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1、定理定理一、换元公式一、换元公式证证应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）例例1 定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 不换元则不变限不换元则不变限不换元则不变限不换元则不变限 凑微分凑微分凑微分凑微分 另解另解另解另解 原式原式原式原式 解解解解 原式原式原式原式 例例1 定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 解解解解 令令令令 原式原式原式原式 换元换元换元换元 换限换限换限换限 例例1 定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 解解解解 原式原式原式原式 例例1 定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 解解解解 原式原式原式原式 换元必须换限换元必须换限 另解另解另解另
2、解 原式原式原式原式 不换元则不变限不换元则不变限不换元则不变限不换元则不变限 例例2(1)2(1)计算计算解解令令 (2)解 或提示：提示：换元一定要换积分限 不换元积分限不变 解 (3)提示：例例3 3 计算计算解解例例4 4 计算计算解解原式原式例例5 5 计算计算解解令令原式原式例例例例6 6 证明证明证明证明 分析分析分析分析：（1 1）积分区间一样；（）积分区间一样；（）积分区间一样；（）积分区间一样；（2 2）被积函数不同。）被积函数不同。）被积函数不同。）被积函数不同。解决：解决：解决：解决：采用适当的换元，使采用适当的换元，使采用适当的换元，使采用适当的换元，使 a+b-x
3、a+b-x 化为化为化为化为 x.x.证明证明证明证明 令令令令 则则则则 所以所以所以所以 所以，原命题成立。所以，原命题成立。所以，原命题成立。所以，原命题成立。换元换元换元换元 换限换限换限换限 证证奇函数奇函数例例6 6 计算计算解解原式原式偶函数偶函数单位圆的面积单位圆的面积 定积分的换元法例例1换元必须换限换元必须换限 对称区间上对称区间上对称区间上对称区间上偶函数的积分性质偶函数的积分性质偶函数的积分性质偶函数的积分性质解解解解 原式原式原式原式 偶次方化倍角偶次方化倍角偶次方化倍角偶次方化倍角 证证（1）设）设（2）设）设几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法定积分的换元法二、小结二、小结1 1、基本换元规律，与不定积分相同；、基本换元规律，与不定积分相同；、基本换元规律，与不定积分相同；、基本换元规律，与不定积分相同；2 2、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，但必须做到但必须做到但必须做到但必须做到换元同时换限换元同时换限。思考题思考题解解 令令思考题解答思考题解答计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.正确解法是正确解法是练练 习习 题题练习题答案练习题答案