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1、数学必修 4 基础知识与典型例题三角函数角的概念1.与终边相同的角的集合： _ 第一象限角的集合：_ 2.角度与弧度的互换关系：_ 3.弧长公式： _ 扇形面积公式：_ 例 1.已知为第三象限角，则2所在的象限是 ( ) (A) 第一或第二象限(B)第二或第三象限(C)第一或第三象限(D)第二或第四象限三角函数的定义1.三角函数定义 :在角终边上任取一点( , )P x y（与原点不重合） ，记22yxr，则sin_,cos_,tan_2.各象限角的三角函数值符号: 一全二正弦 ,三切四余弦sincostan1.同角三角函数基本关系:_ 2.诱导公式 : 公式（一）公式（二）)2sin(xk_
2、; )sin( x_; )2cos(xk_; )cos( x_; )2tan(xk_; )tan( x_; 公式（三）公式（四）)sin(x_; )sin(x_; )cos(x_; )cos(x_; )tan(x_; )tan(x_; 公式（五）公式（六）例2. 已 知 角的 终 边 经 过 点)3,4(P, 求cossin2的值 . 例3. 若是 第 三 象 限 角 , 且coscos22, 则2是( ) (A) 第一象限角 (B)第二象限角(C)第三象限角 (D)第四象限角例 4.若cos0,sin20,且则角的终边所在象限是（）(A) 第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限例
3、 5.化简：440sin12)25sin()4tan()tan()23cos()sin(sin3cos例 6.已知点P(cos ,sin)在直线20 xy上，试求下列各三角函数式的值 : （1）tan(2)223sin4cos. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 1.三角函数的性质：函数xysinxycosxytan三角函数公式)23sin(x_: )23sin(x_: )23cos(x_: )23cos(x_:
4、公式（七）公式（八）)2sin(x_: )2sin(x_: )2cos(x_; )2cos(x_; 3.两角和与差公式: )sin(_; )cos(_; )tan(_; 4.二倍角公式：2sin_; 2tan_; 2cos_; 降幂公式 ：2sin_2cos_注: 变形公式：xxx2sin21cossin；tan()(1tantan)tantan , 三角函数恒等变形的基本策略: 常值代换：特别是用“ 1”的代换，22cossin1=45tan角的配凑 : 用已知角表示未知角2()()、2()()、22、22、()、30)30(等降次与升次。即倍角公式升次与降幂公式降次。切化弦。辅助角公式：)
5、sin(cossin22xbaxbxa例 7. 设)2, 0(,若,53sin则)4cos(2（）(A)57(B)51(C)27(D)4 例 8.223sin163sin+ 313sin253sin( ) 1( )2A1( )2B3( )2C3( )2D例9. 已 知tan，tan是 方 程23 340 xx两根，且，)2,2(， 则等于 ( ) (A)32(B)32或3(C)3或32(D)3例 10. 求下列各式的值：75tan175tan1tan17 +tan28 +tan17 tan28例11. 已知锐角,满足cos =53,cos( + )=135,求 cos . 名师资料总结 - -
6、 -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 三角函数的图像和性质一个周期内的图像定义域值域最小正周期最值当且仅当 x=_ 函数取最大值1；当且仅当 x=_ 函数取最小值 -1；当且仅当x=_ 函数取最大值1；当且仅当x=_ 函数取最小值-1；无单调性增区间：减区间：增区间：减区间：增区间：减区间：奇偶性对称轴方程对称中心2. 函数KxAy)sin(的性质：函数KxAy)sin(），（其中00A的最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是
7、；3. 函数)0,0, 0,0()sin(kAkxAy的图象的作法：五点作图法，列表取点如下：x0 2232xy由函数xysin的图像变换得到函数kxAy)sin(（0,0A, ）图像：由函数xysin的图像 _ 得函数xysin的图像 _ 得函数)sin( xy的图像 _ 得函数)sin( xAy的图像 _ 得函数kxAy)sin(的图像。由函数xysin的图像 _ 得函数)sin(xy的图像 _ 得函数)sin( xy的图像 _ 得函数)sin( xAy的图像 _ 得函数kxAy)sin(的图像。三角函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -
8、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 三角函数注： 以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象.函数sin()yAx的图像和性质以函数sinyx为基础 , 通过图像变换来把握. 如sinyx图像变化为sin()yAx(A 0,0) 相应地，函数xysin的单调增区间2,222kk变为2222kxk的解集是函数sin()yAx的增区间 . 例 12. 下列函数中，最小正周期为2的是（）A)32sin(xy B)32tan( xy C)62cos( xyD)64tan( xy例 13. 将函数xy4sin
9、的图象向左平移12个单位，得到)4sin( xy的图象，则等于（）A12B3 C3D12例 14. 函数22cos()()363yxx的最小值是（）()2A()3B()1C()1D例 15. 若函数)sin()(xxf的图象（部分）如图所示，则和的取值是 ( ) (A)3, 1 (B)3, 1(C)6,21 (D)6,21例 16. 已知函数xxxxxfcossinsin21cos2122求xf的最小正周期；求xf的单调递增区间。平面向量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第
10、 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 1.向量的有关概念（1）向量 :既有 _又有_的量 .向量的 _叫向量的模 (也就是用来表示向量的有向线段的长度).（2）理解零向量、相等向量、单位向量、共线向量、相反向量的概念。注： 向量不能比较大小，向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与b相等 ,记为ab共线向量又称为平行向量。规定:0与任一向量共线. 0与任一向量垂直。2.向量的运算运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法OA+OB=_OBOA=_ 记OA=(x1,y1),OB=(x1,y2)则OA OB=_OB OA=_ OA+AB=_ 实数与向量的乘积AB=a， R
11、记a=(x,y)，则 a=_ 两个向量的数量积ba_ 记1122(,),(,)ax ybx y则ab=_注： 根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(ab)2=222aa bb，但要注意两个向量的数量积不满足结合律，即)()(cbacba3.运算性质及重要结论：平面向量基本定理: 如果12,e e是同一平面内两个不共线的向量, 那么对于这个平面内任一向量a, 有且只有一对实数12, 使1122aee。其中12,e e叫做表示这一平面内所有向量的_;平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e的方向分解为两个向量
12、的和, 并且这种分解是唯一的. 这说明如果1 122aee且1122aee, 那么 _.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若),(yxA，则OA =_当向量起点不在原点时，若),(11yxA),(22yxB，则AB=_中点坐标公式：已知),(),(2211yxByxA，则AB的中点坐标为 _三角形的重心坐标公式：ABC三个顶点的坐标分别为),(),(),(332211yxCyxByxA, 则ABC的重心的坐标是_设非零向量),(),(2211yxbyxa，则ba /_名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
13、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 设非零向量1122,abxyxy，则ba_两个向量数量积的重要性质：_ (求线段的长度 ); _ (求角度 )。注:_叫做向量b在a方向上的投影。数量积的几何意义是数量积ba等于a的模与b在a方向上的投影的积.若a=(x,y)，则a=_;如果111(,)P xy,222(,)Pxy, 则12PP=2121(,)xx yy,_, 这就是平面内两点间的距离公式.练习：1. 河水的流速为2m/s， 一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸， 则小船在静水中的速度大小
14、为( )A10m/s B226m/s C 46m/s D12m/s 2. 已知AM是ABC的BC边上的中线，若AB=a,AC=b，则AM等于（）A. 21(a -b) B. 21(b -a) C. 21( a +b) D. 12(a +b)3. 已知平面向量(3,1)a，( ,3)bx，且ab，则x（）A3 B1 C1 D34. 已知向量a(4,2) ，b(x,3)，且ab，则x的值是 ( )A6 B 6 C9 D 125. 已知向量)2 , 3(a, )0 , 1(b，向量ab与ba2垂直，则实数的值为 ( )A.71 B. 71 C. 61 D. 616. 已知a、b均为单位向量 ,它们的
15、夹角为60 , 那么|a+ 3b| = （）A7B10C13D47. 已知a=（3，4），b=（5，12），则a与b夹角的余弦值为（）A6563B65 C513D 138. 已知向量a，b满足ab，|a| 1，|b| 2，则 |2ab| ( )A0 B 22 C4 D89. 如图，ABC为等腰三角形，30BA，设，AC边上的高为BD若用ba,表示，则表达式为（）ABCD10. 以 A(2，5) ，B(5，2) ， C(10，7) 为顶点的三角形的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形11. 已知12,5| , 3|baba且，则向量a在向量b上
16、的投影为（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - A512B3 C4 D512. 若向量a (1,1) ，b(2,5) ，c(3 ，x) ，满足条件 (8ab) c30，则x( )A6 B5 C4 D 313. 若平面向量b与向量)2, 1 (a的夹角是o180，且53|b，则b( )A)6,3( B )6, 3( C )3, 6( D )3, 6(14. 已知向量)3,2(),2, 1(ba， 若向量c满足bac/)
17、(，)(bac，则c（）A7 7(,)9 3 B77(,)39 C7 7(, )3 9 D77(,)9315若OA=)8 ,2(，OB=)2, 7(，则31AB=_16已知向量)2, 1(, 3 ba，且ba，则a的坐标是 _17若3a,2b，且a与b的夹角为060，则ab。18在平面四边形ABCD中，若ABDC，且 |AB| |BC| ，则四 边形ABCD是_19已知4,3ba， 且向量a，b不共线， 若向量a+k b与向量a-k b互相垂直， 则实数k的值为20. 已知向量(cos ,sin),(cos ,cos),( 1,0)axx bxxc. 若6x，则向量a与c的夹角为；当9,28x
18、时，求函数( )21f xa b的最大值为 .21. 已知2, 8 ,6, 4 ,abab则a_, b_,a与b的夹角的余弦值是_.22. 已知3a，2b，a且b的夹角为60，求baba32的值。23. 已知向量AAasin,cos，1 ,2b，且ba，求Atan的值；若xAxxfsintan2cosRx，求xf的值域。（12 分）24. 已知向量a (x23cos,x23sin),b(2cosx,2sinx), 且x-3,4.（1）求ba及ba; （2）若babaxf)(, 求)(xf的最大值和最小值.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -