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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date第4章-波动方程法叠前深度偏移244.4 分步Fourier法波动方程叠前深度偏移在相移偏移方法的基础上，把速度场分解为常速背景和变速扰动两部分：对常速背景在频率-波数域采用相移处理；对层内的变速扰动，在频率-空间域采用时移校正（第二次相移）。该偏移方法称为分步Fourier（SSF）方法。该算法在数值上通过了脉冲响应测试、凹陷模型叠后深度偏移和Marmousi模型叠
2、前深度偏移验证，说明它在较复杂地质条件下是一种稳定快速的叠前深度偏移算法，并可用做偏移速度分析。一概述 偏移方法由于波场延拓不同而相互区别。双程波波动方程有限差分法逆时偏移可以适应速度场的纵横向的任意变化，且不存在偏移倾角限制。但从经济可行性上考虑，人们一般采用单程波方程的有限差分法偏移。这种用于波场延拓的单程波方程是舍弃了高阶项的近似方程，方程的阶数、空间采样率以及差分计算是采用显格式还是隐格式，都会直接影响计算的精度和稳定性。另外有限差分计算还存在频散影响。而相移法偏移（Stolt, 1978; Gazdag, 1978）是一种典型的Fourier偏移方法，它在频率-波数域求解微分方程，计
3、算是精确和绝对稳定的，由于借助于快速Fourier变换，该算法的运行效率非常高。然而，频率-波数域的相移处理是基于层内常速假设的，不能正确处理横向速度有变化的地震波成像问题。Gazdag & Sguazzero（1984）提出用“相移加内插（PSPI）”来克服相移法这一困难。即在每一层选取多个常速度作为参考速度，每个参考速度按相移法求取延拓波场，然后把各个延拓波场依据实际速度与参考速度的关系函数做内插，得到实际的延拓波场值。这种偏移方法同样是绝对稳定的，但其计算量随所取常速度的个数呈倍数关系增加，且也仅能适应速度场较缓慢的横向变化。为了利用Fourier偏移方法的优势，进一步提高偏移方法适应速
4、度横向变化的能力，Stoffa（1990）在相移偏移的基础上，提出一种新的深度偏移方法，即分步Fourier法。该方法基于速度场分裂的思想，把整个速度场视为常速背景和变速扰动的叠加。在逐层波场延拓时，针对常速背景采用相移处理，即在频率-波数域实现，针对层内的变速扰动，在频率-空间域采用时移校正。该方法继承了相移法的优点，同时也能适应速度场的中等程度的横向变化。且与相移法深度偏移比较，每层在计算上仅多出一次反Fourier变换和一次时移校正，在计算量上比“相移加内插”法要节省得多。本节各部分依次从方法原理、相对误差分析、实现流程和数值试算等方面对分步Fourier叠前深度偏移方法加以介绍，最后得
5、出相应的结论。二分步Fourier偏移方法的基本原理恒密度介质中的压缩波的传播特征可用如下方程描述： （4-65）其中，代表压力值，是介质速度。将（4-65）式变换到频率域，得 （4-66）其中，为圆频率，为波场的频率域形式： （4-67）设为介质慢度，若将慢度场分解为两部分： （4-68）其中，为背景慢度场分量，它在层内是一个常数。为层内扰动慢度分量。定义为参考慢度。将（4-68）式代入（4-66）式得： （4-69）其中： （4-70）通过引进一个源项，（4-66）式的齐次方程就转换成了（4-69）式的非齐次方程。依据地震波场的叠加原理，方程（4-69）的解可以表示成： （4-71）其中，
6、前者是背景慢度引起的波场，它为整个波场的主值部分；后者为波场的扰动项。由于为（4-69）式所对应的齐次方程的解，故满足： （4-72）由相移法可知，（4-72）式的解可写成： （4-73）而是方程（4-69）的解，它是由层内扰动源引起的。基于波动方程的格林函数解法，有频率-波数域非均匀介质中的Kichhoff积分表达式（Berkhout, 1985）： （4-74）其中，（4-73）和（4-74）式中“”分别对应下行波正向延拓方程和上行波反向延拓方程。假设无多次波等干涉影响，对下行波波场沿时间传播方向正向延拓（深度向下延拓）的方程可以表示为： （4-75）其中，第一项代表在常慢度背景介质中的下
7、行波波场深度延拓式子。第二项代表当前延拓步内二次源引起的附加波场分量。它实际是关于二次源的体积分形式，其格林函数为第一类Hankel函数。以上是在原介质条件下的准确推导。为便于求解，我们开始对慢度场做一些限定。由于大多数情况下，慢度扰动相对于2倍背景慢度要小得多，即介质慢度场满足如下的界定条件： （4-76）这时，（4-70）式中关于慢度扰动的二阶项可以忽略不记。即有： （4-77）再把（4-77）式代入（4-75）式，转入频率-空间域可得到： （4-78）式中： （4-79）（4-78）式中的积分可近似写成求和形式： （4-80）把（4-80）式代入（4-78）式加以整理，并由可得： （4-
8、81）由（4-73）和（4-81）式，我们得到下行波深度外推公式： （4-82）在（4-82）式中，前者为对应背景慢度的相移处理，它在频率-波数域实现；后者为针对慢度扰动的时移处理（也叫做第二次相移），它在频率-空间域实现。同理可得到上行波深度外推公式： （4-83）与下行波深度外推公式结合，依据成像条件，即可进行波动方程叠前深度偏移处理。由于我们采用的成像公式与第三节中频率-空间域有限差分法叠前深度偏移的成像公式完全相同，这里就不再赘述。三算子的相对误差分析频率-空间域下行波正向传播方程可以表示为： （4-84）其中，平方根算子定义为： （4-85）这里为圆频率，为介质慢度。由（4-84）式
9、可得到如下波场延拓式子： （4-86）在分步Fourier传播算子中，平方根算子由下式近似表示： （4-87）式中，为参考慢度，是背景介质的波数。为了评价上面平方根算子近似处理的误差，特假设介质为均匀常速介质。若将（4-87）式转入波数域，并令 （4-88）则有： （4-89）式中，波数，且为其横向分量（水平分量）。（4-85）式同样可表示为： （4-90）对以轴呈角的平面波，有： （4-91）则（4-90）式成为： （4-92）且（4-89）式成为： （4-93）对于单程波的传播和偏移问题，角度满足： 因此若，总有。则相对误差可定义为： （4-94）则有： （4-95）（4-95）式表明，当
10、或时，。这意味着传播角度较小或横向速度变化非常小时，所导出的分步Fourier算子是较精确的。该算子关于传播角度及其相对误差的曲线如图 4-14所示。从图中我们可以看出，随着传播角度的增大，相对误差也随之增大。值越接近于1，即横向速度变化越小，算子的相对误差也就越小。若以为允许的相对误差限，分步Fourier算子的最大偏移倾角平均约为。另外，高波数成分（对应陡倾地层）除相位上误差较大外，振幅也会存在严重的失真。综上可见，分步Fourier偏移方法虽然具备一定的处理速度横向变化的能力，但在复杂地质体成像问题上仍然有局限。图4-14 分步Fourier算子传播角度与相对误差关系曲线图四单炮叠前深度
11、偏移流程基于共炮集的叠前深度偏移是对每一炮分别成像，然后把所有炮的成像值在相应的空间位置叠加，最后得到整个地下的成像剖面。对某一炮，在每一步深度延拓过程中，先分别对震源模拟记录和当前炮集记录按各自的延拓公式计算，然后依据两种延拓波场按成像公式求取成像值。接着以延拓后的输出波场作为下一层延拓的输入初值，进行同样的延拓和成像计算。下面这个流程图（图4-15）直观地反映了单炮成像的过程。五数值试算下面分别从脉冲响应、凹陷模型叠后深度偏移处理和Marmousi模型叠前深度偏移处理来验证分步Fourier深度偏移算子的性能。1脉冲响应测试首先，对比分步Fourier深度偏移算子在常速介质和不同速度扰动程
12、度的介质（）中的脉冲响应曲线。脉冲放置在，处。以下各图中虚线表示理想的脉冲响应曲线，为一半圆，实线为实际介质中的脉冲响应曲线。所有情况的介质速度都为，当参考速度分别取、和时，对应不同的脉冲响应曲线，它们可以反映算子适应横向速度变化的能力。如图 4-16a所示，当时，参考速度与实际速度相同，即为均匀常速介质，此时的脉冲响应曲线与理论曲线完全重合。这正如我们所料，当速度不存在扰动时，分步Fourier深度偏移算子的最大偏移倾角可达。然而，当速度存在微小扰动，如我们取时，其脉冲响应曲线如图4-16b所示。可见在传播角度较小（约）时，实际脉冲响应曲该炮叠前记录FFT变换到频率域当前炮震源模拟记录FFT
13、变换到频率域按叠前成像条件，由延拓后的频率域上下波场相关求和，得到深度域的成像值层内下行波相移处理层内下行波时移处理层内上行波相移处理层内上行波时移处理FFT变换到频率-波数域FFT变换到频率-波数域IFFT变换到频率-空间域IFFT变换到频率-空间域图4-15 分步Fourier法单炮叠前深度偏移流程图线与理论曲线吻合得较好，随着传播角度的增大，二者开始偏离。如速度扰动进一步增强，当时，算子的脉冲响应曲线如图 4-16c所示，可见最大偏移倾角进一步减小。当时，速度的扰动程度非常强，这时的脉冲响应曲线（如图4-16d所示）的两翼与理想的半圆就存在较大的偏差了。从以上各种速度扰动情况下的脉冲响应
14、曲线可以看出：分步Fourier深度偏移算子在速度场的横向变化不是非常剧烈时是较精确的，而且脉冲波形圆滑，不存在频散。2凹陷模型叠后深度偏移试验如果我们仅用上行波算子进行爆炸反射记录波场的深度外推，并用叠后偏移成像条件求取成像值，则可实现叠后自激自收数据的偏移成像。文中采用的爆炸反射记录的速度模型如图4-4所示（见第三节），该模型为三层，速度分别为：、和。第一个速度界面中间呈凹陷型。速度场维数为250100，道间距为15.0m, 深度采样间隔为12.0m。采用波动方程有限差分法正演模拟，得到如图4-17所示的合成爆炸反射记录。共250道，每道时间样点为1000，时间采样率为1ms。从图中可见，
15、由于第二层中速度场存在剧烈的横向变化，故自激自收剖面中对应第二层界面的同相轴产生明显的畸变。图4-18为分步Fourier法叠后深度偏移结果。偏移剖面上断点绕射波收敛得非常好，且各层界面形态和位置与速度模型完全吻合，叠后深度偏移达到了预期的成像效果。3Marmousi模型叠前深度偏移试验为了检验该分步Fourier叠前深度偏移算法，我们采用了美国SEG/EAGE用于检验叠前深度偏移成像方法性能的Marmousi模型。模型速度场如图4-7所示（见第三节），维数为497750，速度场横向间距为12.5m，最大深度为3000.0m，深度采样间隔为4.0m。该速度场的横向变化非常剧烈，因而用于叠前深度
16、偏移方法试验非常实用有效。该模型的正演模拟炮记录由SEG/EAGE的Marmousi模型数据光盘提供。共有240炮，每炮96道接收，为右边放炮方式，最小炮检距为200m，最大炮检距为2575m，道间距为25m，道长为750，时间采样率为4ms。我们选取第120炮进行单炮叠前深度偏移成像，为了考虑到偏移孔径问题，特依据观测方式特点，左右两边分别加零道数5道和75道，图4-19显示了加零道后的第120炮记录波场，它作为该炮延拓成像的输入。当然，加零道只是一种较简单实用的处理，更合理的办法是按炮检互易的原理，将原单边放炮记录抽成双边放炮记录，然后再延拓成像。波场延拓之前，对炮记录做了频率带通滤波处理
17、，滤波窗为4-8-60-70Hz。第120炮的叠前深度偏移成像剖面如图4-20所示。可见单炮偏移能够把该炮覆盖区域的地质层位的像成出来，只是一些同相轴能量较弱。所以，我们通过多炮偏移结果的叠加处理可以实现有效信号的同相加强，提高信噪比，从而得到整个地下的成像剖面。多炮偏移剖面如图4-21和图4-22所示。因为在模拟震源波场时，一般采用在震源位置处放置一地震子波的办法，而子波类型很多，特征参数（样点数、主频、相位及振幅特性等等）也可以各不相同。所以，地震子波的选择也会对成像效果产生直接的影响。原则上讲，模拟震源的子波应尽量逼近实际放炮时激发产生的震源子波。这可在偏移前做一些子波提取工作。本节对M
18、armousi正演模拟炮集进行偏移时，选用的子波一种为常见的雷克子波，另一种为从正演炮记录的直达波中选出，然后对频带特性加以调整得到的。在延拓成像前，我们做了频率滤波，滤波范围为：0-8-70-80。由两种不同的震源子波可得到两种不同的成像剖面。前一子波对应的叠前深度偏移结果如图4-21所示，后一子波对应的叠前深度偏移结果如图4-22 所示。从分辨率、信噪比和不同地质层位同相轴的强弱对比上很容易看出：后者对应的叠前深度偏移效果明显好于前者。可以看到：该方法对Marmousi模型的叠前深度偏移成像效果很好。浅层的三套断层在成像剖面上各自的形态得到了清晰的展示，断层面整齐明晰；中部的背斜构造也准确
19、地反映出来了；大家最感兴趣的是深层2500m附近嵌在底部中间背斜地层中的小低速体，在成像剖面中具有清晰的形态和边界。六结论与讨论分步Fourier偏移算法基于速度场分裂思想，在常速背景下做相移处理，针对变速扰动做时移校正（相当于第二次相移）。这样它既可对付适度的速度横向变化，又保证了非常高的计算效率，是目前最快的波动方程叠前深度偏移算法。该方法除了具有计算效率高的特点，而且还是绝对稳定的。由于它忽略了高阶的速度扰动，在高波数成分（陡倾角）成像时相位误差大，振幅也存在问题，所以，对复杂地质体很难精确成像，但它可以用作前期的叠前深度偏移处理或速度分析。 (a) 常速SSF法() (b) 变速SSF
20、法() (c) 变速SSF法() (d) 变速SSF法()图4-16 分步Fourier算子的脉冲响应图4-17 凹陷模型的合成爆炸反射记录 图4-18 SSF法的凹陷模型叠后深度偏移结果图4-19 Marmousi模型第120炮记录 图4-20 Marmousi模型第120炮SSF偏移剖面图4-21 Marmousi模型SSF偏移剖面(雷克子波) 图4-22 Marmousi模型SSF偏移剖面(提取子波)4.5 Fourier有限差分法波动方程叠前深度偏移本节从速度场分解的思想出发，由单程波方程频散关系与相移偏移频散关系的差异研究，得到对相移偏移算法加以校正和补偿的Fourier有限差分（F
21、FD）偏移算法。该算法兼具有限差分算法和相移算法的优点。本节首先推导该偏移算子，接着介绍实现方法，并进行了相对误差分析，然后通过脉冲响应、凹陷模型叠后深度偏移和Marmousi模型叠前深度偏移试算从数值上验证了Fourier有限差分偏移方法，最后得出了结论。一概述相移法偏移（Gazdag, 1978）在对速度仅随深度变化的地层成像时，既高效又精确。相移法的波场延拓算子通过Fourier域的乘法运算得以实现，因而，从数学的角度看，该算子是很简单的。由于应用快速Fourier变换，所以该算法计算效率非常高；加之波动方程中的二阶导数在频率-波数域有其准确形式，整个算子推导过程中不存在近似处理，因此该
22、算子具有较高的精度，原则上可处理倾角高达的陡倾地层。但是，频率-波数域偏移方法在处理速度场的横向变化时存在明显的不足。为了克服这一困难，Gazdag & Sguazzero（1984）提出了“相移加插值”偏移方法。他们首先在每层内用多个不同的常速度作为参考速度，而每个参考速度按相移法延拓，得到各自的延拓结果；然后依据实际速度与这些参考速度的关系函数，进行插值计算，得到实际的延拓波场。应当说这种方法仅算得上一种数学上的处理，它本身没有太多的物理含义。实践证明该方法能处理一些横向变速不太剧烈的地层成像问题。第四节讲述的分步Fourier偏移方法（Stoffa, 1990）在处理速度横向变化的能力和
23、计算效率等方面较之“相移加插值”方法都有明显优势。但对复杂地质体（如超覆、逆掩断层、盐丘和岩脉等），其内部速度场横向变化非常剧烈，由于分步Fourier方法没有考虑速度场二阶以上的扰动，因此，它很难使复杂地质体正确成像。然而，基于单程波方程的有限差分法偏移能够适应速度的任意变化，看来这方面的优势正好弥补了上述各种以相移处理为基础的偏移方法的不足。但是，单程波差分方程是由双程波方程分裂并适当舍弃高阶项近似得到的，因此单程波算子存在最大偏移倾角限制，通常对陡倾地层的成像效果不理想。例如标准的方程和方程存在严重的倾角限制，但单程波方程的倾角特性是可以通过对基于频散关系的平方根做高阶近似处理加以改善（
24、Clearbout, 1985）。马在田教授（1982）基于连分式展开，首次提出高阶方程可以分解为一系列形式上与方程相似的方程组成的方程组，这样用低阶方程的差分计算可求解三阶以上的高阶方程，即高阶方程的分裂算法。这一发现大大提高了波动方程有限差分法偏移的实用性。随后，Halpern & Trefethen（1988）在此基础上又做了进一步的改善和推广。相反，逆时偏移是基于双程波方程的，它不存在倾角限制，但它也具有一些难以克服的缺点，如计算效率非常低，对计算机内存要求太高，等等。基于对相移处理和差分处理方法的优缺点的认识和理解，Ristow & Ruhi（1994）提出的Fourier有限差分法
25、偏移融合了上述两种方法的优点。该方法是在分步Fourier偏移方法的基础上发展起来的。在分步Fourier法偏移中，为了便于处理，在波场延拓算子的推导过程中丢弃了二阶以上的速度扰动项。Fourier有限差分法偏移考虑了速度场的二阶扰动项，它在分步Fourier算子的基础上，增加了关于二阶扰动处理的补偿项，这一项是通过频率-空间域的有限差分计算得到的。各种数值试算表明：该方法对复杂地质体具有相当好的成像效果。二Fourier有限差分偏移方法的基本原理频率-波数域正向延拓的下行波方程为： （4-96）式中为波场值，为波数的横向分量（水平分量）。为介质速度。如果层内速度为常数（），则按相移法有： （
26、4-97）但实际速度是纵横向变化的，因此（4-97）式中的平方根存在误差： （4-98）我们称为宏观速度场，为常速背景。若假定在层内有： ，对（4-98）式两根式进行泰勒展开可得： （4-99）其中， ， 若再令 （4-100）由以上各式对（4-99）式进行整理，并保留到得： （4-101）下面开始对（4-101）式做各阶近似。1零阶近似：如果仅取泰勒级数的第一项，则得到： （4-102）这对应前面讲过的分步Fourier偏移处理方法（Stoffa, 1990）。2一阶近似：如果取泰勒级数的前二项，则有： （4-103）3二阶近似：如果取泰勒级数的前三项，我们得到二阶近似： （4-104）下面
27、把有关的项写成常见的微分形式： （4-105）对（4-105）做泰勒展开并与（4-104）式中相应项比较可得到： （4-106）此时（4-104）式变为： （4-107）4三阶近似：若保留泰勒级数的前四项，经过类似二阶近似的推导，可得到： （4-108）式中， （4-109）5四阶近似：若保留泰勒级数的前五项，且要求（4-101）式中有关的项写成如下形式： （4-110）经过类似处理可得到： （4-111）其中系数满足下面方程组： （4-112）由及Fourier变换对： （4-113）则（4-111）式的最终形式为： （4-114）大括号内我们甚至可得到更高阶的项。（4-96）式、（4-98
28、）式和（4-114）式相结合，既可得到下行波的波场延拓公式。当然，（4-114）式第三项考虑的微分项数越多，算子的精度越高，但计算量也明显增加。所以，为了简化计算，一般仅取一个微分项。如以二维情况为例，下行波外推公式可写成： （4-115）其中， （4-116）对上行波，只把的符号变负即可。针对速度场的不同变化情况，特对（4-115）式加以讨论：1若为均匀层状介质，速度场无横向变化，（4-115）式中第二、三项自动消失，只做简单的相移处理即可。 （4-117）2若介质情况非常复杂，横向速度变化非常剧烈，即有：，假定，则相移项趋近于，和时移项中的相抵消，剩下纯粹的有限差分项： （4-118）上式
29、正是我们熟悉的方程（Clearbout, 1985）。这说明在横向速度变化剧烈的情况下，Fourier有限差分偏移算子自动还原为纯粹的有限差分偏移，因此，该算子原则上可适应速度场的任意变化。3对大多数介质情况，存在：，此时式（4-115）的三项都参与运算，即每一延拓层内先进行针对背景场的相移处理，再针扰动场做时移校正，最后用有限差分项做进一步的校正。因此，人们又称Fourier有限差分偏移为混合偏移。可见，为了考虑高阶速度扰动的影响，Fourier有限差分法引入了频率-空间域的有限差分项作为对分步Fourier方法的补偿，以适当增加计算工作量为代价，提高了偏移算子的成像精度。这样，该方法把相移
30、法和有限差分法各自的优点相结合，成为了一种有效的复杂地质体成像手段。三上、下行波外推的具体计算公式从（4-115）式看出，整个外推过程由三步组成：频率-波数域的相移处理、频率-空间域的时移处理（第二次相移）和有限差分补偿项计算。1相移处理 （4-119）其中， （4-120）2频率-空间域时移处理 （4-121）其中，3频率-空间域有限差分处理取（4-115）式中的微分项： （4-122）展开（4-122）式整理得到： （4-123）式中， （4-124）设，取 （4-125） （4-126）其中， （4-127）且算子：把（4-125）、（4-126）及（4-127）式代入（4-123）式，
31、整理得到： （4-128）这里算子：，并且有： ， （4-129）（4-128）式即为Fourier有限差分算子中补偿项的隐式差分计算公式。最后值得一提的是，以上具体计算公式（4-119）、（4-121）及（4-128）式对应于下行波的深度外推，对于上行波的外推公式，仅需将（4-119）式、（4-121）式和（4-128）式中前的符号变为相反即可。四算子的相对误差分析与第四节的相对误差分析方法类似，由（4-115）式知：（4-130）这里，若设为传播角度，则有： （4-131）假定介质为常速，在频率-波数域中，容易得到我们推导的算子满足： （4-132）且， 我们首先计算（4-132）式这种近
32、似引起的误差： （4-133）然后定义算子的相对误差为： （4-134）由（4-133）式和（4-134）式即可评价Fourier有限差分偏移算子的精度。 (a) 分步Fourier算子 (b) Fourier有限差分算子图4-23 偏移算子最大偏移倾角与相对误差关系曲线图为了直观地了解Fourier有限差分偏移算子的相对误差情况，特取不同的值，按求得该算子的传播角度与相对误差的关系曲线。如图4-23所示，图4-23a为分步Fourier算子的传播角度与相对误差关系曲线；图4-23b为Fourier有限差分算子的传播角度与相对误差的关系曲线。从图中可以得出如下结论：分步Fourier算子与Fo
33、urier有限差分算子的相对误差均随着传播倾角的增大而增大；若以为相对误差限，前者的最大偏移倾角平均为到，而后者的最大偏移倾角可达到左右；在同等误差限制下，Fourier有限差分偏移算子在对速度横向变化的适应性上要好于分步Fourier算子。五有限差分补偿项系数的优化处理我们注意到在求解（4-105）式和（4-110）式中的系数时，采用的是泰勒展开逼近。事实上，这并非最好的逼近方式，我们可以用优化手段求得方程的系数。本文注意到算子的相对误差与存在联系，故采用对不同的进行扫描，以同等偏移倾角能力，相对误差最小为原则，得到最优系数。偏移过程中针对不同的介质条件对差分补偿项采用最优系数，这样可以进一
34、步提高Fourier有限差分算子的偏移精度。如图4-24 所示，其中图4-24a为常规处理方法得到的传播角度与相对误差的关系曲线；图4-24b为优化系数曲线；图4-24c为优化系数后的传播角度与相对误差的关系曲线。可见在相对误差限为时，最大偏移倾角由原来的提高到左右。图4-24d为不同系数对应的有限差分算子的速度扰动程度与最大偏移倾角的关系曲线。时，微分项为标准的方程；时为标准的方程；时对应常规Fourier有限差分算子；最上面的曲线对应优化系数的Fourier有限差分算子。可见它们的偏移性能是递增的。图4-24 Fourier有限差分算子的微分项系数与相对误差和最大偏移倾角的关系曲线(a)
35、常规处理方法得到的传播角度与相对误差的关系曲线； (b) 优化系数曲线； (c) 优化系数后的传播角度与相对误差的关系曲线； (d) 不同系数对应的有限差分算子的速度扰动程度与最大偏移倾角的关系曲线六单炮叠前深度偏移流程Fourier有限差分叠前深度偏移单炮成像流程如图4-25所示。七数值试算下面分别从脉冲响应、凹陷模型叠后深度偏移处理和Marmousi模型叠前成像处理来验证Fourier有限差分深度偏移算子的性能。1脉冲响应测试首先，对比Fourier有限差分深度偏移算子在常速介质和不同速度扰动程度的介质（）中的脉冲响应曲线。脉冲放置在，处。以下各图中的虚线表示理想的脉冲响应曲线，为一半圆，
36、实线为实际介质中的脉冲响应曲线。所有情况的介质速度都为，当参考速度分别取值为、按叠前成像条件，由延拓后的频率域上下波场相关求和 ，得到深度的成像值进行有限差分项补偿进行有限差分项补偿该炮叠前记录FFT变换到频率域当前炮震源模拟记录FFT变换到频率域层内下行波相移处理层内下行波时移处理层内上行波相移处理层内上行波时移处理FFT变换到频率-波数域FFT变换到频率-波数域IFFT变换到频率-空间域IFFT变换到频率-空间域图4-25 Fourier有限差分法叠前深度偏移单炮成像流程示意图和时，对应不同的脉冲响应曲线，它们可以反映算子适应横向速度变化的能力。如图 4-26a所示，当时，参考速度与实际速
37、度相同，即为均匀常速介质，此时的脉冲响应曲线与理论曲线完全重合。这正如我们所料，当速度不存在扰动时，Fourier有限差分深度偏移算子的最大偏移倾角可达到。当速度存在微小扰动，如我们取时，其脉冲响应曲线如图4-26b所示。可见实际的脉冲响应曲线几乎仍然和理论曲线重合，只是在传播角度约大于时才存在偏差。如速度扰动进一步增强，当时，算子的脉冲响应曲线如图4-26c所示，可见传播角度在以下时，该算子还是相当精确的。当速度的扰动程度非常剧烈，如时，扰动程度达到，这时的脉冲响应曲线（见图4-26d）仍然在较大的传播角度范围内（约）与理论曲线重合。从以上各种速度扰动情况下的脉冲响应曲线可以看出：Fouri
38、er有限差分深度偏移算子由于引入了对高阶速度扰动的差分项处理，它在速度横向变化非常剧烈的情况下，最大偏移倾角还很大，即对陡倾地层的偏移归位处理比较准确。当然，由于引入差分计算，脉冲响应曲线存在频散，介质条件越复杂，频散越严重。2凹陷模型叠后深度偏移试验如果我们仅用上行波算子进行爆炸反射记录波场的深度外推，并用叠后偏移成像条件求取成像值，则可实现叠后自激自收数据的偏移成像。我们采用的爆炸反射记录的速度模型如图4-4 所示（见第三节），该模型为三层，速度分别为：、和。第一个速度界面中间呈凹陷型。速度场维数为250100，道间距为15.0m, 深度采样间隔为12.0m。采用波动方程有限差分法正演模拟
39、，得到如图4-27所示的合成爆炸反射记录。共250道，每道时间样点为1000，时间采样率为1ms。从图中可见：由于第二层中速度场存在剧烈的横向变化，故自激自收剖面中对应第二层界面的同相轴产生明显的畸变。图4-28为Fourier有限差分法叠后深度偏移结果。偏移剖面上断点绕射波收敛得非常好，且各层界面形态和位置与速度模型完全吻合，叠后深度偏移达到了预期的成像效果。3Marmousi模型叠前深度偏移试验为了检验该Fourier有限差分叠前深度偏移算法，我们采用了SEG/EAGE用于检验叠前深度偏移成像方法性能的Marmousi模型。模型速度场如图4-7所示（见第三节），维数为497750, 速度场横向间距为12.5m，最大深度为3000.0m，深度采样间隔为4.0m。该速度场的横向变