浅析线性方程组的解法及应用.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date浅析线性方程组的解法及应用目 录目录摘要IAbstractII第一章 绪论11.1 引言1第二章 行列式与线性方程组求解12.1 标准形式的二元线性方程组12.2 标准形式的三元线性方程组22.3 克莱姆法则32.3.1逆序数32.3.2 克莱姆法则4第三章 线性方程组的理论求解63.1 高斯消元法63.2 线性方程组解的情况73.3 将非齐次方程组化为齐次方程组求解

2、方法8第四章 求解线性方程组的新方法9第五章 线性方程组的应用115.1 投入产出数学模型115.2 齐次线性方程组在代数中的应用14第六章 结论16参考文献17致谢18-浅析线性方程组的解法及应用学生：陈晓莉 指导教师：余跃玉摘要：线性方程组的求解方法在代数学中有着极其重要的作用.本文介绍了有关线性方程组的一些基本求解方法，由二元到三元的线性方程组，再到n姐线性方程组，其中详细介绍了克莱姆法则。然后是对于齐次方程组和非齐次线性方程组，介绍了线性方程组的理论解法，里面介绍了消元法、解的情况、将非线性化成线性方程组来求解。并且给出了相关的例题，可以加深对线性方程组求解的方法的认识。对于线性方程组

3、还有什么解法，本文也将有探讨。介绍了这么多解线性方程组的求解，相信在今后解线性方程组会更加方便。最后还有关于线性方程组的应用，主要介绍了关于投入产出的数学模型，在经济分析与管理中会经常用到。关键词:线性方程组; 高斯消元法；行列式SOLUTION OF LINEAR EQUATIONS AND APPLICATIONStudent: Chen Xiaoli Supervisor: Yu YueyuAbstract: Method for solving linear equations plays a very important role in algebra. This paper int

4、roduces some basic methods for solving linear equations, from two yuan to three yuan of linear equations, and then to sister n linear equations, which introduces the Clem rule. Then the homogeneous equations and nonhomogeneous linear equations, introduces the theoretical solution of linear equations

5、, which describes the elimination method, solution of the situation, the nonlinear into linear equations. And gives the relevant examples, we can get a deeper understanding method for solving linear equations. For what the solution of linear equations, this paper will also discuss. Introduced so man

6、y solution of linear equations, believe that in the future will be more convenient for the solution of linear equations. Finally, on the application of linear equations, mainly introduces the mathematical model of input and output, is frequently used in the economic analysis and management.Keywords:

7、 linear equations; Gauss elimination method; determinant第一章 绪论1.1 引言线性代数的核心内容是解线性方程组。在寻求线性方程组解的存在定理和求解方法的过程中而产生的。行列式理论和矩阵理论构成了线性代数的基本理论。这本来是一个纯代数问题,如果把这个纯代数问题与几何结合起来,在求解线性方程组的过程中从整体上考虑系数与常数项的关系,就产生了求解线性方程组的行列式理论和矩阵理论。通过说明把几何概念引入解线性方程组的过程以及认真细致的分析、基本的归纳、简明的例子,为初学者正确认识行列式理论、准确应用行列式理论提供帮助。目前, 新的教材已初步渗透

8、了高等数学的一些知识理论, 而利用这些知识理论来解决初等数学问题显得既简洁又优美. 本文针对中学数学中由几个结构相似且具有共同字母或数字的等式联系在一起的若干变量之间的相互关系问题,结合高等代数中有关线性方程组的理论, 从而有助于问题迅速的得以解决.同时将线性方程组理论应用于解析几何, 沟通了代数与几何的内在联系, 并可透视代数与几何的相互渗透, 也可使许多几何问题得到更为简明的刻画。 第二章 行列式与线性方程组求解2.1 标准形式的二元线性方程组定义1：如果线性方程组的未知个数与方程组的个数等于2，则称这个线性方程组为标准形式的二元线性方程组。如： 若，则（2-1）乘以与（2-2）乘以之差，

9、消去，得到的解，代入方程，求出解的通式：根据几何意义，我们把行列式引入线性方程组中，取出方程组中的系数，按如下的顺序排列， （2-3）由系数矩阵排列的2阶矩阵D，称为系数矩阵。在（2-3）式中把第一列依次换成则得到： （2-4）在（2-3）式中把第二列依次换成则得到： （2-5）所以，二元线性方程组的解还可以表示为： （2-6）例1：求解的解。解：由（2-3）、（2-4）、（2-5）公式，代入系数，求得：,所以： 2.2 标准形式的三元线性方程组由定义1可以推知，如果线性方程组的未知个数与方程组的个数等于3，则称这个线性方程组为标准形式的三元线性方程组。如： （2-7）根据标准形式的二元线性方

10、程组的原理，排列成三阶行列式，得到： （2-8）再由（2-8）式每列系数换成，则得到三个新的三阶行列式， （2-9）当时，则线性方程组的解为： （2-12）例2：求平面的交点坐标。解：由公式可以求出：；所以坐标为（）。2.3 克莱姆法则 2.3.1逆序数在n个数字中，进行全排列（），如果一个小一点的数排在大的数前面，则称出现了一个逆序，一个全排列的所有逆序称为这个全排列的逆序数，记为。例如：由4个数字组成3个全排列的逆序数为：，.分析二阶行列式（2-3）式由此，可以看出2阶行列式一共有2！=2，每项两个因子分别来自不同的行和列，再看角标，第一项是，根据逆序数是偶数，因此符号带正号，第二项是，逆

11、序数是是奇数，因此为负号；又如三阶行列式，一共有3！=6，一共有两项，有三项为正，三项为负，第一项是，逆序数为0，是偶数，因此为正号，第四项是，逆序数为1，为奇数，所以是负号。依次类推，我们给出行列式的定义：我们把的由构成的矩阵，有表达式：其中为D矩阵的第i行，第j列的元素，共有n！个元素为自然数码。2.3.2 克莱姆法则定理1如果线性方程组 （2-14）令， （2-15）， （2-16）。 （2-17）我们称为系数矩阵，当时，则方程组有唯一解，且解为： （2-18）这就是克莱姆法则。定理中包含三个结论：（1） 此线性方程组有解；（2） 线性方程组有唯一解；（3） 解的公式为（2-18），即可

12、求出。求解方程组：。解：由上述公式（2-18）得到：。第三章 线性方程组的理论求解设n元线性方程组（3-1）其中，表示n个未知量，m是方程个数，表示第i个方程中项的系数，叫常数项。在线性方程组中，如果常数项为零，即，称（3-1）为齐次线性方程组；若常数项不全为零，称为非齐次线性方程组。在线性方程组中要分别讨论这两类方程组。3.1 高斯消元法下面，我们要介绍解线性方程组的基本方法，高斯消元法。 设有n元线性方程组则矩阵 （3-2）叫做线性方程组的增广矩阵。记作。 3.2 线性方程组解的情况定理 含有n个未知量的n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：方程组的系数行列式为零。所谓高斯消元

13、法就是对线性方程组的增广矩阵施行矩阵的初等行变换，化作行阶梯形，即 （3-3）根据行阶梯形，对方程组的解有如下的结论：（1） 若，方程组无解；（2） 若，方程组有解。这时又分两种情况：情况一：，方程组有唯一解；情况二：，方程组有无穷多解。用高斯消元法首先可以判断方程组解的情况。对于带参数的线性方程组，在讨论参数的取值和方程组是否有解的关系时，通常都用高斯消元法。在有解的情况下，还可以进一步利用行阶梯形来求解。例：用消元法求解。解：对增广矩阵作初等变换，可得因此线性方程组无解。3.3 将非齐次方程组化为齐次方程组求解方法非齐次方程组一般形式为（3-4）令，同时乘以方程组，并将常数移至左边，化简得

14、（3-5）这样就将非齐次方程组转化为齐次方程组，和齐次方程组求解方法一样。例题：用消元法求解下列方程，。解：先将非齐次线性方程组化成齐次线性方程组，令同时乘以方程组，可得得到系数矩阵，作初等变换由此，可知n,方程有无数多个解,且,再将代入,则.第四章 求解线性方程组的新方法设线性方程组 （4-1）若设则（4-1）式改写为 (4-2)根据矩阵理论，任意的阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使 （4-3）其中阶单位矩阵（下同）。在（4-2）两边乘以P，得到 (4-4)特别地设 (4-5)将（4-5）代入（4-4），则得到由（4-3）可知： （4-6）记符合余类推，下同。由（4-6）有： （4-7）由（4

15、-7）式可得到以下结论：（1） 若设则有如果方程（4-2）有解；如果方程（4-2）无解。（2） 对方程而言，如有解，则解的情况分为两种：方程组有唯一解，此时;方程有无数多个解，此时可任意，一般设： （4-8）其中 (4-9)事实上是非齐次线性方程组的一个特解，是对应的通解，的每一列是方程组的一个基础解。由此可以看出，这个方法比前两个方法解线性方程组加复杂，所以，这个方法仅限于探讨。第五章 线性方程组的应用 投入产出分析是线性代数理论在经济分析与管理中的一个重要作用，它从数量上考察经济系统内部各个部门间产生和分配的线性关系。 投入产出分析也称为投入产出法或投入产出技术。这一方法是美国经济学家W.

16、列昂节夫（Leontief）于20世界30年代首先提出的，他利用线性代数的理论和方法，研究一个经济系统（企业、地区、国家等）的各个部门之间错综复杂的关系，建立起相应的数学模型，用于经济分析和预测。目前，这一方法已经在世界各国广泛应用。5.1 投入产出数学模型 考虑一个具有n个部门的经济系统，各部门分别称为部门1，部门2，部门n，并假设：（1）部门i仅产生一种产品i（称为部门i的产出），不同的部门的产品不能相互代替。由这个假设可以看出，部门与产出之间是一一对应的。（2） 部门i在产生过程中至少要消耗另一部门的产品（称为部门j对部门i的投入），并且 消耗的各部门产品的投入量与该部门的总产出量成正比

17、。 利用某一年的统计资料，可以先编制出投入产出表，并建立相应的数学模型投入产出模型。投入产出模型按计量单位的不同，可分为价值型和实物型。在价值型模型中，各部门的产出、投入以货币单位表示；在实物型模型中，则以产品的实物单位（如吨，米等）表示。下面先讨论价值型投入产出模型。 首先，利用某年的经济经济统计数据，编制投入产出表（称为价值型投入产出表）见表5-1。设（=1,2，n）表示第i个部门的总产量和相应消耗部门的总产量价值。表5-1 价值型投入产出表投入产出消耗部门 最终产出 总产出1,2，n积累消费合计生产部门 1 2 n 新创造价值报酬利润合计总产出价值在表5-1中，用双线将表分成四部分，左上

18、角为部分（I），由n个部门交叉组成，其中称为部门间的流量，它即表示第j个部门消耗第i个部门的产品数量，也表示第i个部门分配给第j部门的产品数量。这部分反映了各部门之间的生产技术联系，它是投入产出的最基本部分。表中右上角为部分（II），反映各生产部门从总产出中扣除生产消耗后的最终产出的分配情况，其中表示第i个部门的最终产出。表中左下角为部分（III），反映各部门新创造的价值，它包括劳动报酬、利润等和净产值，且 （4-1）表中右下角部分（），反映国民收入后再分配情况，如非生产部门工作者的工资非生产性事业单位和组织的收入等。由于再分配的过程非常复杂，一般不编制表的这一部分。表5-1中部分（I）和（I

19、I）的每一行有一个等式，即每一个生产部门分配给各部门的生产消耗加上该部门的最终产出等于它的总产出，可用方程组（4-2）表示，或简写为 （4-3）即总产出=中间产出+最终产出。称式（4-2）或式（4-3）为分配平衡方程组。表5-1中部分（I）和（III）的每一列也有一个等式，即每一个消耗部门对各部门的生产消耗加上该部门新创造的价值等于它的总产品价值，可用方程组 （4-4）表示，或简写成 （4-5）称式（4-5）为消耗平衡方程组。由投入产出表得出的两个平衡方程组称为投入产出的数学模型。一般地， （4-6）即第k部门的总产出等于第k部门的总投入。且即整个经济系统的最终产品价值等于该系统新创造的价值。

20、但即5.2 齐次线性方程组在代数中的应用已知一组字母构成有非零解的齐次线性方程组的系数，求出或证明这组字母之间的关系。例1：已知。解：将已知的方程组写成齐次线性方程组，可得显然，不同时为零，否则，a，b，c没有任何关系，这说明线性方程组有非零解，且，展开后，得到：。例2：已知的三边，且满足关系：，求证三角形为等边三角形。证明：由已知等式化为齐次线性方程组，有因为x，y，z均不为0，所以方程组存在非零解，所以，展开后，可得，而只有，方程两边同时乘以2，配方后，得到，因此，只有当时，等式成立。所以此三角形为等边三角形。第六章 结论通过对线性方程组的求解,我们可以看出,线性方程组和矩阵有着密切的关系

21、,因此要解线性方程组,首先要把矩阵的相关性质掌握好,本文就不做详细介绍了.求解线性方程组时不能对增广矩阵施行对换矩阵的两列以外的列变换，若对换矩阵的两列，相应地未知元也要对换 . 其次方程组是否有解 ( 有非零解 )，有多少解，这与系数矩阵和增广矩阵的秩密切相关，我们只有充分利用方程组的向量形式，灵活运用所学的知识，才能深层理解线性方程组解的结构理论，才能解答一些有关线性方程组的综合题。行列式是一个特殊的数学表达式,它是一个特殊的nn个变量的函数,正是因为其特殊性,它具有一系列特殊的性质,由此产生了行列式理论,本文不一一论述。对线性方程组解空间的理论加以灵活运用, 对提高学生解题信心, 积累解

22、题技巧, 是十分有帮助的。参考文献1 谢邦杰.线性代数M.北京:人民教育出版社, 1978.50642 王萼芳,石生明.高等代数.M.高等教育出版社,2003.34-563 李排昌,左萍.线性代数M.北京：中国人民公安大学出版社, 2005.56-784 徐树方.矩阵计算的理论与方法北京:北京大学出版社,1995.102-1145 陈殿友,术洪亮.线性代数.M.清华大学出版社,2006.64-906 毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳.华中科技大学出版社,2010.25-347 俞正光.全国硕士研究生入学统一考试.清华大学出版社,2004.5-17致谢首先要感谢我的指导老师余跃玉余老师，在论文的写作过程中遇到了很多的难题和疑惑，是在您的指导下，让我突破重重难关。并且在每次的论文修改中，余老师认真负责，仔细阅读，一个细小的地方也能给我指点出来，我的论文才能顺利的完成。在此成文之际，我向余老师致以最崇高的敬意和衷心的感谢，并祝愿余老师您，全家幸福平安，身体健康，心想事成。感谢我的同学们，陪我走过大学四年，是你们在我无助的时候，帮助我，鼓励我，让我奋发向上，并且学到了在课本上没有学到的知识。最后，还要感谢我的家人，感谢父母的养育之恩，让我有机会走进大学，体验大学，谢谢！