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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date第4章-波动方程法叠前深度偏移3第五章 广义屏法叠前深度偏移4.6 广义屏法波动方程叠前深度偏移本节基于波的散射理论，首先从波动方程Green函数解出发，借助Born近似等一系列数学手段，导出广义屏（GS）偏移算子。然后在小角度近似条件下，得到相屏（PS）偏移算子（分步Fourier算子）。为了克服广义屏算子在计算中遇到奇点，特采用Taylor展开方法得到扩展的局部B
2、orn近似的广义屏算子。接着我们对相屏算子和扩展的局部Born近似的广义屏（ELBF）算子在数值上做了脉冲测试，并用于凹陷模型的叠后深度偏移处理和复杂模型叠前深度偏移处理。一概述三维叠前深度偏移广泛地应用于地下复杂地质体成像。对当前工作量较大的三维成像问题一般采用基于射线追踪或有限差分走时计算的Kirchhoff积分方法，但该方法在处理复杂构造（如盐丘或陡倾地层）时总存在困难（Hu & McMechan, 1986）。虽然基于有限差分方法的全方程逆时偏移对存在剧烈横向速度变化的非均匀介质也具有非常好的成像精度，但是，把该方法应用于三维叠前深度偏移需要花费较多的机时和占用巨大的计算机内存容量，这
3、些要求在目前是不太现实的。于是从20世纪80年代后期直至目前，地球物理学家们一直在寻求一种既方便快捷又准确可靠的叠前深度偏移方法。要研究波动方程偏移问题，搞清楚波的传播问题是非常必要和有帮助的。在80年代中后期，Knepp与de Hoop等人为了研究波在随机介质中的传播问题，在地震波场的叠加原理基础上，基于速度场分解、波的散射理论以及波动方程的Green函数解法来求解Helmholtz方程，提出了一种在频率-波数域和频率-空间域（双域）交替进行的波动方程解法。这可以说是屏方法的雏形。20世纪90年代初，Wu R.S.与de Hoop等在屏的雏形理论基础上，通过一系列近似处理手段，发展成了较实用
4、的广义屏算法。这类算法既可用于研究波（声波或弹性波）的传播问题，又可用于地震波场成像。该类方法认为速度场可分解为层内常速背景和层内变速扰动。对背景场相当于解常速的声波方程，可通过相移实现；对变速扰动，可认为这种非均匀性相当于散射源（二次源），入射波场作用于这些散射源上，由此产生散射波场。一般假设波场延拓层厚度较小，在薄板近似条件下，对散射场计算式的积分核采用不同的近似方法，如Born近似、De Wolf近似或Rytov近似等等，可以得到不同的散射波场延拓式。随后在此基础上，Wu R.S.和Huang L.J.等人把该类方法发展成了广义屏方法、相屏方法以及局部Born近似的屏方法和局部Rytov
5、近似的屏方法。接着他们针对上述方法的一些不足之处做了进一步的扩展和改进，提出了一系列新的屏算子，如扩展的局部Born近似和Rytov近似的屏方法、拟线性局部Born近似的屏方法，等等。复杂模型及实际地震资料试验证明：这些算子能较准确地描述地震波在随机介质中的传播特征（入射、反射、散射和透射等等），并在波动方程偏移成像应用中具有较好的效果。近年来，西方许多石油公司对该类算法产生了浓厚的兴趣，并逐步投向生产。 本节基于这类屏方法的思路，首先简要介绍各种广义屏算子的基本原理。为了验证相屏算子和扩展的局部Born近似的广义屏算子，我们进行了常速和变速介质中的脉冲响应试算，然后把它们应用于深度偏移成像中
6、，进行了凹陷模型爆炸反射记录的叠后深度偏移试验和对Marmousi模型炮记录的叠前深度偏移试验。结果表明：相屏算子在速度场中等程度横向变化的情况下，能较准确地描述地震波场的传播过程，对较复杂的地质构造具有较好的成像效果，且该算子具有稳定、高效的优点。扩展的局部Born近似的广义屏算子是条件稳定的。它一般要求深度延拓步长要小，且步长与频率呈反比变化，所以最好采用变步长延拓方式。最后是结论与讨论部分。二广义屏偏移方法的基本原理声波方程的Helmholtz形式为： （4-135）式中，为频率-空间域波场，为水平坐标分量。且，为圆频率，为介质速度场。假定为背景速度，它在层内是一常数。从而（4-135）
7、式可写成： （4-136）若定义， （4-137）则（4-136）式可表示为： （4-138）式中，等号右边为速度扰动引起的散射源。按照地震波场的叠加原理，如果把总的波场认为是入射波场和散射波场的和，则有： （4-139）对于背景介质中的波场满足方程： （4-140）由于层内背景速度为常数，故可由相移法求解，对正向传播的波场有： （4-141）式中，。把（4-139）式、（4-140）式代入（4-138）式得到散射场方程： （4-142）（4-142）式右端项表示由于总场作用于介质后，由介质的非均匀性引起的散射源（也称为二次源）。方程（4-142）可以用Green函数法求解。因而有： （4-1
8、43）利用Green公式： （4-144）这里取： ，并把（4-142）式和（4-143）式代入（4-144）式有： （4-145）（4-145）式进而写成： （4-146）为了简化，对于无限均匀介质，对无穷远边界，（4-146）式的右端积分为零。因此： （4-147）（4-147）式即为计算散射场的公式。它可以解释为：单位点源产生的场乘以点散射源的强度，然后在整个源分布范围内积分，可以得到散射场。则总的波场为： （4-148）式（4-148）为屏算子的出发点。在屏近似处理下，如图4-32示，在层形成的薄板中非均匀体产生的波场相当于由薄板中央处的一个屏产生。对方程（4-147）采用de Wol
9、f近似，总场写成： 图4-32 广义屏模型示意图 （4-149）式中，为正向散射场，自由空间的Green函数采用其de Wolf近似形式。为了加速散射场的计算，特把（4-149）式中的散射场计算式做局部的Born近似，即用常速介质中的Green函数取代，并做薄板近似和屏近似，有： （4-150）式中，为水平坐标分量， （4-151）把（4-151）式代入（4-150）式可得： （4-152）注意到（4-152）式中的二维积分实际为二维Fourier变换。因此，采用双域技巧（即在频率-波数域和频率-空间域交替计算），（4-152）式可表示为：（4-153）由（4-141）式、（4-149）式及（
10、4-153）式可以得到正向传播的总的波场表达式为： （4-154）式（4-154）中，为关于的二维Fourier变换。且 （4-155）对于反向传播的波场，仅需将（4-154）式中前的符号反向即可。到此我们得到了可用来进行波场延拓的广义屏算子。三广义屏算子的小角度近似及相屏算子当波传播角度与波的主要传播方向（及轴正向）接近时，通常我们对上述广义屏算子做如下的小角度近似： （4-156）则（4-154）式可以写成： （4-157）再利用近似：则（4-157）式进一步表示为： （4-158）因为（4-158）式中的核包含一步相移，所以我们称该算子为相屏算子。若采用近似： （4-159）（4-158
11、）式变为分步Fourier算子： （4-160）四扩展的局部Born近似的广义屏算子如果不做小角度近似，将用Taylor展开，有： （4-161）且： （4-162）把（4-161）式代入（4-154）式，得到 （4-163）进一步化简为： （4-164）（4-164）式即为扩展的局部Born近似的广义屏算子。我们称（4-164）式前后两项分别为扩展的局部Born近似的广义屏算子的相屏项和补偿项。在小角度近似条件下，它又退化为相屏算子（仅保留相屏项）。如果对用连分式展开，并设：，有： （4-165）则（4-164）式中的补偿项(第二项)变为： （4-166）用相移处理可以求解补偿波场，也可把上
12、式变换成微分形式：（4-167）这也是双域表达式，在频率-空间域和频率-波数域交替进行计算。对某一延拓步，扩展的局部Born近似的广义屏算子在速度场横向变化非常剧烈或者频率非常高时，可能不可靠甚至不稳定。这就是说，该算子是条件稳定的，其稳定条件为： （4-168）这里为小的正实数。为了使该算法始终稳定，我们在延拓过程中调整延拓步长，以便满足（4-168）式。实际应用中，一般取0.15。本节利用上面推导出来的相屏算子(4-158)式或（4-160）式，扩展的局部Born近似的广义屏算子（4-164）式，进行了脉冲响应、凹陷模型叠后深度偏移及Marmousi模型叠前深度偏移试验。五单炮叠前深度偏移
13、流程基于共炮点道集的叠前深度偏移是对每一炮分别成像，然后把所有炮的成像值在相应的空间位置叠加，最后得到整个成像剖面。对某一炮，在每一步深度延拓过程中，先分别对震源波场和当前炮记录波场按各自的延拓公式计算，然后依据两种延拓波场按成像公式求取成像值。接着以延拓后的波场作为下一层延拓的初值，进行同样的延拓和成像计算。下面这个流程图（图4-33）直观地反映了广义屏算法单炮叠前深度偏移成像的过程。六数值试算下面从脉冲响应、凹陷模型叠后深度偏移处理和Marmousi模型叠前深度偏移处理来验证相屏算子和扩展的局部Born近似的广义屏算子的性能。1脉冲响应测试首先，对比相屏深度偏移算子在常速介质和不同速度扰动
14、程度的介质（取不同值）中的脉冲响应曲线。脉冲放置在，处。以下各图中的虚线表示理想的脉冲响应曲线，为一半圆，实线为实际介质中的脉冲响应曲线。所有情况的介质速度都为，当参考速度分别取、和时，对应不同的脉冲响应曲线，它们可以反映算子适应横向速度变化的能力。深度延拓步长为12m。如图4-34a所示，当时，参考速度与实际速度相同，即为均匀常速介质，此时相屏算子的脉冲响应曲线与理论曲线完全重合。这正如我们所料，当速度不存在扰动时，相屏深度偏移算子的最大偏移倾角可达到。然而，当速度存在微小扰动，如我们取时，其脉冲响应曲线如图4-34b所示。可见在传播角度较小（约）时，实际脉冲响应曲线与理论曲线吻合得较好，随
15、着角度的增大，二者开始偏离。如速度扰动进一步增强，当时，算子的脉冲响应曲线如图4-34c所示，可见最大偏移倾角进一步减小。当时，速度的扰动该炮叠前记录当前炮震源模拟记录按叠前成像条件，由延拓后的频率域上、下行波场相关求和，得到深度域的成像值层内相屏项时移处理层内相屏项时移处理和FFT变换到频率-波数域对和IFFT变换到频率-空间域求和，得到层内补偿项时移处理层内补偿项时移处理和FFT变换到频率-波数域FFT变换到频率域FFT变换到频率域层内相屏项相移处理层内相屏项相移处理层内补偿项相移处理层内补偿项相移处理对和IFFT变换到频率-空间域求和，得到 图4-33 广义屏法叠前深度偏移单炮成像流程示
16、意图程度非常强，这时的脉冲响应曲线（见图4-34d）的两翼与理想的半圆就存在较大的偏差了。图4-35a为扩展的局部Born近似的广义屏算子的常速脉冲响应，它和理论曲线重合。在计算变速脉冲响应时，由于该算法在强横向速度变化的情况下计算不稳定，故采取减小延拓步长和减少对高频成分计算的办法，得到了深度延拓步长为1.25m的变速脉冲响应，如图4-35b所示，单从曲线形状上看，扩展的局部Born近似的广义屏算子精度要高于同等条件下 的相屏算子，但由于计算上的不稳定，该脉冲响应底部存在强的阴影。从以上各种速度扰动情况下的脉冲响应曲线可以看出：广义屏深度偏移算子能适应较强的速度场的横向变化，而且脉冲波形圆滑
17、，不存在频散，但计算时需要处理非稳定情况。2凹陷模型叠后深度偏移试验如果我们仅用上行波算子进行爆炸反射记录波场的深度外推，并用叠后偏移成像条件求取成像值，则可实现叠后自激自收数据的偏移成像。我们采用的爆炸反射记录的速度模型如图4-4所示（见第三节），该模型为三层，速度分别为：、和。第一个速度界面中间呈凹陷型。速度场维数为250100，道间距为15.0m，深度采样间隔为12.0m。采用波动方程有限差分法正演模拟，得到如图4-36所示的合成爆炸反射记录。共250道，每道时间样点为1000，时间采样率为1ms。从图中可见：由于第二层中的速度场存在剧烈的横向变化，故自激自收剖面中对应第二层界面的同相轴
18、产生明显的畸变。首先采用的深度延拓步长是12.0m，图4-37为该延拓步长下的相屏法叠后深度偏移结果，成像效果非常好，达到了预期的目的。在该延拓步长下，采用扩展的局部Born近似的广义屏算法进行叠后深度偏移，由于计算不收敛，得到的结果不理想。通过减小深度延拓步长，可以改善成像效果。图4-38为深度延拓步长6.0m时的叠后深度偏移剖面，图4-39为深度延拓步长1.5m时的叠后深度偏移剖面，可见随延拓步长递减，扩展的局部Born近似的广义屏叠后深度偏移的效果变得越来越好。但从构造形态和振幅角度上看，该偏移算法还有待于进一步改进。3Marmousi模型叠前深度偏移试验为了检验该广义屏叠前深度偏移算法
19、，我们采用了SEG/EAGE用于检验叠前深度偏移成像方法性能的Marmousi模型。模型速度场如图4-7所示（见第三节），维数为497750, 速度场横向间距为12.5m，最大深度为3000.0m，深度采样间隔为4.0m。该速度场的横向变化非常剧烈，因而用于叠前深度偏移方法试验非常实用有效。该模型的正演模拟炮记录共有240炮，每炮96道接收，为右边放炮方式，最小炮检距为200m，最大炮检距为2575m，道间距为25m，道长为750，时间采样率为4ms。我们选取第120炮进行单炮叠前深度偏移成像，为了考虑到偏移孔径问题，特依据观测方式特点，左右两边分别加零道数5道和75道，图4-40显示了加零道
20、后的第120炮记录波场，它作为该炮延拓成像的输入。当然，加零道只是一种较简单实用的处理，更合理的办法是按炮检互易的原理，将原单边放炮记录抽成双边放炮记录，然后再延拓成像。波场延拓之前，对炮记录做了频率带通滤波处理，滤波窗为3-8-60-70Hz。第120炮的相屏叠前深度偏移成像剖面如图4-41所示。可见单炮偏移能够把该炮覆盖区域的地质层位的像成出来，只是一些同相轴能量较弱。所以，我们通过多炮偏移结果的叠加处理可以实现有效信号的同相加强，提高信噪比，从而得到整个地下的成像剖面。相屏多炮偏移剖面如图4-42所示。它是在选取了合适的震源子波，在延拓成像前做了频率滤波（滤波范围为：0-8-70-80H
21、z）后得到的成像剖面。从偏移结果可以看出：该方法对Marmousi模型的叠前深度偏移成像效果比较好。浅层的三套断层在成像剖面上各自的形态得到了清晰的展示，断层面整齐明晰；中部的背斜构造也准确地反映出来了；大家最感兴趣的是深层2500m附近嵌在底部中间背斜地层中的小低速体，在成像剖面中具有清晰的形态和边界。如果采用扩展的局部Born近似的广义屏叠前深度偏移算法，若采用延拓步长为4m，得到的第120炮单炮偏移和整个模型偏移剖面如图4-43和图4-44所示。从图中发现在速度场变化剧烈的地方，成像波形有畸变。通过把延拓步长减小到2m，参与计算的高频上限由70Hz变为60Hz，得到的第120炮单炮偏移和
22、整个模型偏移剖面如图4-45和图4-46所示。可见扩展的局部Born近似的广义屏叠前深度偏移算法的稳定性受速度场、最高频率成分和延拓步长的控制，在满足约束条件的情况下，成像效果还是比较好的。七结论与讨论基于波的散射理论，从波动方程Green函数解法出发，借助Born近似等一系列数学手段，导出了广义屏偏移算子。在小角度近似下可得到相屏偏移算子（分步Fourier算子）。为了克服广义屏算子在计算中遇到的奇点，特采用Taylor展开方法得到扩展的局部Born近似的广义屏算子。通过原理分析和数值试验，我们认为，广义屏算法是研究波的传播和成像问题的一种较有潜力和发展前景的方法。尽管相屏算子是广义屏算子的
23、小角度近似，但从稳定性和计算效率角度看，该偏移算子可用于复杂地质体叠前深度偏移的初期处理。为了避开一般广义屏算法中的奇点，可采用扩展的局部Born近似的广义屏算法。即使这样，扩展的局部Born近似的广义屏算法也是条件稳定的，在速度场变化非常剧烈的区域，该算法得到的成像值是不可靠的。欲进一步完善该算法，可以采用多参考速度（Huang, 1999）或加窗的广义屏算法（Wu R.S., 1997），或对扩展的局部Born近似的广义屏算子的补偿项采用频率-空间域的有限差分处理，而且从稳定性考虑，最好是隐式的有限差分处理。总之，广义屏偏移算法仍然需要不断完善。 (a) 常速PS法 () (b) 变速PS
24、法() (c) 变速PS法() (d) 变速PS法()图4-34 相屏算子的脉冲响应(a) 常速ELBF法() (b) 变速ELBF法 ()图4-35 扩展的局部Born近似的广义屏算子的脉冲响应图4-36 凹陷模型的合成爆炸反射记录 图4-37 凹陷模型的PS法叠后深度偏移结果图4-38 凹陷模型的ELBF法叠后偏移剖面(dz=6m) 图4-39 凹陷模型的ELBF法叠后偏移剖面(dz=1.5m)图4-40 Marmousi模型第120炮记录 图4-41 Marmousi模型第120炮PS法偏移剖面图4-42 Marmousi模型PS法偏移剖面图4-43 Marmousi第120炮ELBF法偏移剖面(dz=4m) 图5-44 Marmousi ELBF法偏移剖面(dz=4m) 图5-45 Marmousi第120炮ELBF法偏移剖面(dz=2m) 图5-46 Marmousi ELBF法偏移剖面(dz=2m)-