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1、第一讲： 函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1下面函数与yx为同一函数的是（）2.A yx2.B yxln.xC ye.lnxD ye解 ：lnlnxyexex， 且 定 义 域,，选 D 2已知是f的反函数，则2fx的反函数是（）1.2A yx.2B yx1.22C yx.22D yx解: 令2,yfx反解出x：1,2xy互换x，y位置得反函数12yx，选 A 3设fx在,有定义， 则下列函数为奇函数的是（）.A yfxfx.B yxfxfx32.C yx fx.D yfxfx解 ：32yx fx的定义域,且3232yxxfxx fxy x选 C 4下列函数在,内无界的是（）21
2、.1A yx.arctanB yx.sincosC yxx.sinD yxx解 : 排 除 法 ： A 21122xxxx有 界 ，Barctan2x有界，C sincos2xx故选 D 5数列nx有界是limnnx存在的（）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件解 ：nx收 敛 时 ， 数 列nx有 界 （ 即nxM） ，反之不成立，（如11n有界，但不收敛，选 A 6 当n时，21sinn与1kn为等价无穷小，则k= （）A 12B 1 C 2 D -2 解：2211sinlimlim111nnkknnnn，2k选 C 二、填空题 （每小题 4 分，共 24 分）7设11fx
3、x，则ffx的定义域为解：ffx111111fxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 112xxxffx定义域为(, 2)( 2, 1)( 1,)8设2(2)1,f xx则(1)f x解： （1）令22,45xt fttt245fxxx（2）221(1)4(1) 5610f xxxxx9函数44loglog 2yx的反函数是解：（1）4log (2)yx， 反解出x：214yx（2）互换,x y位置，得反函数214xy10lim12
4、nnnn解：原式33lim212nnnn有理化11若105lim 1,knnen则k解 ： 左 式 =5lim()510nknkneee故2k122352limsin53nnnn= 解：当n时，2sinn2n原式=2532lim53nnnn= 65三、计算题 （每小题 8 分，共 64 分）13求函数21arcsin71xyx的定义域解：2111347111 0 xxxxx或函数的定义域为3, 1)1,414设sin1cos2xfx求fx解：22sin2cos2 1 sin222xxxf22 1f故22 1fxx15 设fxln x，g x的 反 函 数1211xgxx，求fg x解: （1）
5、 求22():1xgxyx反精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 解出x：22xyyx22xyy互换,x y位置得()22gxxx(2)lnln22fgxgxxx16判别fx2ln1xx的奇偶性。解 法（ 1） ：fx的定义域,，关于原点对称2ln1xxxf2ln11xx122ln1ln()1xxxxfx2ln(1)fxxx为奇函数解法（ 2） ：fxfx22ln(1)ln1xxxx22ln (1)1ln10 xxxxfxfx故fx为
6、奇函数17已知fx为偶函数，g x为奇函数，且11fxg xx，求fx及g x解：已知( )( )f xg x11x1()()1fxgxx即有1( )( )1f xg xx22得11211fxxx故21( )1f xx2得11211g xxx故2( )1xg xx18设32lim8nnnana，求a的值。解：3323limlim 1nnnnnaananalim,nnaan aee8ae故ln83ln 2a19求111lim1 22 31nnn n解： （1）拆项，11(1)(1)kkk kkk111,2,1knkk1111 22 31n n1111112231nn111n（2）原式 =lim1
7、1111limnnnnneen20设0,1 ,xfxaaa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 求21limln12nfffnn解： 原式 =122ln1limnnaaan2ln2lnln1limnaanan2ln12limnann2(1)ln2limnnnanln0,112a aa四、综合题 （每小题10 分，共 20 分）21设fx=21xx，求3fx= fffx并讨论3fx的奇偶性与有界性。解： （1）求3fx22221112f
8、xxxfxfxxfxx232222113fxxfxffxfxx（2）讨论3fx的奇偶性33213xfxfxx3fx为奇函数（3）讨论3fx的有界性3213313xxfxxx3fx有界22从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V 表示成中心角的函数。解： （1）列出函数关系式，设漏斗高为h，底半径为r，依题意：漏斗容积V=213r h22,2hRrrR22222244RRrhR故2224324RVR323424R（2）函数的定义域222240,20故3224024RV五、证明题 （每小题 9 分，共 18 分）23 设fx为定义在,的任
9、意函数，证明fx可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。证：(1) 2f xfxf x2f xfx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 24 页 - - - - - - - - - - (2)令2fxfxg xx2fxfxgxg xg x为偶函数(3)令2fxfxxx2fxfxxxx为奇函数（4）综上所述：fxg x偶函数 +x奇函数24 设fx满足函数方程2fx+1fx=1x，证明fx为奇函数。证： （1）1121fxfxx令11,2tff ttxt函数与自变量的记号无关122ffxx
10、x（2）消去1fx，求出fx2221 :4fxfxxx22223,3xxfxfxxx（3）fx的定义域,00,又223xfxfxxfx为奇函数选做题1 已知222(1)(21)126n nnn，求22233312lim12nnnnnn解: 222312nnn2222233311211nnnnnn且222312limnnnn31 (21)1lim36nn nnnn222312lim1nnn3(1)(21)1lim6(1)3nn nnn由夹逼定理知，原式132 若 对 于 任 意 的,x y， 函 数 满 足 ：fxyfxfy，证明fy为奇函数。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -
11、- - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 解 (1)求0f：令0,0,02000 xyfff(2)令:0 xy ffyf yfyf yfy为奇函数第二讲： 函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案一、单项选择题（每小题 4 分，共 24 分）1 下列极限正确的（）Asinlim1xxxBsinlimsinxxxxx不存在C1limsin1xxxDlim arctan2xx解：011sinlimsinlimxttxtxxt选 C 注：sin1sin1 0lim0; lim1sin1 01xxx
12、xxABxxx2 下列极限正确的是（）A10lim0 xxeB10lim0 xxeCsec0lim(1cos )xxxeD1l i m ( 1)xxxe解：101lim0 xxeee选 A 注：:,:2,:1BCD3若0limxxfx，0limxxg x，则下列正确的是（）A0l i mxxfxg xB0limxxfxg xC01l i m0 xxfxg xD0lim0 xxkfxk解：000limlimxxxxkkfxkfxk选 D 4若02lim2xfxx，则0lim3xxfx（）A3 B13C2 D12解：002323limlim32xttxxtfxft021211lim23323tft
13、t选 B 5设1sin (0)0(0)1sin(0)x xxxfxxa xx且0limxfx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 存在，则a= （）A-1 B0 C 1 D2 解：0sinlim1,xxx01limsinxxaoax1a选 C 6当0 x时，11afxx是比x高阶无穷小，则（）A1aB0aCa为任意实数D1a解：0011112limlim01aaxxxxaaxx故选 A 二 、填空题 （每小题4 分，共 24 分）7l
14、im1xxxx解： 原式lim1111lim 11xxxxxeex82112lim11xxx解： 原式112lim11xxxx111lim12xx931002132 97lim31xxxx解： 原式3972132limlim3131xxxxxx32832710已知216lim1xxaxx存在，则a= 解：1lim 10 xx21lim60 xxax160,7aa111201arcsinlimsinxxxexx解：11220011sin1,lim0limsin0 xxxxeexx又00arcsinlimlim1xxxxxx故 原式 =1 12若220ln 1lim0sinnxxxx且0sinli
15、m01cosnxxx,则正整数n= 解：222200ln 1limlimsinnnxxxxxxxx20420,lim02nxnxnx2,4,nn故3n三、计算题 （每小题 8 分，共 64 分）13求sin32limsin23xxxxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 解：原式 =sin32limsin23xxxxxsin31lim0sin31,lim0 xxxxxxsin21lim0sin21,lim0 xxxxxx原式0220
16、3314求01tan1sinlim1cosxxxxx解： 原式有理化0tansinlim(1cos )( 1tan1sin )xxxxxxx0tan (1cos )1lim(1cos )2xxxxx0tan111limlim222xxxxxx15求21limsincosxxxx解： 令1tx，当x时，0t原式10lim cossin2tttt10lim 1cos1sin 2tttt0cos 1 sin2lim2ttttee16求0ln cos2limln cos3xxx解： 原式0ln 1cos21limln 1cos31xxx变形0cos21limcos31xxx等价2021242lim19
17、32xxx等价注:原式02sin 2cos3limcos23sin 3xxxxx4917求02limsinxxxeexxx解：原式0020lim1cosxxxeex000000limlim2sincosxxxxxxeeeexx18设fx1,01 cos,0 xea xxxx且0limxfx存在，求a的值。解：10lim0 xxeaeaaa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 2001cos2limlimxxxxxx0122lim2xx
18、x22a1911 3ln0limsin3xxx解：原式003coslimsin30ln(sin3)3lim1 3ln0 xxxxxxxee换底法也可以用两个重要极限中的一个，凑一个1出来 （凡是可以用换底的都可以用重要极限来求）0031limlim3sin33xxxxxxeee20求21limln 1xxxx无穷大与0 之间的转换（笔记）解：原式201ln 11limtttxtt20ln 1limtttt通分01101lim2ttt0001111limlim2112tttt tt四、证明题 （共 18 分）21当x时且lim0,limxxu xv x, 证明limlim 1xu x v xv
19、xxu xe证：lim 1v xxu x1lim 1u x v xu xxu xlimxu x v xe证毕（利用两个重要极限）22当0 x时，证明以下四个差函数的等价无穷小。（1）3tansin02xxxx等价于Tanx-sinx 可以提取一个tanx，从而凑成Tanx*(1-cosx) ， 用 等 价 无 穷 小 可 以 得 出1-cosx1/2x2, 从而整体等价于x3/2; (总结规律：注意tanx-sinx 有公共因子tanx，从而充分利用等价无穷小的规律，在不定积分中也同样可以用此方法化解式子)（2）3tan03xxxx等价于（3）3sin6xxx等价于0 x（4）3arcsin0
20、6xxxx等价于证：30tansin1lim2xxxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 3000tan1coslim2xxxx2302lim12xxxx当0 x时，3tansin2xxx22003tansec12limlim13xxxxxxx（0/0 型，先用洛比达法则进行求导，然后利用 tanx 与 secx 之间的关系转换，再利用等价无穷小）规律总结：见到tanx 的想法：与 sinx 同幂组合，注意看是否可以提取公因式 ta
21、nx; 有平方项看是否可以转化为secx（转化的时候把转化式子写出来，要注意是加1 还是减1.。 。 ） ；注意利用万能公式 （看书复习万能公式，归纳适用条件）（怎样将一个word 文要分两边显示。 。 。怎样就 可 以 将 这 样 的 文 档 转 化 为 习 惯 的 样子？问老哥）222200tanlimlim1xxxxxx当0 x时，2tan3xxx03sin3lim16xxxx021coslim12xxx20212lim112xxx当0 x时，31sin6xxx03arcsin4lim16xxxx220022211111limlim11122xxxxxxx20212lim1112xxx当
22、0 x时，31arcsin6xxx等价于（规律总结：三角函数， 反三角函数与X 组合， 0/0 型的时候应该先用洛比达法则求一次导，（求导的时候可以对分母先应用等价无穷小，再求导），然后再应用等价无穷小进行化简，此外应该特别注意，可以先应用极限的四则运算，（四则不仅只有加减，还有乘除，应格外熟悉）,将某些难化简， 但极限好求的先进行计算， （一般题目要求求的都是极限存在的，所以可以用此方法解题， 若解出来发现极限不存在，这说明不能用四则运算，因而再想别的方法）五、综合题 （每小题 10 分，共 20 分）23求2lim 39121xxxx有根号， 无从下手时想到用分母有理化，化成精品资料 -
23、- - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 指数次幂除以指数次幂的形式。解：原式2229921lim3921xxxxxxx有理化221lim3921xxxxx21221lim3332139xxxx24 已知22281lim225xxmxxn xn，求常数,m n的值。解： （1）原极限存在且22lim220 xxn xn22lim80,4280 xxmxm212,6mm（2）22268lim22xxxxn xn2002646lim2242xxxnn21
24、25n102n12n答6,12mn选做题求1101limxxxxe解：原式11011lim1xxxxee110011limlimxxxxxxex eeee令11ln 11xxxyxe121ln 111xxxxyxx121ln 111xxxxxxx原式20201ln 10 ln 1limlim123xxxxxxxxxxee201lim232xxxxee第三讲：函数的连续性与导数、微分的概念的强化练习题答案一、单项选择题（每小题 4 分，共 24 分）1若fx为是连续函数，且01,10ff，则1limsinxfxx( ) A -1 B0 C1 D 不存在解：原式1sin1limsinlim1xxf
25、xfxfxx连续精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 10f，选 B 2 要使ln 1mxfxkx在点0 x处连续，应给0f补充定义的数值是( ) AkmBkmCln kmDkme解：00limln lim(1)mxxxfxkx0limlnlnxmkxkmxeekm0fkm选 A 3 若lim( )xaf xA， 则 下 列 正 确 的 是（）AlimxafxABlimxafxAClimxafxADlim( )xaf xA解：lim
26、limxaxauf xfxA连续选 B 4设,00 ,0fxxFxxfx且fx在0 x处可导，00,f00f,则0 x是F x的 ( ) A 可去间断点B 跳跃间断点C 无穷间断点D 连续点解：000limlim0 ,0 xxfxfF xfx00ff000lim0 xFfF，故0 x是F x的第一类可去间断点。选A 51sin,00,0 xfxxxx在0 x处() A 极限不存在B极限存在但不连续C 连续但不可导D可导但不连续解：001limlimsin0 xxfxxx，且00ffx在0 x连续，又0f01sin0lim0 xxxx不存在，fx在0 x不可导选 C （判断函数是否可导，应该用定
27、义法去判断。 。 。 ）6设21,1,1xxfxaxb x在1x可导，则,a b为（）A2,2abB0,2abC2,0abD1,1ab解： （1）fx在1x连续，211lim12, limxxxaxbab故21ab精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 24 页 - - - - - - - - - - （2）2111lim2,11xxffx11112limlim11xxa xaxbaxx2a，代入1得0b，选 C （两个未知数找准两个方程，第一人利用连续的性质，第二个利用可导， 求出
28、特殊点的导数）二、 填空题 （每小题4 分，共 24 分）7设( )f x为连续奇函数，则0f= 解： （1）fx为奇函数，fxf x（2）00limlimxxfxfx又fx在0 x连续00ff故00f规律总结：连续的奇函数在0 点的函数值为0；可导的偶函数，0 点的导函数为0；8若fx为可导的偶函数，则0f解：（1）fx为偶函数，fxfx(2)fx可 导 ，fxfx故00ff200f即00f9设6yxk是曲线23613yxx的一条切线，则k解： （1）6,66, 666,2yyxxx（2）6 23 4 6 2 13, 1212 12 13,kk故1k10 若( )yf x满足：( )0f x
29、fxx，且0lim0 xxx则0f= 解：000lim0 xfxffx0lim101xxxx（在不确定函数是否可以求的导的情况下一定要用定义求在某点的导数）11 设( )fx在2x连续，且(2)f=4，则2214lim( )24xf xxx解： 原式 =2224(2) lim4xxfx2114lim4124xx125sin1( )xxf xxx的间断点个数为解：令520,1110 xxx xxx0,1,1xxx为间断点，故fx有三个间断点（间断点就是函数没有意义的点）三 、计算题 （每小题 8 分，共 64 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下
30、载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 13 已知2sin 21,0( ),0axxexf xxa x在,上连续，求a的值解：fx在0 x连续200sin 21limlimaxxxxefxx200sin21limlim22axxxxeaxx且0,22faaa故2a14 讨论1,0( )0,01ln,11xexf xxxxx在0,1xx连续性解： （1） 在0 x处，10lim0,xxe0lim 00 x且00ffx在0 x处连续（2）在1x处，1lim 00,x10ln 1ln1limlim11xxtx xtxtf
31、x在1x不连续(判断连续性即找准分段点，求极限) 15 设( )fx有 连 续 的 导 函 数 ， 且00,0ffb若sin,0,0f xaxxF xxAx在0 x连续，求常数A。解：000sinlimlimxxfxfaxF xx000sinlimlim0 xxfxfaxxx0fa且0FA，abA答Aab16 设( )f x1,0,0 xexxkxb x在0 x可导，求,k b的值。（看到可导的条件要求变量，一定是两个方程，一个关于连续性， 一个是关系某点的导数值（都是左导等于右导）找 一 个 题 目 自 己 动 手 计 算 ， 看 是 否 有 问题！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！
32、！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ）解： （1）fx在0 x连续，01lim1xxex0lim ()xkxbb故有1b（2）fx在0 x可导0110lim0 xxexfx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 20000111limlim22xxxxexexx01 10lim,xkxfkx12k，答1,12kb17设ln(1),0( )1,0axxf xxx在0 x可导，求a与0f解： （1）fx在0 x连续，0
33、0ln 1limlimxxaxfxx0limxaxax且01f，故有1a（2）fx在0 x可导0ln(1)10limxxxfx2000110ln 11limlim2xxxxxxx0111lim212xxx x答：11,02af18 讨论( )f xxax在xa是否可导，其中x在xa连续。解： （1）0limxaxaxfaxalimxaxaxxalimxaxa连续（2）0limxaxaxfaxalimlimxaxaxaxxaxa连续答：当0a时，fx在xa连续，当0a时，fx在xa不连续19 求1( )lnf xx的间断点，并指出间断点类型解： （1） 间断点：0,1,1xxx（2） 在0 x处
34、：01lim0lnxx0 x是fx的第一类间断点。（3） 在1x处：11limlnxx1x为fx的第二类无穷间断点。20设11,0( )ln 1, 10 xexf xxx指 出精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 24 页 - - - - - - - - - - ( )f x的间断点，并判断间断点的类型。解 ： （1）1x为间断点，0 x可能是间断点。（2）在1x处：111111lim0,limxxxxeee1x是fx的第二类无穷间断点（3）在0 x处：11100lim,lim l
35、n 10 xxxeex0 x是fx的第一类跳跃间断点四、 综合题 （每小题10 分，共 20 分）21 求111( )111xxf xxx的间断点，并判别间断点的类型。解：（1）间断点：01,1xxx，（2）在0 x处：111(1)11x xxfxx xx001limlim11xxxfxx0 x是fx的第一类可去间断点（3）在1x处：111limlim01xxxfxx1x是fx的第一类可去间断点（4）在1x处：11lim1xxx1x是fx的第二类无穷间断点22已知2322,0( ),01,1xx xf xaxbxcx dxxx x，在,可导，求, , ,a b c d之值解： （1）fx在0
36、x连续，320limxaxbxcxdd20lim0,00 xxxf故01d（2）fx在0 x可导200lim1,xxxfx3200limxaxbxcxfcx故有12c（3）fx在1x连续，321lim1xaxbxxf即110abf103ab（4）fx在0 x可导：211lim11xxxfx3211lim1xaxbxxfx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 2100lim321xaxbx321ab故有3204ab由（ 3） （4）解
37、得2,3ab答：2,3,1,0abcd五、证明题 （每小题9 分，共 18 分）23 证明4240 xx在区间2,2内至少有两个实根。证： （1）( )fx在2,0连续，且040,2160ff由零点定理知，( )f x=0 在2,0上至少有一个实根。（2）( )f x在0,2连续 ,且040,216480ff由零点定理知，( )f x=0 在0,2上至少有一个实根（3）综上所述，( )f x=0 在2,2上至少有两个实根24 设1sin,00,0uxxfxxx，证明（ 1）当0u时fx在0 x连续，当1u时，fx在0 x可导解： （1）001limsin0uxuxx时010sin1,lim0u
38、xuxx当0u时，fx在0 x连续(2)1001sin11limlimsin01uuxxxuxxxx时1011sin1,lim0uxuxx当1u时，fx在0 x可导总之，当0u时，fx在0 x连续当1u时，fx在0 x可导选做题设对于任意的x，函数满足1fxafx且0,fb证明1fa b证： （1）令0 x，10f0af，即10faf(2) 0111limxfxffx00lim0 xafxafafa bx证毕精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 24 页 - - - - - - -
39、 - - - 第四讲： 导数与微分的计算方法的强化练习题答案一、单项选择题（每小题 4 分，共 24 分）1设2421,fxxx则1f( ) A 1 B 3 C -1 D -3 解： （1）22221fxxx21fxxx(2) 21,12 11fxxf选 C 2设222212fxx xx22xn,则0f（）A 2( !)nB21( !)nnC!nD1!nn解： 令22222212g xxxxn( )fxx g xfxg xxgx2200012fg221!nnn选 B 注：本题用导数定义计算更方便！3 设ln 1fxx， 则5fx= ( ) A 54!1xB 54!1xC55!1xD55!1x解
40、：11,fxx21 1,fxx3121fxx441231,fxx5(5)12341fxx54!(1) x选 A 4设yfx由方程2cos1x yexye所确定，则曲线yfx在点（ 0，1）的切线斜率(0)f= ( ) A 2 B -2 C 12D -12解：22sin0 x yeyxyyxy2000,ey002yf选 B 5 设fx为可导偶函数， 且cosg xfx，则2g（）A 0 B 1 C -1 D 2 解： （1）coscosgxfxxcossinfxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -
41、第 18 页，共 24 页 - - - - - - - - - - （2）,fxfx1fxfx00ff得00f（3）002gf选 A 6 设fx在1x有连续导数， 且12f,则0limcosxdfxdx( ) A 1 B -1 C 2 D -2 解：cosdfxdx1cossin2fxxx(2)原式0sinlimcos2xxfxx1112f选 B 二、填空题 （每小题4 分，共 24 分）7若sincosttxetyet，则22d ydx解： （1）2cossin( 1)sincostttttdyetetedxetet(2) 2322sincostd ydyedydxdtdtdxdxtt8设2
42、1lnfxx，则fe= 解：(1)22112lnln2 1ln1lnxxxxfxxx（2）1 1222feee9 直线l与x轴平行，且与曲线xyxe相切，则切点坐标是解：1,010 xxeyeye曲故有切点坐标0, 110yfx由方程33sin60 xyxy确定，则0 xdy解：当0 x时，360yy得0y2233cos60 xyyxy106y，0106xdyydxdx11设1ln1xxeye，则dy解：11ln 1ln 122xxyee21122111xxxxxxeeeyeee12设10110nnnf xa xa xaxa，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -
43、- - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 则0nf= 解：1201(1)nnfxna xna x1na01nn nfxn na x00!,0!nn afn a三、计算题 （每小题8 分，共 64 分）13 设11ln11xyx，求dy。解： (1)ln(11)ln11yxx11(2)11 2 1yxx11111 2 11xxxx（3）11dydxxx14 设2arcsin42xyxx， 求y及y。解： (1) 212arcsin212xyxx222 4xx2arcsin24xxx2arcsin24xxx
44、(2)arcsin2xy2212412xxx15方程1sinln1xxyy确定yy x，求0 xdydx解：(1)11cos()1xyyxyyxy=0 （2） 当0 x时，0ln1yye（3）1cos 0(0)1(0)0eeye11(0)eye，(0)(1)ye e16设c o ss i nxyxx，求y解： （1）lnlncosln sinyxxx(2)11cossinln sincossinxyxxxyxx2cos1cossinsin ln sinsinxxyxxxxxx17 设2ln1arctanxtytt，确定yy x，求22d ydx。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -
45、- - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 解： （1）221 221111ttdydytdttdxdxdt(2)222211dytd ydytdtdxtdxdxtdtt18 设11xyx，求ny解： （1）变形，122111xyxx（2）2211yx32121yx42121yxny121! 1nnnx19 设yy x由方程220FxyFxyy所确定，其中F 可导，且12,(4)1,022FFy，求0 xdydx解： （1）2222Fxyxyy10Fxyyy（2）当0 x时，2y（3）
46、44(0)(2) 1(0)FyFy(0)0y14(0)1(0)(0)02yyy1(0)7y20已知11,1xfxyfxx，求dydx解： （1）211111xxxyfxx22111xfxx1(2)fxx1111xxfxx22212111dyxdxxxx四、证明题 （本题 8 分）21 证明抛物线xya任一点处的切线所截两坐标轴的截距之和等于a。证： （1）求切线方程：设切点坐标为00,xy11022yxy，yyx000yy xx故有切线方程：0000yyyxxx（2）求截距：令0y，0000yyxxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳
47、 - - - - - - - - - -第 21 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 解得000,xxx y令0 x，000yyx y解得000yyx y（3）证明两截距之和为a（即xya）00 xyxy+002 x y2200002xyx y2200 xyaa证毕五、综合题 （每小题10 分，共 30 分）22若曲线2yxaxb与321yxy在点1, 1相切，求常数,a b。解： （1）求两曲线的斜率在2yxaxb上，2,12yx a ya在31yxy上，3223,11yyxy y y2） 求,a b之值：依题意，两曲线在点1, 1相切，21,1,aa又点1, 1在曲线
48、2yxxb上2111,1b b23设yfx单调，且二阶可导， 求dxdy及22d xdy0fx解： （1）11dxdydyfxdx（2）22d xdy=dxddydy1fx=1ddxdx fxdy201fxfxfx3fxfx24设1arctan1xyx，求y解： （1）2111111dxxdyxxx2222(1)1(1)(1)(1)1xxxxxx22212(1)(1)xx12(2)11yx22222121xxxx选做题1 设f可 导 ，s i ns i nyfx且(0)0f，求(0)y解： （1）cossinyffxsincosffxfxfx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -
49、- - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 24 页 - - - - - - - - - - (2) 00cos01,sin00fff（3）0cos00 cos00yffff222cos000fff2设fx有任意阶导数，且2fxf x，求( )nfx解：2fxfx322fxfx fxfx242 32 3,fxfx fxfx1!nnfxn fx3设fx可导且0fx，证明lnfxdfxdxfx解： （1）当( )0f x时1lnlnddfxfxfxdxdxfx（2）当0fx时：lnlnddfxfxdxdxfxfxfxfx（3）综上所述：lnfxdfxdxfx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 24 页 - - - - - - - - - -