（1+6%）x+（1-2%）y=1000（1+4.4%），列出方程组设去年有寄宿学生x名，走读学生y名，则可列出的方程组为：根据某校去年有学生1000名，得方程x+y=1000；根据今年比去年增加4.4%，其中寄宿学生增加了6%，走读学生减少了2%，得方程为（1+6%）x+（1-2%）y=1000（1+4.4%）那么方程组可列成：，13