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1、函数的单调性的判定及应用一、基础知识：1、对单调性的理解：（1）它是一个区间概念；（2）由函数单调性的定义知，可以正反互推；（3）函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式；（4）函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。2、常见函数的单调性：一次函数.当时，是这个函数的单调增区间；当时，是这个函数的单调减区间.反比例函数.当时，和都是这个函数的单调减区间，当时，和都是这个函数的单调增区间.二次函数.当时是这个函数的单调减区间，是它的单调增区间；当时是这个函数的单调增区间，是它的单调减区间；指数函数.当时，是这个函数
2、的单调增区间，当时，是这个函数的单调减区间.对数函数. 当时，是这个函数的单调增区间，当时，是它的单调减区间.对勾函数: 增区间为：，减区间为：；3、单调性的判定法：定义法:即（1）设x,x是所研究区间内任两个自变量，且xx；（2）判定f(x)与f(x)的大小；（3）作差比较或作商比较. 图象法:单调性的运算性质（实质上是不等式性质）:复合函数单调性判断法则：规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。即我们所说的“同增异减”规律。导数法二、题型：（一）判断或证明函数的单调性：1如果函数在上是增函数，那么对于任意的，下列结论中不正确的是（
3、C ） 2. 给定函数，其中在区间上单调递减的函数序号是（ C）A. B. C. D. 3已知定义在R上的函数满足：对任意的，都有；当时，有（1）利用奇偶性的定义，判断的奇偶性；（2）利用单调性的定义，判断的单调性；（3）若，解不等式解析：（1）令，得，得将“y”用“”代替，得，即，为奇函数（2）设、，且，则，即，在R上是增函数（3）=6，。不等式即为，是R上的增函数，于是，解之得。（二）求函数的单调区间：1求函数的单调递增区间解：yx22|x|3函数图象如图所示：函数yx22|x|3的单调递增区间是(，1和0,12.函数的单调减区间为 （三）函数单调性的应用：、求值或求参数的取值范围：1.若
4、函数在上单调递增，则实数的取值范围是 解：要使函数在上单调递增，则，解得2.若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是 简解：由已知可得，若函数的单调递增区间是 和又因为函数在区间单调递增，所以或，解得或，3已知函数 在区间上是增函数，求实数的范围。解：令=.因为，所以要使在上是增函数，只要在上是减函数，且0借助二次函数的图象，有 解得：评注：依函数的的单调性得到关于的不等式组是解决本题的关键。4.已知幂函数在区间上单调递增，则实数的值为 3 略解：由题意，解得或当时，幂函数，在区间上单调递减，不符合题意；当时，幂函数，在区间上单调递增，符合题意；5已知函数 满足条件，对任意在，都有，求实数的取
5、值范围。（简析：可将变形为）6.已知函数在上是单调递减函数，则实数的取值范围为( C )A. B. C. D. 解析：因为在上单调递减函数,所以,即,解得,故选C.、比较大小：1. 若，则a，b，c的大小关系为( B )A. B. C. D. 【详解】因为，由指数函数单调递增，且可得，且，又因为，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查指数式，对数式比较大小，指数式的大小比较一般是化为同底数来进行，不同类的数值比较一般采用介值法进行，侧重考查数学抽象的核心素养.2.已知，则、的大小关系为（ A ）A. B. C. D.略解：，3. 已知，则，的大小关系为（ C ）A. B. C. D. 略解：，又
6、因，4.已知，已知，则（ B ）A. B. C. D. 略解：是偶函数，且在上是减函数又，5已知函数且， ，则的值（A）A一定大于0； B一定小于0； C等于0； D正负都有可能。、解方程、不等式：1. 奇函数满足，且在上单调递减，则的解集为（ B ）A. B. C. D. 提示：因为是奇函数，所以可变形为所以或，又且在上单调递减结合图象可知选B2.设函数，则满足不等式的的取值范围是（ C ）A. B. C. D. 提示：分类讨论或单调性,须注意定义域3.已知函数，若，则实数的取值范围是（ A ）A. B. C. D. 简析：用函数的奇偶性及单调性即可4.已知是定义域为的偶函数，当时，那么，不
7、等式的解集为 略解：因是偶函数，当时，则时，又因是偶函数，所以则可化为即，5.已知函数，则满足不等式的的取值范围是 略解：令，则，即又的定义域为，且奇函数，在上为减函数，解得6. 已知函数，若，则的取值范围为 提示：易证是偶函数，再借助单调性即可。7已知定义在区间上的函数满足，且当时，.（1）求的值；（2）判断的单调性并予以证明；（3）若，解不等式.解:（1）令，代入得，故.（2）任取，且则，由于当时，,所以,即，因此.所以函数在区间上是单调递减函数. (3) 由得，而，所以.由函数在区间上是单调递减函数，且，得，因此不等式的解集为.、求值域和最值：1函数的值域为_ (，3) _2已知函数,若且，则的取值范围是( C )(A) (B)(C) (D) 【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+b=又0ab,所以0a1f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+).3.若函数的定义域和值域都是，则=（ B ）A. B. C. D.略解：对分和两种情况讨论，然后利用函数的单调性确定对应关系得4.已知函数的值域为，则的取值范围是 略解：，在的值域为在时，最大值必须大于等于0，即满足：，解得8学科网（北京）股份有限公司