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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物一一、离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数二、几种常见的离散型随机变量二、几种常见的离散型随机变量三三、小结小结第第2.22.2节节 离散型随机变量离散型随机变量及其分布函数及其分布函数我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物一、离散型随机变量的分布函数一、离散型随机变量的分布函数离散型离散型(1)离散型离散型 若随机变量所有可能的取值为有限个若随机变量
2、所有可能的取值为有限个或可列无穷个，则称其为离散型随机变量或可列无穷个，则称其为离散型随机变量. 观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是 :随机变量随机变量连续型连续型实例实例11, 2, 3, 4, 5, 6.非离散型非离散型其它其它我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为 “连续射击连续射击, 直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”, 则则 X 的可能值是的可能值是: ., 3, 2, 1实例
3、实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则随机变量则随机变量 X 记为记为“击中目标击中目标的次数的次数”, 则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为:.30, 3, 2, 1, 0我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时的测误差测量某零件尺寸时的测误差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为 (a, b) 内的任一值内的任一值.实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯
4、泡的寿命灯泡的寿命”.)., 0 (2)连续型连续型 若若随机变量所有可能的取值可以连续随机变量所有可能的取值可以连续地充满某个区间地充满某个区间,则称其为则称其为连续型随机变量连续型随机变量.则则 X 的取值范围为的取值范围为 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物说明说明 ;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 kkp., 2 , 1,), 2 , 1(的的分分布布律律量量称称此此式式为为离离散散型型随随机机变变为为的的概概率率即即事事件件取取各各个个可可能能值值的的概概率率所所有
5、有可可能能取取的的值值为为设设离离散散型型随随机机变变量量XkpxXPxXXkxXkkkk 定义定义我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量的分布律也可表示为 nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21或或我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例1 1 设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号灯灯. .
6、每盏灯以每盏灯以 的概率禁止汽车通过的概率禁止汽车通过. .以以 表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信表示汽车首次停下时已经过的信号灯盏数（信号灯的工作是相互独立的），求号灯的工作是相互独立的），求 的分布律的分布律. .01)pp（XX解：X的分布律为Xkp01234 p(1)p p2(1)pp3(1)pp4(1)p我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 xxkkpxXPxF)(分布函数分布律kkxXPp 离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的关系：离散型随机变量的分布函数与其分布律之间的
7、关系：也就是：也就是：. )()( xxxxkkkkxXPpxXPxF我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二、常见离散型随机变量的概率分布二、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量设随机变量 X 只取只取0与与1两个值两个值 , 它的分布律为它的分布律为1.两点分布两点分布则称则称 X 服从服从 (0-1) 分布分布或或两点分布两点分布或或伯努利分布伯努利分布.Xkp0p 11p我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：
8、表里边有一个活的生物 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点都属于两点分布分布.说明说明我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2.二项分布二项分布若若X的分布律为：的分布律为：则则nkqpCkXPknkkn0,1,2, 称随机变量称随机变量X X服从参数为服从参数为n,pn,p的的二项分布二项分
9、布。记为。记为 ),(pnBX, ,其中其中q q1 1p p二项分布二项分布1 n两点分布两点分布我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物?)20, 1 , 0(20.20, 2 . 0.1500,一级品的概率是多少一级品的概率是多少只只中恰有中恰有只元件只元件问问只只现在从中随机地抽查现在从中随机地抽查品率为品率为级级已知某一大批产品的一已知某一大批产品的一小时的为一级品小时的为一级品用寿命超过用寿命超过某种型号电子元件的使某种型号电子元件的使按规定按规定 kk分析分析 这是不放回抽样这是不放回
10、抽样.但由于这批元件的总数很但由于这批元件的总数很大大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.2020,重重伯伯努努利利试试验验只只元元件件相相当当于于做做检检查查试试验验否否为为一一级级品品看看成成是是一一次次把把检检查查一一只只元元件件看看它它是是例例2我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解,20 只只元元件件中中一一级级品品的的只只数数记记以以 X),.,(2020BX
11、则则因此所求概率为因此所求概率为.,).().(201080202020 kkkXPkk012. 00 XP058. 01 XP137. 02 XP205. 03 XP218. 04 XP175. 05 XP109. 06 XP055. 07 XP022. 08 XP007. 09 XP002. 010 XP时时当当11,001. 0 kkXP我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物图示概率分布图示概率分布我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快
12、，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.,400,02. 0,率率试试求求至至少少击击中中两两次次的的概概次次独独立立射射击击设设每每次次射射击击的的命命中中率率为为某某人人进进行行射射击击解解,X设击中的次数为设击中的次数为).,(020400BX则则的的分分布布律律为为X,)98. 0()02. 0(400400 kkkkXP .400, 1 , 0 k因此因此1012 XPXPXP399400)98. 0)(02. 0(400)98. 0(1 .9972. 0 例例3我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表
13、里边有一个活的生物3. 泊松分布泊松分布 0,1, 2,0,1,2,!0.,( ).keP XkkkXX 设随机变量所有可能取的值为而取各个值的概率为其中是常数 则称服从参数为 的泊松分布 记为我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放射出的与分析放射性物质放射出的 粒子个数的情况时粒子个数的情况时, ,他们做了他们做了2608 2608 次观察次观察( (每次时间为每
14、次时间为7.5 7.5 秒秒) )，发现，发现放射性物质在规定的一段时间内放射性物质在规定的一段时间内, , 其放射的粒子其放射的粒子数数X 服从泊松分布服从泊松分布. . 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物地震地震 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等都服从泊松分布话呼唤次数等都服从泊松
15、分布.火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在
16、这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物泊松定理泊松定理( ,)(1)0,lim!nkkn knnnnknXB n pP XkC ppnpkP Xkek设且满足则对任意非负整数有证明证明,npn由 得我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物knnknppknknkXP )()()!( !1(1)(1)1)!kn kn nnkknn（ ） （1211 (1)(1)(1)(1) (1)!knkkknnnnn1211 (1)(1)(1)(1)(1)!nkkkknn
17、nnn, l i m!knnP Xkekll 令令有有我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二项分布二项分布 泊松分布泊松分布n很大很大, p 很小很小上面我们提到上面我们提到我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 ：设：设1000 辆车通过辆车通过,出事故的次出事故的次数为数为 X , 则则可利用泊松定理计可利用泊松定理计算算, 1 . 00001. 01000 所求概率所求概率为为-1000999
18、1000= 10.99990.00010.99991.0047. 0! 11 . 0!011 . 01 . 0 ee解解2 XP1012 XPXPXP),.,(000101000BX例例4 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，
19、证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物4. 几何分布几何分布 若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为则称则称 X 服从服从几何分布几何分布.实例实例 设某批产品的次品率为设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有对该批产品做有放回的抽样检查放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品那么所抽到的产品数目数目 X 是一个随机变量是一个随机变量 , 求求X 的分布律的分布律., 1, qpXkpk21pqppqk 1 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界
20、里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物)(121kkAAAAPkXP )()()()(121kkAPAPAPAP ppppk )1()1()1)(1(.1pqk ), 2 , 1( k所以所以 X 服从几何分布服从几何分布.说明说明 几何分布可作为描述某个试验几何分布可作为描述某个试验 “首次成功首次成功”的概率模型的概率模型.解解., 3, 2, 1所取的可能值是所取的可能值是X,个个产产品品是是正正品品抽抽到到的的第第表表示示设设iAi我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活
21、的生物5.超几何分布超几何分布设设X的分布律为的分布律为),min,(nMmCCCmXPnNmnMNmM210 .,服从超几何分布服从超几何分布则称则称这里这里XNMMmNn 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到.说明说明我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1.常见离散型随机变量的分布常见离散型随机变量的分布 两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布三、内容小结三、内容小结超几何分布超几何分布我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东
22、西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物).,(,)10(), 2 , 1(, 0, 1,)10(21pnXXXXniiiXpnni参数为参数为服从二项分布服从二项分布那末那末分布并且相互独立分布并且相互独立它们都服从它们都服从次试验失败次试验失败若第若第次试验成功次试验成功若第若第设设每次试验成功的概率为每次试验成功的概率为立重复伯努里试验立重复伯努里试验次独次独对于对于分布的推广分布的推广二项分布是二项分布是 .)10(. 2泊泊松松分分布布之之间间的的关关系系分分布布二二项项分分布布与与、 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西
23、，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物)., 2 , 1 , 0(,!)()1(,)(,nkeknpppknkXPnnppnnpkknk 即即为参数的泊松分布为参数的泊松分布于以于以时趋时趋当当为参数的二项分布为参数的二项分布以以 二项分布二项分布泊松分布泊松分布1010.p,n 两点分布两点分布1 n我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例1 1 为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工需配备适量的维修工人人 (
24、工人配备多了就浪费工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生产配备少了又要影响生产),现有同类型设备现有同类型设备300台台,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发生发生故障的概率都是故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况我们也只考虑这种情况) ,问至少问至少需配备多少工人需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障但不能及才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于时维修的概率小于0.01?解解.人人设需配备设需配备 N设备设备记同一时刻发生故障的记同一时刻发生故障的,X台台数数为为).,(,0103
25、00BX那那末末所需解决的问题所需解决的问题,N是确定最小的是确定最小的使得使得合理配备维修工人问题合理配备维修工人问题备份题备份题我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物由泊松定理由泊松定理得得,!303 NkkkeNXP故有故有,99. 0!303 Nkkke即即 Nkkke03!31 13!3Nkkke,01. 0 . 8是是小的小的查表可求得满足此式最查表可求得满足此式最N个工人个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于概率小于0.01.故至少需
26、配备故至少需配备8.99. 0 NXP我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例2 (人寿保险问题人寿保险问题) 有有2500个同年龄同社会阶层个同年龄同社会阶层的人在保险公司里参加了人寿保险的人在保险公司里参加了人寿保险,在每一年里在每一年里每个人死亡的概率为每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在每个参加保险的人在1月月1日付日付12元保险费元保险费,而在死亡时而在死亡时,家属可在公司里家属可在公司里领取领取2000元元.问问 (1)保险公司亏本的概率是多少保险公司亏本的概率是多少?
27、(2) 保险公司获利不少于一万元的概率是多少保险公司获利不少于一万元的概率是多少? 保险公司在保险公司在1月月1日的收入是日的收入是 2500 12=30000元元解解: 设设X表示这一年内的死亡人数表示这一年内的死亡人数,则则)002. 0 ,2500( BX我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物保险公司这一年里付出保险公司这一年里付出2000X元元.假定假定 2000X 30000,即即X 15人时公司亏本人时公司亏本.于是于是,P公司亏本公司亏本=P X 15=1-PX 14由泊松定理得由泊松定理得, 5002. 02500P公司亏本公司亏本0002. 0!511405kkke(2) 获利不少于一万元获利不少于一万元,即即也即也即X 10P获利不少于一万元获利不少于一万元=PX 10105050. 9863!kkek30000 -2000X 10000，