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1、精选优质文档-倾情为你奉上目 录线性方程组的解法与应用逄柏松（渤海大学数学系）摘要：线性方程组的理论是线性代数的重要内容，它是解决很多实际问题的有力工具，在工程技术，经济活动分析以及许多科学技术领域中都有广泛的应用。在实践中的许多问题可以归结为线性方程组的问题，并且线性方程组的表达方法、求解步骤、解的存在性、解的结构及求解方法等几乎涉及线性代数的所有基本概念和基本方法。求解线性方程组是线性代数的最主要任务，本文主要介绍了几种常用的求解方法，包括消元法，行等价标准形法，克兰姆法则，迭代法，公式法等。并且对这些解法适用的范围都做了详细的说明。线性方程组的应用是研究数学的一个重点问题，在本文中，又介
2、绍了在矩阵，向量，解析几何中的各种应用。这些是作为初学者必须掌握和灵活应用的。关键词：线性方程组 解法 应用Solution and Application of The Line Equation GroupBosong Pang(Department of Mathematics Bohai University)Abstract: The theories of the line equation group is the important contents of linear algebra,it is the powerful tool which resolves many ac
3、tual problems. It has extensive application in the realm that is at the engineering technique,the economic activitiesanalytical and many science technique. In practice, a lot of problems can be concluded into the linear equation groups aspect, moreouer, its expressive method, solution always touched
4、 upon in all the basic concept and manner of linear algebra. It introducts many solutions which is common usely in the thesis.They are eliminated element method, row equivalence standard form method,Cramer rule,iterative method,formula method and so on.And these introduction are detailed.The applica
5、tion of the line equation group is a point problem of research mathematics. This thesis mainly introducts the application of the line equation group in university mathematics which are matrix,vector,analytic geometry,these should be controlled and applied by university student.Key words: Linear equa
6、tion group Solution Application引 言线性代数是一门历史悠久的学科，早期代数的中心问题是解方程问题。方程本身有两个发展方向，一个是一元高次方程，另一个是多元一次方程组与高次联立方程。前者的发展形成了后来的方程论（或多项式论）的研究，到了19世纪，还诱发了近代数学的出现，后者的发展形成了线性数学。线性代数的兴起与发展大致与微积分学的兴起和发展是同时的，它们都随着十七、十八世纪生产和科学技术的发展与要求而发展的。进入20世纪以后，线性代数及其应用，线性代数计算方法等又有了长足的发展。下面我们来研究如何解有关线性方程组的问题，在中学所学代数里我们学过用加减消元法和代入消
7、元法解二、三元线性方程组，而在高等数学中消元法仍然适用，同时我们也可以用一些高等数学中的知识来求解线性方程组，下面我们来具体介绍一些解线性方程组的方法，这样便于我们做题时，依据不同的类型选择不同的方法，从而使解题过程简化，提高解题效率。 一、线性方程组的解法（一）线性方程组的一般形式及其相关概念含有个未知量的线性方程组的一般形式为 其中为未知量，,为已知数。未知量和已知量都是任意的复数或某一个域的元素。若全为零，则称为齐线性方程组。若，则方程组还可以写成矩阵形式。 其中称为线性方程组的系数矩阵，称为未知数向量，称为常数向量。称为线性方程组的增广矩阵。若记则还可以写成向量形式 （二）线性方程组的
8、解法1.解齐次线性方程组的基本解法设有齐次线性方程组(为阶矩阵)，及矩阵为齐次线性方程组的系数矩阵)。首先对齐次方程组系数矩阵的秩进行判定；当时，方程组只有零解；当时，方程组有无穷多解，此时方程组有个独立未知量，个独立方程，有个自由未知量，有个线性无关解向量。其次，根据解的性质:i设是齐次方程组的解，则，仍是齐次方程组的解。ii元齐次线性方程组的全体解所构成的集合是一个向量空间，当系数矩阵的秩时，解空间的维数为。iii若是的解，且满足：(i) 线性无关；(ii)任何的解向量均可由线性表出，则向量组称为的基础解系。最后得出的通解：，其中是的基础解系，是任意实数。下面介绍基础解系的求法。对施以行初
9、等变换(必要时重新排列未知量的顺序)可得，对应的齐次线性方程组 与原方程组同解，其中为自由未知量，分别取 为 (共个)得的个线性无关的解。即为基础解系。例1. 已知齐次线性方程组：其中，试讨论和满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。解: 方程组的系数行列式为(1)当且时，方程组仅有零解。(2)当时，原方程组的同解方程组为由，可知不全零，不妨设，因为秩，取为自由量，可得到方程组的基础解系为，当时，由，知，系数矩阵可化为 由于秩，则的基础解系2.解非齐次线性方程组的基本方法设有非齐次线性方程组及系数矩阵与增广矩阵，首先进行判定当时，方程
10、组无解；当时，方程组有惟一解；当时，方程组有无穷多解。再求出非齐次方程组的一个特解，其导出组的一个解，则仍是非齐次线性方程组的解。根据以上的性质，最后求出非齐次线性方程组的通解，其中是非齐次方程组的一个特解，是其导出组的通解。例2. 为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多解？在有解情况下，求出其全部解。解: 对增广矩阵作初等行变换，有(1)当，且时，方程组有唯一解，即(2)当时，方程组无解。(3)当时，有因为，方程组有无穷多解。取为自由变量，得方程组的特解为，又导出组的基础解系为。所以方程组的通解为，为任意常数。例3 设线性方程组(1)证明：若两两不相等，则线性方程组无解。(2)设，且已
11、知是该方程组的两个解，其中写出此方程组的解。解： (1)因为增广矩阵的行列式是范德蒙行列式，故，而系数矩阵的秩，所以方程组无解。(2)当时，方程组同解于因为，知，由于，知导出组的基础解系含有1个解向量，那么是的基础解系,于是方程组的通解为，为任意常数。以上两条介绍了解决线性方程组的基本方法，它们是解题的根本。下面根据不同的类型介绍几种具体的解法3克莱默（Cramer）法则我们曾经讨论过二元线性方程组，当系数行列式时，存在惟一解，并且方程组的解可以表示为下列形式 这一结果可以推广到一般的元线性方程组。定理1：（克拉默法则）如果含有个方程的元线性方程组 的系数行列式，则方程组有惟一解，并且，其中
12、是将系数行列式的第列元换成常数项后得到的行列式。下面我们对克拉默法则进行证明。将方程组表示为矩阵形式 其中，由于，故可逆。因此将公式两边同时左乘，得到 由，从而上式即 其中,，即按第列的展开式。从而有又当可逆时，其逆矩阵唯一，因此由上面的结果可知方程组的解唯一。定理2：如果含有个方程的元齐次线性方程组 的系数行列式则方程组仅有零解。推论 如果方程组有非零解，则其系数行列式。例4.解线性方程组解：该线性方程组的系数行列式因此，方程组有唯一解，又 故方程组的解为例5设齐次线性方程组有非零解，求的值。解：由定理2的推论，该方程组的系数行列式必为零，即 或。用克拉默法则解线性方程组是需要两个前提的，一
13、是未知量的个数必须等于方程个数，二是系数行列式的值不能为零。然而，许多线性方程组并不能同时满足这两个条件。即使是满足这两个条件的元线性方程组，当较大时，计算量也是很大的。因此，用克拉默法则解线性方程组有很大的局限性。4高斯（Gauss）消去法高斯消去法是高斯首次发现并使用的。它的基本思想是：在线性代数方程组中，如果某方程中某未知量的系数非零，则可以利用它消去所有其它方程中该未知量的系数，从而使方程组得到简化。消去法是对线性方程组实行三种变换(统称为线性方程组的初等变换)：对换方程组中某两个方程的位置； 以非零常数乘以方程组中某个方程； 用数乘方程组中某个方程后加到另一个方程上去。定理3： 线性
14、方程组经过初等变换后所得到的新方程组与原方程组同解。为了便于讨论，现将消去法的一般步骤规范如下：设线性代数方程组为(1)利用第一方程第一未知量的非零系数消去其他方程的第一未知量的系数。.不失一般性,设。这是因为如果，可以通过互换两个方程或互换两个未知量的位置，使变换后的第一方程第一未知量的系数非零，即使。.若第一方程第一未知量的系数，则可以通过互换两个方程的位置或第一方程两边同时乘以非零常数，使第一方程第一未知量的系数化为。.第方程加上第一方程的倍，则消去第方程的第一未知量的系数，得同解方程组形如：(2)利用第二方程第二未知量的非零系数消去其它方程的底二未知量的系数。.不失一般性，设。这是因为
15、如果，可以通过互换除第一方程之外的任意两个方程的位置，或互换除第一未知量之外的任意两个未知量的位置，使变换后的第二方程第二未知量的系数非零，即使。.若第二方程第二未知量的系数，则可以通过互换除第一方程之外的任意两个方程或第二方程两边同时乘以非零常数，使第二方程第二未知量的系数化为。.第方程加上第二方程的倍，则消去第方程的第二未知量的系数，使得同解方程形如：依此类推，直到这个过程不能再进行为止。消去的结果是把原线性方程组变换为如下形式同解的方程组，我们称其为最简方程组：(i)第一形式最简方程组此时，方程组有唯一解，即(ii)第二形式最简方程组其中，此时，方程组有无穷多组解。实际上，对于任意常数，
16、均为方程组的解。(iii)第三形式最简方程组其中。或者 其中。此时，方程组中均包含有矛盾方程，因而方程组无解。注：在应用消去法解线性方程组时不必拘泥于上述步骤，可以根据具体情况具体分析的原则灵活运用。例6 解线性代数方程组解：利用第一方程的系数消去其它方程的系数，得 利用第二方程的系数消去其它方程的系数，得 利用第三方程的系数消去其它方程的系数，得 此即最简方程组故知，方程组有唯一解 例7 解线性代数方程组解：利用第一方程的系数消去其它方程的系数，得 利用第二方程的系数消去其它方程的系数，得 第三方程两边同乘以，再利用第三方程的系数消去其它方程的系数，得 此即最简方程组 这里相当于对未知量的位
17、置进行了互换。显然，方程组有无穷多解。实际上，对于任意常数， 恒为方程组的解。利用消去法解线性代数方程组是通过消元变形把方程组化为容易求解的同解方程组。而且对求解未知元较多的方程组，高斯消去法是一种较为简便的方法。5列主消元法高斯消去法在没有舍入误差时给出了线性方程组的精确解。但在实际求解时，我们所用的计算机只能对一定位数的数进行运算。这样，消去法的计算过程就带有舍入误差，得到的解也只能是近似解，有时求得的近似解与精确解相差很大。其实，高斯消去法有两个缺点：第一，消元过程中可能出现主元素为零的情况，尽管系数行列式不等于零，此时消元过程将无法进行下去；其次，如果主元素很小，由于舍入误差，使得方程
18、组的解极不准确。 考察如下方程组其真解为。假定我们采用三位十进制浮点运算，并用高斯消去法可得 回代即得。显然，这一解是无准确度可言的。得出这一错误结果的原因在于第一步的主元素太小所致。如果我们先交换两个方程，再用高斯消去法可得 回代之即得。显然，这是真解的三位舍入值。其实，后一方法主要是选取用第二个方程中的的系数为主元素进行的消元过程，这说明适当选取主元素，方能得到线性方程组较为准确的近似解。列主元消去法就是未知数仍然按的顺序消去的，不同的是在进行第次消元前先选出 中绝对值最大的元素作为主元素。并把它所在的行与第行对换后再进行消元过程。 例8 解线性方程组 解：把的系数中绝对值最大者选作主元素
19、，按消元过程消去的一些系数，得 消去的一些系数时，从中选出绝对值最大者作为主元素，按消元过程可得 于是，由回代过程得方程组的解列主元消去法弥补了高斯消去法的缺点，在其基础上更准确地计算出线性方程组的真实解。从理论上说，方程组的系数行列式不为零时，列主元消去法总是可以进行下去的。实际上，在线性方程组的直接解法中主要是采用列主元消去法。6迭代法迭代法是从任意给定的初始向量出发，用某个适当选取的计算公式，求出向量，再用同一公式以代替，求出向量，如此反复进行，得到向量序列。当收敛时，其极限为方程组的解。由于实际计算都只能计算到某个就停止，所以迭代法与直接法不同，即使不考虑舍入误差的影响，通常在有限步骤
20、内得不到方程组的准确解，只能逐步逼近解。这里我简单介绍一下雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。(1).雅克比（Jacobi）迭代法假定要求解的方程组是 如果,把方程组改写成任选一组数作为方程组的近似解(通常称为零次近似解)，将其代入右端即可求出数值。即 把这种计算到的数值称为一次近似解，再将其带入右端即可求出二次近似解。一般地，当求出了次近似解以后，把它们代入的右端即可得到线性方程组的次近似解。即或者，；。 如果我们把次近似解记作 ，则从零次近似解出发，由可得近似解序列 当时，如果序列中每一个向量的分量都趋于向量对应的分量，即，其中，则称是序列的极限，或序列收敛于，记作。这样一来，我们按得到的近
21、似解序列收敛于极限向量，并且就是方程组的准确解。例9. 用雅可比迭代法求解下列方程组，要求当时停止迭代。 解：相应的雅可比迭代公式为 取迭代初值为按此迭代公式进行迭代，得计算结果如下表： 0 0 0 0 1 1.2 1.3 1.42 0.93 0.92 1.023 1.006 1.012 1.03 4 0.9958 0.9958 0.9964 5 1.00078 1.0012 1.00168 6 0. 0. 0. 7 1. 1. 1. 8 0. 0. 0. 9 1. 1. 1.（2）.高斯-塞德尔（Gauss-Sei-del）迭代法高斯-赛德尔(Gauss-Sei-del)迭代法，也称逐个迭代
22、法。在用雅可比迭代法解线性方程组的过程中，我们可以发现，在求时，已经求出，但是在计算时却仍然用的是。同样，在计算时，和均已求出，然而在公式中仍然用的是和。依此类推，由于最新计算出来的分量比旧的分量更接近方程组的准确解，因此，如果用新计算出来的分量来替换旧分量，可能会更快地接近方程组的准确解。高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为： 或者写成，；。例10. 用高斯-赛德尔迭代法求解下列方程组，初值取零向量，要求误差小于等于0.001。解：相应的高斯-赛德尔迭代公式为取初始值。按上面公式进行迭代，结果如下表所示： 0 0 0 0 1 0.7778 0.9722 0.9753 2 0.9942 0.9993
23、 0.9993 3 0.9998 1.0000 1.0000 4 1.0000 1.0000 1.0000第四次迭代结果可以作为方程组的高斯-赛德尔迭代解,即。前面几种方法都是求出线性方程组的精确解，便于分析和探讨关系。但是在有些实际问题中，有些数据量都是比较大的，要求出精确解需要进行大量计算，另一放面，许多实际问题并不需要求出精确解，只要求出满足一定条件的近似解即可，这时，我们可以利用迭代法。高斯迭代法比雅可比迭代法步骤更简单，收敛速度更快。但前提必须是用高斯迭代法保证其解是收敛的。7.杜里特尔分解法设是阶方阵，若把矩阵分解成单位下三角阵与上三角阵的乘积，即，简之，则称之为杜里特尔分解，其计
24、算公式为 先用公式(13)计算的第行，后用公式(14)计算的第列，再先算的第行，后算的列。设方程组，可以分解为，令，则，解出，回代公式为 (15)例11 用杜里特尔分解法求解方程组解: 应用公式对增广矩阵作统一处理，得即，用回代公式(15)求得。二、线性方程组的应用（一）线性方程组的理论在研究矩阵的秩，向量组的线性相关性等概念中的应用1 由于对于元齐次线性方程组有：系数矩阵的秩+解空间的维数=，于是有如下的定理：定理4：设是矩阵，则有 证明：设为齐次线性方程组的解空间，为齐次线性方程组的解空间，则，都是维向量空间的子空间，于是有：对于中的任意向量，显然有，所以有 即：是齐次线性方程组的解，这说
25、明是方程组解空间的子空间，于是有：。另外， 因为是的子空间，所以有，因此有 即 。2设是矩阵，令 即是的第列元素按原来的顺序构成的维向量，称为的列向量，同样可以定义行向量。若的秩是，则中有阶子式不等于，且的任意阶子式（如果存在的话）全为零，利用方程组的理论，有： 定理5：设矩阵的秩是，则有个列向量线性无关，且任意个列向量（如果存在）线性相关。证明：设的秩为，则为不等于零的阶子式，不妨设位于的左上角，考虑的前个列向量，设数使得： 我们要证明，考虑线性方程组 因为的系数矩阵中有一个不等于零的阶子式，所以的秩为，从而线性方程组只有零解。因此满足式的只能全为零，这就证明是线性无关的。设是的任意个列向量
26、，考虑线性方程组 ，方程组的系数矩的秩小于（的任意阶子式肯定是的阶子式，故为）所以有非零解，即存在不全为的数使 这说明向量组是线性相关的，所以的任意个列向量是线性相关的。3定理6：设 是个维向量，作矩阵 则以下四条是等价的： 向量组线性相关 秩 的某个行向量是其余行向量的线性组合 含有个未知量的齐次线性方程组有非零解。说明：这样判断中的一组向量是否线性相关就化归为一个齐次线性方程组有无非零解的问题。例12.设是一组线性无关的向量， 证明线性无关的充分必要条件是证明: 设，代入，整理得 由于线性无关，以为未知量的齐次线性方程组 于是线性无关 方程组只有零解 方程组的系数行列式4. 定理7: 设矩
27、阵的列向量依次是，矩阵的列向量依次是，若只经过初等行变换化为，有当且仅当。 证明：由线性方程组的理论知：当只通过行初等变换化为时，齐次线性方程组与是同解的，亦即与是同解的，故结论成立。（二）线性方程组在特征向量与矩阵对角化中的应用设是阶方阵，要求的特征根，只需求的特征多项式的在复数域内的全部根即可，对于特征向量而言有：1 定理8：设是数域上的阶方阵，是的特征根，如果复数域上的维列向量是的属于特征根的特征向量，那么是线性方程组的非零解向量，反过来，方程组的在复数域上的非零解向量都是的属于的特征向量。证明：若是的属于的特征向量，则，因此，即是方程组的非零解向量，反过来，若是在复数域上的非零解向量，
28、则，所以， 即是的属于的特征向量。例13求矩阵 的特征值与特征向量解： 得的特征根为：对于特征根，解线性方程组 即： 得到它的一个基础解系所以的属于特征根，的全部特征向量为，其中取遍非零复数，对于特征根，解线性方程组求出一个基础解系 所以属于特征根的全部特征向量只需在复数域上求出方程组的全部非零解向量即可。2 判断上阶方阵是否可对角化的方法： 先求出的全部特征根 如果的特征根都属于数域，那么对于每一个特征根，求出齐次线性方程组 的一个基础解系。 对于每一个特征根来说，相应的齐次线性方程组在上的基础解系所含解向量的个数等于它的重数，那么可以对角化，以这些解向量为列作一个阶矩阵，则是可逆矩阵，且即
29、为对角形矩阵，该对角形矩阵主对角线上的元素作为的全部特征根与矩阵的列向量作为的特征向量是相对应的。例14给定有理数域上阶方阵 解：求出的特征根是 ，对于特征根，求出齐次线性方程组 的一个基础解系 对于特征根 ，求出齐次线性方程组 的一个基础解系 ，由于的特征根全是有理数，且每个特征根的代数重数等于几何重数，所以在上可以对角化 ，取，那么（三）线性方程组在矩阵形如中的应用在中，分别是矩阵，可以把作为系数为的齐次线性方程组的解，因此，一些更复杂的矩阵乘积问题可以由线性方程组的理论去解决，这样使问题简单化。例15设三阶方阵的每一列向量都是方程组 的解， 求的值求证 解：由三阶非零阵的每一列向量都是方
30、程组的解，可知此方程组有非零解，即 即 的每一列向量都是此方程组的解，设， 得即 由是非零阵，即，可知否则若，则必可逆，由，得，即，与矛盾，故。（四）线性方程组在解析几何中的应用1空间两平面相关位置有三种可能：相交于一条直线 平行 重合，如何利用线性方程组从两平面方程判断它们的相关位置呢，我们有如下判定定理：定理7：取定一个仿射标架，设平面的方程分别是 则 和相交于一条直线的充要条件是：和平行的充要条件是：和重合的充要条件是。证明：两平面和的相关位置取决于方程组的解的情况，也就是取决于线性方程组的系数矩阵 与增广矩阵的秩，由线性方程组的解的理论可知： 方程组的解构成一条直线的充要条件方程组无解
31、的充要条件是，即 方程组的解构成一平面的充要条件是 ，即2由线性方程组的解的理论，可以得到三个平面交于一点的条件定理9.设三个平面在仿射坐标系中的方程 则这三个平面相交于一点的充要条件是证明：上述三个平面交于一点的充要条件是方程组有唯一解，从而它的系数行列式不等于0，从而得出定理的结论。结 束 语解线性方程组的方法很多，这里只是介绍了一些常见的方法，把它们整理到了一起，以便于在解线性方程组时选择最合适、最简洁的方法，使解决问题更轻松、更准确。通过对线性方程组解法的研究，认识到线性方程组不但在线性代数中发挥着重要作用，而且在整个数学领域中都有广泛的应用。参考文献：1.张良云等编:线性代数,北京,高等教育出版社,1992。2.卢刚等编:线性代数,北京,高等教育出版社,1992。3.北京师范大学数学组编：高等代数，北京，高等教育出版社，1978。4.贺俐,陈桂星等编:计算方法,武汉,武汉大学出版社,1995。5.施武杰,戴桂生编:高等代数,北京,高等教育出版社,2005。6.陈抚良等编:解析几何,北京,科学出版社,2005。 数学系08级八班 逄柏松专心-专注-专业