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1、南京技师学院教案（首页）授课日期授课班级课题2.1 数列的极限函数的极限计划学时2 课时教学目标1. 了解函数极限的定义, 能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解；2. 了解函数的左、右极限及其与函数极限的关系教学重点解决措施教学重点：函数极限的概念解决措施：讲授、演示教学难点解决措施教学难点：函数极限的概念解决措施：讲授、演示教学设计教学手段教学方法多媒体教学、板书演示板书设计授课提纲2.1 数列的极限函数的极限一、复习1. 函数的概念、复合函数和初等函数的概念；2函数几种特性二、引入三、新授（一） 、数列的极限（二） 、函数的极限（三） 、无穷大量四、练习P24-习题 14、9-10 五、
2、小结1. 数列极限的概念；2. 函数的极限的概念；作业 P24-习题 58名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 教 学 过 程 设 计时间分配教师活动学生活动【复习提问】1. 函数的概念、复合函数和初等函数的概念；2函数几种特性【新课引入】极限是贯穿高等数学始终的一个重要概念，是这门课程的基本推理工具。极限研究的是在自变量的某个变化过程中，函数的变化趋势。 数列作为可看作一种特殊的函数，如今，我们先从数列入手研究函数的
3、极限。【新课讲授】2.1 数列的极限函数的极限一、数列的极限1、定义 、对于数列nu，若当自然数 n无限增大时，通项nu 无限接近于某个确定的常数, 则称 A为当n趋于无穷时数列nu的 极限 ，或 称数 列nu收敛于 A 。记作Anlim或nAun；若数列nu的极限不存在，则称数列nu发散。例如数列111 42,2 3nnn，可见当 n无限增大时，无限接近 1，则1limnnu。2、数列极限的几何意义：当 n 无限变大时，数列un所对应的点多落在点A的邻域内，直观讲：当n 无限变大时，由于是任意小数列 un所对应的点密集地落在点A的邻域。 （图 2.2 ）4 分钟1 分钟55 分钟提问强 调数
4、 列中n的 取值 是正 整数几 何 直观 思 想的 应 用让 学 生感 受 极限 是 什么复 习回答y=A 图 2.3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 教 学 过 程 设 计时间分配教师活动学生活动如果用平面直角坐标系中点（n，un）表示数列地 n 项，那么数列 un以 A 为极限的几何意义可表述为：当n 无限变大时，数列un 所对应的点都会靠近在直线y=A的上下，且越来越靠近。（图 2.3 ）例如：数列 un=
5、n2(n=1、2、3) ，当 n 无限变大时，数列不趋向于一个确定数，所以发散。二、函数的极限（一） x时函数)(xf的极限定义 1.当 x无限变大时，恒有Axf)(（是任意小的正数），则称常数 A为函数)(xf当趋向正无穷大时的极限。记作xAxfAxfx)()(lim或（二）x时函数)(xf的极限定义 2.当x 无限变大时，恒有Axf)(（是任意小的正数），则称常数 A为函数)(xf当趋向负无穷大时的极限。记作xAxfAxfx)()(lim或。当 x时，Axf)(，同时当x时，)(xf也趋向于 A。这时记作Axfx)(lim。数 列 收敛 表 示数 列 中的 各 项都 在 极限 值 的附 近
6、 上下移动告 诉 学生 怎 么将 中 文翻 译 为数 学 语言。画 一 个草 图 给学 生 直观认识。函 数中的 x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 教 学 过 程 设 计时间分配教师活动学生活动（三）0 xx时函数)(xf的极限定义 3. 如果当 x无限地接近于0 x 时（除0 x 外） ，恒有Axf)(（是任意小的正数），则称常数 A为函数)(xf当趋向于0 x 时的极限。记作0)()(lim0 xxAxfAx
7、fxx或（四）0 xx时函数)(xf的极限定义 4. 设函数)(xfy的右半邻域00,xx内有定义，如果当自变量x在此半邻域内从0 x 右侧无限接近于0 x时，相应的函数值)(xf无限接近于某个固定的常数A，则称A为当x趋近于0 x 时函数)(xf的右极限。记作0)()(lim0 xxAxfAxfxx或（五）0 xx时函数)(xf的极限定 义5.设 函 数)(xfy在 点0 x的 左 半 邻 域00,xx内有定义，如果当自变量x在此半邻域内从0 x 左侧无限接近于0 x 时，相应的函数值)(xf无限接近于某个固定的常数A，则称A为当x趋近于0 x 时函数)(xf的左极限. 记作是 任意 实数，
8、 充分 理解 函数 趋近 常数 和趋 近无 穷的 不同 意义名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 教 学 过 程 设 计时间分配教师活动学生活动0)()(lim0 xxAxfAxfxx或。定理 1：Axfxx)(lim0的充分必要条件是Axfxfxxxx)(lim)(lim00同理可得Axfx)(lim的充分必要条件是Axfxfxx)(lim)(lim例：当 x2时，函数 f(x)=3x+1的极限时多少？解：当 x2
9、时，3x6,f(x) =3x+17, 即7)13(lim2xx定理 2： 若函数0 xx（或x）时，函数)(xf的有极限，则必存在0 x 的一个邻域（除0 x 外） （或 x 充分大范围外） ，在此邻域内函数)(xf有界。简言之，有极限的函数必有界。证明：以x为例，已知Axfx)(lim。即当 x 无限变大时，恒有Axf)(。又AAxfAAxfxf)()()(。从而有Axf)(，即)(xf有界。【课堂小结】1. 数列极限的概念；2. 函数的极限的概念；5 分钟画图用 于判 断极 限是 否存在小结提问回答巩 固名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 教 学 过 程 设 计时间分配教师活动学生活动【作业布置】课内练习：P24-习题 14、9-10 课后作业：P24-习题 58【教学反思】13 分钟2 分钟指导练习练习名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -