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1、关于换元积分法第一页，讲稿共五十页哦 利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的.现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法 不定积分换元法.它是在积分运算过程中进行适当的变量代换,将原来的积分化为对新的变量的积分,而后者的积分是比较容易积出的.第二页，讲稿共五十页哦引例引例(因为因为 d(3x)=3dx).一、第一换元法一、第一换元法一、第一换元法一、第一换元法(或称凑微分法）或称凑微分法）或称凑微分法）或称凑微分法）令令 u=3x，则上式变为则上式变为第三页，讲稿共五十页哦那么，那么，也就是说上述结果正确也就是说上述结果正确.一般地，能
2、否把公式一般地，能否把公式定理定理 1 回答这个问题回答这个问题.第四页，讲稿共五十页哦第一换元法第一换元法且且 u=j j (x)为可微函数，为可微函数，证证已知已知 F (u)=f (u)，u=j j (x)，则则所以所以则则第五页，讲稿共五十页哦第一换元法可以分为以下三个步骤第一换元法可以分为以下三个步骤：（1）凑微分：将被积表达式凑成 的形式，（2）代换：令（3）还原：用于是：求不定积分还原，即第六页，讲稿共五十页哦用用上上式式求求不不定定积积分分的的方方法法称称为为第第一一换换元元法法或或称称凑微分法凑微分法 式就是把已知的积分式就是把已知的积分中的中的 x 所所以以说说把把基基本本
3、积积分分表表中中的的积积分变量分变量换成可微函数换成可微函数 j j (x)后仍成立后仍成立.其中其中 u=j j (x)可微可微.换成了可微函数换成了可微函数 j j (x).第七页，讲稿共五十页哦例例 1求求解解对照基本积分表，对照基本积分表，如果把如果把 dx 写成了写成了 d(3x+2)，那么就可用定理那么就可用定理 1 及及为此将为此将 dx 写成写成代入式中，代入式中，那么那么令令 3x+2=u 则则a,b 均为常数均为常数，且且 a 0.第八页，讲稿共五十页哦例例 2求求解解上式与基本积分表中上式与基本积分表中相似，相似，为此将为此将 dx 写成写成那么那么令令 4x+5=u，第
4、九页，讲稿共五十页哦例例 3求求解解上式与基本积分表中上式与基本积分表中为此将为此将 dx=d(x+1)代入式中，代入式中，那么那么第十页，讲稿共五十页哦例例 4求求(a 0 常数常数).解解上式与基本积分表上式与基本积分表第十一页，讲稿共五十页哦例例 5求求(a 0 常数常数).).解解第十二页，讲稿共五十页哦等等等等.第十三页，讲稿共五十页哦例例 6求求解解将被积分式中的将被积分式中的 xdx 因子凑微分，因子凑微分，则则经求导验算，经求导验算，结果正确结果正确.即即即即第十四页，讲稿共五十页哦例例 7求求解解凑微分，即凑微分，即则则第十五页，讲稿共五十页哦例例 8求求解解解解例例 9求求
5、第十六页，讲稿共五十页哦例例 10求求解解第十七页，讲稿共五十页哦3 3.利用三角函数的恒等式利用三角函数的恒等式利用三角函数的恒等式利用三角函数的恒等式.例例 12 求求解解第十八页，讲稿共五十页哦例例 13求求解解第十九页，讲稿共五十页哦例例 14求求解解第二十页，讲稿共五十页哦例例 15求求解解第二十一页，讲稿共五十页哦例例 16求求解解4.利用代数恒等式利用代数恒等式第二十二页，讲稿共五十页哦例例 17求求(a 0 常数常数).).解解第二十三页，讲稿共五十页哦例例 18求求解解第二十四页，讲稿共五十页哦例例 19求求解解第二十五页，讲稿共五十页哦例例 20求求解解第二十六页，讲稿共五
6、十页哦例例 21求求解解第二十七页，讲稿共五十页哦例例 22求求解解第二十八页，讲稿共五十页哦二、第二换元法二、第二换元法二、第二换元法二、第二换元法引例引例为了将被积函数中的根式去掉，应将其作为一个整体，因此令因此，将其代入原积分式中，第二十九页，讲稿共五十页哦第三十页，讲稿共五十页哦1 1.简单根式代换简单根式代换简单根式代换简单根式代换例例 22求求解解为了去掉被积函数中的根号，为了去掉被积函数中的根号，则则 dx=2tdt，于是有于是有第三十一页，讲稿共五十页哦回代变量，回代变量，得得第三十二页，讲稿共五十页哦例例 23求求解解被积函数含根式被积函数含根式为了去掉根号，为了去掉根号，于
7、是有于是有则则 dx=4t3 dt，第三十三页，讲稿共五十页哦回代变量，回代变量，得得第三十四页，讲稿共五十页哦例例 24求求解解为了去掉被积函数中的根号，为了去掉被积函数中的根号，于是有于是有第三十五页，讲稿共五十页哦第三十六页，讲稿共五十页哦2 2.三角代换三角代换三角代换三角代换例例 25求求于是有于是有解解则则 dx=acost dt，第三十七页，讲稿共五十页哦 把变量把变量 t 换为换为 x.为简便起见，为简便起见，画一个直角三角形，画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图称它为辅助三角形，如图.于是有于是有xat第三十八页，讲稿共五十页哦例例 26求求解解则则 dx=asec2 t
8、dt，于是有于是有第三十九页，讲稿共五十页哦作辅助三角作辅助三角形，形，得得axt其中其中 C=C1-lna.第四十页，讲稿共五十页哦例例 27求求解解令令 x=a sec t，则则 dx=a sec t tan t dt，于是有于是有第四十一页，讲稿共五十页哦作辅助三角形，作辅助三角形，axt得得其中其中 C=C1 lna.第四十二页，讲稿共五十页哦作三角代换作三角代换 x=a sin t 或或 x=a cos t；作三角代换作三角代换 x=a tan t 或或 x=a cot t；作三角代换作三角代换 x=a sec t 或或 x=a csc t.第四十三页，讲稿共五十页哦例例 28求求解法一三角代换法解法一三角代换法.令令 x=tan t，于是得于是得则则 dx=sec2 tdt，第四十四页，讲稿共五十页哦根据根据 tan t=x，作辅助三角作辅助三角形，形，得得1xt=ln|csc t cot t|+C第四十五页，讲稿共五十页哦解法二凑微分法解法二凑微分法.于是有于是有第四十六页，讲稿共五十页哦解法三根式代换法解法三根式代换法.于是有于是有第四十七页，讲稿共五十页哦例例 29求求解解第四十八页，讲稿共五十页哦常用的凑微分列表如下：第四十九页，讲稿共五十页哦感谢大家观看第五十页，讲稿共五十页哦