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1、初中数学 高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第01讲 一次方程（组）知识图谱错题回顾顾题回顾一次方程（组）知识精讲一一元一次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程一元一次方程的一般形式：，为一次项系数，为常数项1 判断是一元一次方程的标准：整式方程 一元方程 一次方程二一元一次方程的解一元一次方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解三二元一次方程组含有两个未知数，并且两个未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：（1）方程两边的代数式都是整式
2、分母中不能含有字母；（2）有两个未知数“二元”；（3）含有未知数的项的最高次数为1“一次”关于x、y的二元一次方程的一般形式：（且）方法点拨列方程组解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，具体是：1审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系2设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数3列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的4解方程（组）5检验：检验方程的根是否符合题意6作答：检验后作出符合题目要求的答案列方程（组）解应用题的实质是先把实际问
3、题转化为数学问题（设元、列方程（组），再将数学问题解决从而解决实际问题在这个过程中，列方程起着承前启后的作用三点剖析一考点：解一次方程（组），含参数的一次方程（组），一次方程（组）的实际应用二重难点：解含参数的一次方程（组）三 易错点：1 一般的，二元一次方程都有无数组解，但如果确定了一个未知数的值，那么另一个未知数的值也就随之确定了2 无论是二元一次方程还是二元一次方程组，已知它们的解，代入之后都满足对应的方程题模精讲题模一：解一次方程（组）例1.1.1下列方程中是关于的一元一次方程的是（ ）ABCD【答案】D【解析】由一元一次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程可知
4、D选项正确例1.1.2解方程：【答案】【解析】方程去括号得：，移项合并得：，解得：例1.1.3若方程是关于的一元一次方程，则的取值是_【答案】【解析】由题意可得，二次项系数，即，且由得，所以的取值是例1.1.4已知关于的议程组的解满足，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】该题考查的是二元一次方程组的解得，故答案是B题模二：含参数的一次方程（组）例1.2.1解关于的方程：【答案】当时，方程的解为；当时，由于，所以方程无解【解析】原方程可整理为，当时，方程的解为当时，由于，所以方程无解例1.2.2已知关于x的方程有正整数解，求整数m的值【答案】或【解析】该题考查的是含参的一元一次方程由题
5、可知，若即，此时方程化为，无解；若即，此是系数化1可得：，由于x为正整数，且m为正数，或，即或例1.2.3甲、乙二人同解关于、的二元一次方程组，甲得正确解为；乙将看错，得其解为，求、的值【答案】、【解析】转化为关于a、b、c的三元一次方程组，解得题模三：一次方程（组）的实际应用例1.3.1某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米？（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天
6、能比原来多掘进0.3米按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？【答案】（1）甲班组平均每天掘进4.8米，乙班组平均每天掘进4.2米（2）少用10天【解析】（1）设甲、乙班组平均每天掘进x米，y米，得，解得甲班组平均每天掘进4.8米，乙班组平均每天掘进4.2米（2）设按原来的施工进度和改进施工技术后的进度分别还需a天，b天完成任务，则a=（1755-45）（4.8+4.2）=190（天）b=（1755-45）（4.8+0.2+4.2+0.3）=180（天）a-b=10（天）少用10天完成任务例1.3.2为了援助失学儿童，初三学生李明从2012年1月份开始，每月一次将相等数额的零用钱存入已有部
7、分存款的储蓄盒内，准备每6个月一次将储蓄盒内存款一并汇出（汇款手续费不计）已知2月份存款后清点储蓄盒内有存款80元，5月份存款后清点储蓄盒内有存款125元（1）在李明2012年1月份存款前，储蓄盒内已有存款多少元？（2）为了实现到2015年6月份存款后存款总数超过1000元的目标，李明计划从2013年1月份开始，每月存款都比2012年每月存款多t元（t为整数），求t的最小值【答案】（1）50（2）11【解析】（1）设李明每月存款x元，储蓄盒内原有存款y元，依题意得，解得，答：李明2012年1月份存款前，储蓄盒内已有存款50元；（2）由（1）得，李明2012年共有存款1215+50=230元，2
8、013年1月份后每月存入（15+t）元，2013年1月到2015年6月共有30个月，依題意得，230+30（15+t）1000，解得t10，因为t为整数，所以t的最小值为11答：t的最小值为11例1.3.3列方程解应用题油桶制造厂的某车间主要负责生产制造油桶用的的圆形铁片和长方形铁片，该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片如图，一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套 生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时，才能使生产的铁片恰好配套？【答案】24；18【解析】该题考查的是解方程的应用设生产圆形铁片的工人为x人，则生产长方形铁片的工人为人，1分
9、可列方程2分解得：3分则4分答：生产圆形铁片的有24人，生产长方形铁片的有18人5分例1.3.4某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）如果工厂招聘n（0n10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？（3）在（2）的条
10、件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少？【答案】（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车（2）有4种新工人的招聘方案n=8，a=1，即新工人8人，熟练工1人；n=6，a=2，即新工人6人，熟练工2人；n=4，a=3，即新工人4人，熟练工3人；n=2，a=4，即新工人2人，熟练工4人（3）新工人4人，熟练工3人【解析】（1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车根据题意，得，解得答：每名熟练工和新工人每月分别可以
11、安装4、2辆电动汽车（2）设工厂有a名熟练工根据题意，得12（4a+2n）=240，2a+n=10，n=10-2a，又a，n都是正整数，0n10，所以n=8，6，4，2即工厂有4种新工人的招聘方案n=8，a=1，即新工人8人，熟练工1人；n=6，a=2，即新工人6人，熟练工2人；n=4，a=3，即新工人4人，熟练工3人；n=2，a=4，即新工人2人，熟练工4人（3）结合（2）知：要使新工人的数量多于熟练工，则n=8，a=1；或n=6，a=2；或n=4，a=3根据题意，得W=2000a+1200n=2000a+1200（10-2a）=12000-400a要使工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地
12、少，则a应最大显然当n=4，a=3时，工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少随堂练习随练1.1【答案】【解析】去分母：；去括号：；移项： 合并同类项：；系数化为1：.原方程的解是随练1.2若是关于、的二元一次方程，则的值是（）A1B0C0或1D任意实数【答案】B【解析】该题考查的是二元一次方程是关于x、y的二元一次方程，则，解得故本题选B随练1.3 已知关于x、y的方程组和的解相同，求a、b的值【答案】【解析】可先解方程组，解得因此可得关于a、b的二元一次方程组，解得随练1.4解关于的方程：【答案】当时，方程的解为；当，时，方程的解为任意实数；当，时，方程无解【解析】原方程可整理为，当时，方
13、程的解为；当，时，方程的解为任意实数；当，时，方程无解随练1.5解方程：（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）；时，无解【解析】该题考查的是解方程（1）移项：，合并同类项：，解得，经检验是方程的解，原方程的解是（2）两边同乘以6：，去括号：，移项：，合并同类项：，系数化为1：，经检验，是方程的解，原方程的解为（3）去括号：，移项：，合并同类项：，系数化为1：；经检验，当时，是方程的解，当时，原方程的解为；当时，原方程无解随练1.6m取何整数值时，关于x、y的方程组的解x和y都是整数？【答案】【解析】把m作为已知数，解方程组得x是整数，取8的约数，y是整数，取2的约数1，2取它们的公共部分
14、，解得经检验时，方程组的解都是整数随练1.7我市举办的“义博会”是国内第三大展会，从1995年以来已成功举办了15届（1）1995年“义博会”成交金额为1.01亿元，1999年“义博会”成交金额为35.2亿元，求1999年的成交金额比1995年的增加了几倍？（结果精确到整数）（2）2000年“义博会”的成交金额与2009年的成交金额的总和是153.99亿元，且2009年的成交金额是2000年的3倍少0.25亿元，问2009年“义博会”的成交金额是否突破了百亿元大关？【答案】（1）34倍（2）是【解析】找到相应的关系式是解决问题的关键；注意增加的倍数是求到增加的金额占原来的金额的多少（1）（35
15、.2-1.01）1.0134答：1999年的成交金额比1995年约增加了34倍；（2）设2000年成交金额为x亿元，则2009年成交金额为（3x-0.25）亿元由题意得：x+3x-0.25=153.99，解得：x=38.56，3x-0.25=115.43100，2009年“义博会”的成交金额突破了百亿元大关自我总结 课后作业作业1解方程：【答案】【解析】该题考查的是解一元一次方程去分母，乘以12，得：去括号，得：移项、合并同类项，得：系数化为1，得：作业2设a，b，c都是非负数，且满足a+b+c=3，3a+bc=5，则5a+4b+2c的最大值是_【答案】13【解析】由解得，所以5a+4b+2c
16、=5+5c+88c+2c=13c，c是非负数，c05a+4b+2c=5+5c+88c+2c=13c的最大值为13作业3如果关于x，y的二元一次方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是_【答案】【解析】由于两个二元二次方程组都是的形式，所以解相同，作业4已知关于x的方程有无数多解，求a、b的值【答案】，【解析】移项、合并，得，由于原方程有无数多解，所以，解得作业5已知方程，问a、b分别满足什么条件时：（1）方程有唯一解？（2）方程无解？（3）方程有无穷多个解？【答案】（1）（2），（3），【解析】原方程可整理为，方程有唯一解，则，即；方程无解，则且，即且；方程有无数解，则且，即且作业6
17、已知方程组与有相同的解，求、的值【答案】【解析】由题意得，解得将代入，得，解得作业7我们规定：若的一元一次方程的解为，则称该方程为定解方程，例如：的解为，则该方程就是定解方程请根据上边规定解答下列问题：（1）若的一元一次方程是定解方程，则 ；（2）若的一元一次方程是定解方程，它的解为，求，的值；（3）若的一元一次方程和都是定解方程，求代数式的值【答案】（1）（2），（3）【解析】（1）由题意可知，由一元一次方程可知，因此，解得（2）由题意可知，由一元一次方程可知，又因为方程的解为a，因此，解得，（3）由题意可知，两式相减，得代入，求得原式作业8已知关于x的方程的解是方程的解的11倍，求m的值和
18、两个方程的解【答案】，方程的解分别为，【解析】关于x的方程的解为，关于x的方程的解为由题意可得，解得，代回和后可以得到方程的解为作业9若k为整数，则使方程的解也是整数的k的值有（ ）A4个B8个C12个D16个【答案】D【解析】解方程，得，要使x为整数，可取，即的值有16个，答案为D作业10要使关于x、y的方程组的解都是整数，k应取哪些整数值？【答案】【解析】解关于x、y的方程组，得由于，x是整数，y是整数，作业11解关于x的方程（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【答案】（1）（2）（3）（4）；（5）当时，；当且时，为任意数；当且时，无解【解析】本题考查的是一元一次方程（1），两边同时乘
19、以2，得；（2），移项，合并同类项，得；（3），方程两边同时乘以3，4的最简公分母12，得；（4），化简为，方程两边同时乘以15，得，即；（5），当时，；当且时，为任意数；当且时，无解作业12现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元（1）求A，B两种商品每件各是多少元？（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？【答案】（1）20，50（2）见解析【解析】（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，依题意，得，解得答：A商品每件20元，B商品每件50元（2）设小亮准备购
20、买A商品a件，则购买B商品（10-a）件解得5a6根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6方案一：当a=5时，购买费用为205+50（10-5）=350元；方案二：当a=6时，购买费用为206+50（10-6）=320元；350320购买A商品6件，B商品4件的费用最低答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低作业13为了贯彻落实国务院关于促进家电下乡的指示精神，有关部门自2007年12月底起进行了家电下乡试点，对彩电、冰箱（含冰柜）、手机三大类产品给予产品销售价格13%的财政资金直补企业数据显示，截至2008年12月底，
21、试点产品已销售350万台（部），销售额达50亿元，与上年同期相比，试点产品家电销售量增长了40%（1）求2007年同期试点产品类家电销售量为多少万台（部）？（2）如果销售家电的平均价格为：彩电每台1500元，冰箱每台2000元，手机每部800元，已知销售的冰箱（含冰柜）数量是彩电数量的倍，求彩电、冰箱、手机三大类产品分别销售多少万台（部），并计算获得的政府补贴分别为多少万元？【答案】（1）250万台（部）（2）彩电、冰箱、手机三大类产品分别销售88万台、132万台、130万部，获得的政府补贴分别为17160万元、34320万元、13520万元【解析】（1）设2007年销量为a万台，则a（1+4
22、0%）=350，解之得：a=250；答：2007年同期试点产品类家电销售量为250万台（部）；（2）设销售彩电x万台，则销售冰箱x万台，销售手机（350-x）万台由题意得：1500x+2000x+800（350-x）=500000解得：x=88x=132，350-x=130所以，彩电、冰箱（含冰柜）、手机三大类产品分别销售88万台、132万台、130万部88150013%=17160（万元），132200013%=34320（万元），13080013%=13520（万元）获得的政府补贴分别是17160万元、34320万元、13520万元答：彩电、冰箱、手机三大类产品分别销售88万台、132万台、130万部，获得的政府补贴分别为17160万元、34320万元、13520万元15