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1、首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法5.4 换元积分法首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 2cos2xdx引例sinuCcosuducos2(2 )xx dx(2 )dxcos2(2 )xdxsin2xC22xxe dx22()xexdx22xe dxueCue du2xeC2()d x2ux令2ux2ux令2ux一、第一类换元积分法首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课
2、件 ;)()(CuFduufdxxg)(dxxxf)()()()(xdxfduuf)(CuF)(CxF)(观察观察凑微分凑微分换元换元回代回代)(xu 已知)(xu 一、第一类换元积分法第一类换元积分法过程：2cos2xdxcosuducos2(2 )xx dxcos2(2 )xdx22xxe dx22()xexdx22xe dxue du首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 一、第一类换元积分法 如果f(u)、(x)及(x)都是连续函数 且 证明 只要证明F(x)f (x)(x) 设F(u)f(u) 由复合函数求导公式易知f (x
3、)(x) f(u)(x)F (u)(x)F(x) ( )d( )f uuF uC 则 ( ) ( )d( ( )fxxxFxC 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 dxxg)(dxxxf)()()()(xdxfduuf)(CuF)(CxF)(观察观察凑微分凑微分换元换元回代回代)(xu )(xu 一、第一类换元积分法第一类换元积分法过程：首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 例 1 求d21xx d21xx1ln|21|2xC d111dln| |2122xuuCxu
4、解 (令u2x1)再将u2x1代入上式得 d111dln| |2122xuuCxud111dln| |2122xuuCxu dxxg)(dxxxf)()()()(xdxfduuf)(CuF)(CxF)(观察观察凑微分凑微分换元换元回代回代)(xu )(xu ()f axb dx() ()f axb d axb1adxxx) 12(12121) 12(12121xdx首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 例 2 求23dx xx 所以 23dx xx3221(3)3xC 11232113dd23x xxuuuC 解 (令ux23)11
5、232113dd23x xxuuuC3213uCdxxg)(dxxxf)()()()(xdxfduuf)(CuF)(CxF)(观察观察凑微分凑微分换元换元回代回代)(xu )(xu dxxx)2(322)2(322xdx) 3(32122xdx首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 dxxg)(dxxxf)()()()(xdxfduuf)(CuF)(CxF)(观察观察凑微分凑微分换元换元回代回代)(xu )(xu 例 3 求2edxxx 解 222211eded()e22xxxxxxC222211eded()e22xxxxxxC222
6、211eded()e22xxxxxxC 1()uuf xxdx()uuf x dx1u首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 例 4 求tandxx 解 sintanddcosxxxxx 1dcosln|cos |cosxxCx 类似地 有cotdln|sin |xxxC sintanddcosxxxxx 1dcosln|cos |cosxxCx 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 形如形如.cossin xdxxnm(1) m, n中有一个为奇数：,coscoscoss
7、inxdxfxdxxmnm为正奇数(2) m,n均为正偶数：.sinsincossinxdxfxdxxnnm为正奇数22cos1sin,22cos1cos22xxxx由降幂降幂首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 .sin71sin52sin31753Cxxxdxxx52cossinxxdxsincossin42xdxxsinsin1sin222xdxxxsinsinsin21sin422解dxxx52cossin求首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 .4sin3212
8、sin4183Cxxx解xdx4cosxdx4cosdxxx2cos2cos21412Cxxxx4sin321812sin4141dxxxx4cos121412sin4141dxx22cos121求首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 例 5 求22dxax 解 22d111()d2xxaaxaxax 1111dd22xxaaxaax 1111d()d()22axaxaaxaax 11ln|ln|22axaxCaa 1ln|2axCaax 22d111()d2xxaaxaxax 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页
9、上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 例 6 求csc dxx ln|csc xcot x|C 解 1csc ddsinxxxx 2sindsinxxx21dcos1 cosxx 由于cossin()2xx 可得 1sec ddln|sectan |cosxxxxxCx 1csc ddsinxxxx 2sindsinxxx21dcos1 cosxx 11 cosln|21 cosxCx1 cosln|sinxCx 11 cosln |21 cosxCx首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 练习练习计算下列不定积分dxxxx1
10、02222Cxx|102|ln2dxxex21.1Cex22xadx.arctan1Caxa2cossinxxdx2sin xdx31cos3xC 11sin224xxC首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 二、第二类换元积分法 例 7 求不定积分d3xxx 解 令3 (0)txt 则 xt23 此时 dx2tdt 于是 2d32 d3xxttttx 322 (3)d2(3 )3ttttC再将3tx回代 整理后得 12d2(6)(3)33xxxxCx 2d32 d3xxttttx 322 (3)d2(3 )3ttttC 首页上一页下
11、一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 设x(t)单调可导 且(t)0 如果f(x)的原函数不易求得 而复合函数f (t)(t)的原函数F(t)易于求得 则有积分法 ( )( )d ( )d ( )xtf xxftt令 1 ( ) ( )d( )( )ftttF tCFxC1 ( ) ( )d( )( )ftttF tCFxC1 ( ) ( )d( )( )ftttF tCFxC F 1(x) 这是因为 由复合函数求导法则与反函数求导法则 F 1(x)d( )dtF tx1 ( ) ( )ddfttxtd( )dtF tx 1 ( ) ( )dd
12、fttxtd( )dtF tx 1 ( ) ( )ddfttxtf(t)f(x) 二、第二类换元积分法求微分求微分首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 二、第二类换元积分法-根式代换 例 7 求不定积分d3xxx 解 令3 (0)txt 则 xt23 此时 dx2tdt 于是 2d32 d3xxttttx 322 (3)d2(3 )3ttttC再将3tx回代 整理后得 12d2(6)(3)33xxxxCx 2d32 d3xxttttx 322 (3)d2(3 )3ttttC 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一
13、页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 例 8 求不定积分32d xxx 解 令6tx 则 xt6 dx6t5dt 所以 5223432d61 1d6d6d11xttttttttttxx 16 (1)d6d1tttt 3t26t6ln|t1|C 111366366ln|1|xxxC 则 xt6 dx6t5dt 所以 则 xt6 dx6t5dt 所以 则 xt6 dx6t5dt 所以 5223432d61 1d6d6d11xttttttttttxx 5223432d61 1d6d6d11xttttttttttxx 5223432d61 1d6d6d11xttttttttttxx 首页上一页下一
14、页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 例 9 求不定积分d1 exx 解 令1 ext 则 ext21 xln(t21) 2d211d()d1111 exxttttt 11 e1ln|ln|11 e1xxtCCt 2( 1 e1)lnexxC 2ln( 1 e1) lnexxC 2ln( 1 e1)xx C 1 ext 则 ext21 xln(t21) 则 ext21 xln(t21) 22 dd1ttxt 则 ext21 xln(t21) 22 dd1ttxt 所以 22 dd1ttxt 所以 2d211d()d1111 exxttttt2d2
15、11d()d1111 exxttttt 11 e1ln|ln|11 e1xxtCCt 21ln(1)dtt21 21tdtt t首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 练习计算不定积分111dxx（ ）1221 1dxx （ ）2ln(1)xxC21ln( 21 1)xxC 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 解 设xasint 则dxacostdt 且 22ax222sincosaatat于是 22daxxcoscos dat at t 2(1 cos2 )d2att2
16、1(sin2 )22attC 因为arcsinxta 221sin2sin cos2xaxtttaa22ax222sincosaatat22ax222sincosaatat 22daxxcoscos dat at t 2(1 cos2 )d2att21(sin2 )22attC arcsinxta 221sin2sin cos2xaxtttaa221sin2sin cos2xaxtttaa 所以 221sin2sin cos2xaxtttaa 所以 22daxx2221arcsin22axx axCa 例 10 求不定积分22daxx(a0) 二、第二类换元积分法-三角代换首页上一页下一页结束
17、微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 于是 22dxxa2secdsecattatsec dt t 解 设xatan t 则dxasec2tdt 且 ln|secttan t|C1 其中CC1lna 222222tan1 tansecxaaatatat 因为22secxata tan xta 22dxxa221ln()xaxCaa22ln()xxaC222222tan1 tansecxaaatatat222222tan1 tansecxaaatatat 22dxxa2secdsecattatsec dt t22dxxa2secdsecattatsec
18、dt t tan xta 所以 所以 22dxxa221ln()xaxCaa22ln()xxaC 例 11 求不定积分22dxxa(a0) 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 解 设xasec t 则dxasec ttan tdt 且 其中CC1lna 222222secsec1tanxaat aatat 于是 22dsectandtanxatttatxa 1sec dln|sectan |ttttC 因为22tanxata secxta 22122dln|xxxaCaaxa22ln()xxaC222222secsec1tanxa
19、at aatat 222222secsec1tanxaat aatat 22dsectandtanxatttatxa 1sec dln|sectan |ttttC 22tanxata secxta 所以 所以 22122dln|xxxaCaaxa22ln()xxaC 例 12 求不定积分22dxxa(a0) 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 ,22xa taxsintaxcos（1）一般令或 ,22ax taxsectaxcsc（2）一般令或 ,22xa taxtantaxcot（3）一般令或总结例1012，有如下规律：若被积函
20、数含有如下“根号形式”时：二、第二类换元积分法-三角代换首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 练习22.11xdxdxxx x计算不定积分和首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 2tanxt 212sin) 1 (ttx2211cos)2(ttx212tan)3(ttx212)5(tdtdxtxarctan2)4(就有 万能代换常用于三角函数有理式的积分. 令二、第二类换元积分法-万能代换首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三
21、版) 教学课件 xdxcos1dtttt2221111222cos2dxIx例13 解法一 ( 用万能代换 ) 解法二 ( 用初等化简 ) dtct cx2tan2tanxtI2sec( )22xxdtan2xc首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 21 cos1 cosxIdxx1cotsinxcx 解法三 ( 用初等化简, 并凑微分 ) 22coscscsinxxdxdxx22sincscsindxxdxx1 cossinxcxtan2xc首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 .cossin1dtan2222212211 sincos1111tddttttttcttdt|1|ln1ln | tan1|.2c 解: 例 14首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 .1 ,12dttdxtx 当分母次数高于分子次数, 且分子分母均为“因式”时, 可试用倒代换二、第二类换元积分法-倒数代换例152dxx xx2dxIx xx1221111xtdttttt1dtt 解：122(1) tc 1212 1cx