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1、 学 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESIS 编号 学士学位论文线性方程组的解法学生姓名 学 号 20050105038 系 部 数学系 专 业 信息与计算科学 年 级 2005-5 班 指导教师 完成日期 2010年 5 月 14 日22摘要本文主要讨论：线性方程组有解的判别定理，解的求法，线性方程组解的结构。关键词 线性方程组；矩阵的秩；增广矩阵；系数矩阵；解的结构；基础解系 目录摘要1引言11. 线性方程组11.1一般线性方程组11.2线性方程组有解的判别定理21.3线性方程组的初等变换32. 线性方程组的解法42.1 克拉默（Cramer法则）42.2 消元法83. 线
2、性方程组解的结构113.1一般线性方程组解的结构16总结20参考文献20致谢22引言线性方程组是高等代数中重要概念之一，因此，有必要系统而深入地讨论求解线性方程组的问题。对方程的个数与未知量的个数相等,且未知量的系数行列式不为零的线性方程组用克拉默法则来解，但是行列式的阶数比较高时，用这种方法比较麻烦;当方程的个数相等未知量的个数且系数行列式为零时，不能使用克拉默法则，所以我们讨论一般线性方程组满足什么条件时才有解？如果有解，那么如何求解？如果方程组的解不是唯一时，那么无穷多解如何表示成有限个解的问题，即通过找出基础解系把线性方程组的无穷多解可用有限个解来表示等问题。1. 线性方程组1.1一般
3、线性方程组一般线性方程组是指形为 的方程组，其中代表个未知量；是方程的个数，称为方程组的系数称为常数项。方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等，系数的第一个指标表示它在第个方程表示它是的系数。线性方程组还可以表示成矩阵形式：引入矩阵 ， (2)那么方程组可以写成 矩阵称为线性方程组的系数矩阵，称为未知量矩阵，称为常数项矩阵 称为线性方程组的增广矩阵。若是方程组的一个解，则 称为方程组的一个解向量，它就是方程组的一个解。1.2线性方程组有解的判别定理定理 （线性方程组有解的判别定理）线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。证明 充分性：如，那么向量组与向量组有相同的秩，于
4、是向量组与向量组有相同的最大独立组，故可由该最大独立组线性表示，从而可由向量组线性表示，即存在一组数使成立。必要性：如存在一组数使成立，这说明可由向量组线性表示,从而向量组与向量组等价。于是向量组与向量组有相同的秩，即。1.3线性方程组的初等变换定义1 下列三种变换称为线性方程组的初等变换；1.交换两个方程的位置；2.用一个非零的数乘某一个方程；3.把一个方程乘某一非零数后加到另一个方程；证明 我们只证明第三种变换，其他的变换很容易证明。把方程组1的第二个方程乘上后加到第一个方程，得 设是方程组的任一解，因与的后个方程是一样的，所以（）满足的后个方程，又（）满足的前两个方程： 将式乘后加到式可
5、得，。 这就是说满足的第一个方程，因此是的一个解。类此地可证的任一解也是（1）的解这就证明了（1）与 是同解的。2. 线性方程组的解法2.1 克拉默（Cramer法则）定理1 （Cramer 法则） 个未知量个方程的线性方程组 （8）的系数矩阵的行列式,那么线性方程组（8）有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为其中是把矩阵中第列换成方程组的常数项所成的矩阵的行列式，即证明 1.把方程组（8）简写为.首先验证是（8）的解.我们把代入第个方程，左端为因为，所以由，有 .这与第个方程的右端一致。换句话说，把代入方程使它们同时变成恒等式，因而确为方程组（8）的解。2.设是方程组（8）的一个解，于是有
6、个恒等式.为了证明，我们取系数矩阵中第列元素的代数余子式，用它们分别乘中个恒等式，有，这还是个恒等式。把它们加起来，即得 等式右端等于在行列式按第列的展开式中把分别换成，因此，它等于把行列式中第列换成所得的行列式，也就是。再来看的左端。即 由所以。于是，即为 .这就是说，如果 是方程组的一个解，它必为 ，因而方程组最多有一组解。 例 用Cramer法则求解方程组 解 所以，方程组的解为： 2.2 消元法消元法的过程就是反复施行初等行变换。对线性方程组进行行初等变换，相当于增广矩阵进行行初等变换，化成阶梯形 设其中。如果。这时方程组无解。如果分两种情况 ，这时方程组变成其中。由最后一个方程开始的
7、值就可以逐个地唯一确定是方程组有唯一解。例 解下列线性方程组解 对增广矩阵进行初等变换：由下到逐个回代，就得到唯一解： 这时方程组变成： 其中把上式改写成任给一组值就唯一确定出的值，也就方程组的一个解。称为自由变量，这时方程组有无穷多解。例 解下列线性方程组解 对增广矩阵进行初等变换：因为=4， 所以方程组有无穷多解，且一般解为：其中为自由变量。3. 线性方程组解的结构在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们进一步来讨论线性方程组解的结构。在方程组的解是唯一的情况下，当然没有什么结构问题。在有多个解的情况下，所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题。下面我们将证明，虽然在这时有无穷多个解，但
8、是全部的解都可以用有限多个解表示出来。上面我们提到，元线性方程组的解是维向量，在解不是唯一的情况下，作为方程组的解的这些向量之间有什么关系呢？我们先看齐次方程组的情形。设 （9）是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质：。两个解的和还是方程组的解。 设与是方程组（9）的两个解。这就是说，把它们代入方程组，每个方程成恒等式，即 把两个解的和 （10）代入方程组，得 这说明（10）确实是方程组的解。一个解的倍数还是方程组的解 设是（9）的一个解，不难看出还是方程组的解，因为 对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解，齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限
9、的几个解的线性组合给出来？为此，我们引入下面的定义。定义 齐次线性方程组(9)的一组解称为（9）的一个基础解系。如果线性无关。（9）的任一个解都能表成线性组合。当时，方程组（9）只有零解，该方程组没有基础解系。当 时，(9)有个向量的基础解系，此时方程组的任一解可表示为其中为任意实数。定理 设是矩阵。若，则齐次线性方程组(9)存在基础解系，且基础解系所含向量的个数为。证明 系数矩阵的秩为，不妨的前个列向量线性无关，对施行一系列初等行变换可得的行最简形：于是与齐次线性方程组同解的齐次线性方程组可表示为： （11）在方程组（11）中任给一组值，就可确定的值，由此得（11）的一个解，也就是（9）的解
10、，分别令代入（11）依次可得：从而求得(11)，也就是(9)的个解。下面证明即为齐次线性方程组(9)的一个基础解系。首先证明线性无关。显然个维单位向量组线性无关，所以在每个向量前面添加个分量而得到的个维向量也是线性无其次证明（9）的任一解均可由线性表示。为此作向量，由于是（9）的解，因此也是它的解。比较与，知它们的后面个分量对应相等，由于它们都满足方程组（11），从而知它们前面个分量也对应相等，因此，即。故即为齐次线性方程组（9）的一个基础解系，且含向量的个数为。例 求齐次线性方程组的一个基础解系, 并且用基础解系表示方程组的全部解： 解 对增广矩阵进行初等变换： 即得与原方程组同解的方程组
11、令即得一个基础解系 ， ，由此得全部解是：， 3.1一般线性方程组解的结构如果把一般线性方程组 （1）的常数项换成，就得到齐次线性方程组（9）。方程组（9）称为方程组的导出组。方程组的解与它的导出组（9）的解之间有密切的关系： 。线性方程组的两个解的差是它的导出组（9）的解设是方程组的两个解，即 它们的差是显然有 这就是说，是导出组（9）的一个解。线性方程组的一个解与它的导出组（9）的一个解之和还是这个线性方程组的一个解。设是的一个解，即 又设是导出组（9）的一个解，即 显然 定理 如果是方程组的一个特解，那么方程组的任一个解都可以表成 （12）其中是导出组（9）的一个解。因此，对于方程组的任
12、一个特解，当取遍它的导出组的全部解时，（12）就给出的全部解。证明 显然由性质， 是导出组（9）的一个解，令就得到定理的结论。既然的一个解都能表成的形式，由性质，在取遍（9）的全部解的时候，就取遍的全部解。定理4说明了，为了找出一线性方程组的全部解，我们只要找出他的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了。导出组是一个齐次方程组，在上面我们已经看到一个齐次方程组的解的全体可以用基础解系来表示。因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般方程组的一般解：如果是方程组（1）的一个特解，是其导出组的一个基础解系，那么（1）的任一个解都可以表成 任意实数例5用导出组的基础解系表出下列线性方程组的
13、全部解解 对增广矩阵进行初等变换： 得，故原方程组有无穷多解，且得同解方程组令得方程组的一个特解又与其导出组对应的同解方程组为令 即得导出组的一个基础解系 因此原方程组的通解为，其中为任意实数。 总结本文主要讨论了如下基本问题：1.利用矩阵的秩的概念，判定线性方程组是否有解.2.如果线性方程组有解，那么如何求解.3.求齐次线性方程组的基础解系.4. 解不是 唯一的齐次线性方程组与解不是唯一的一般线性方程组的无穷多解用有限个解(用基础解系)来表示。总之，我们首先判定线性方程组是否有解？若有解，那么如何求解？如果方程组的解不是唯一时，那么无穷多解如何表示成有限个解的问题，既通过找出基础解系把线性方
14、程组的无穷多解可用有限个解来表示 参考文献1 杨源书，李先科.线性代数学习和解题（第一版）M .北京邮电大学出版社，19982 金朝篙，段正梅，王汉明.线性代数（第一版）M .清华大学出版社，2006 3 王萼芳，石生明.高等代数M . 北京高等教育出版社20034 王长群，赵振云，李明如，熊胜利.线性代数（第一版）M .高等教育出版社，20015 许甫华，张贤科.高等代数解题方法（第一版）M.清华大学出版社，20016 徐鷡揤，张国印.线性代数（第一版）M .南京大学出版社，20097 魏战线.线性代数(第一版) M .西安交通大学出版社，2006 致谢在喀什师范学院的教育下经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大的提高。在老师的指导下我的毕业论文顺利通过，他帮我批阅了好多次，提供了这方面的资料和很好的意见，非常感谢他的帮助，在老师耐心的指导下，我学会了论文的三步骤：怎么样开头，怎样继续，怎样结束。非常感谢指导老师，也非常感谢我系的个位老师，在他们的教育下，使我在个方面得到了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础。此致敬礼： 2010年5月 14日