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1、函数奇偶性的判定及应用一、基础知识：1奇偶性：函数的奇偶性是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式；奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。2奇偶性的判定法：（1）偶函数的判定：偶函数须同时满足两个条件：定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是偶函数.满足，或，若时，.由偶函数的定义知：（）为偶函数的图象上的一点，则（）也是图象上一点（2）奇函数的判定：奇函数须同时满足两个条件：定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.满足，或，若时，由奇函数的定义知：（）为奇函数的图象上的一点，则（）也是图象上一点.若的定义域，则一定有。（的定义域，则无此性质）。二、题型：(一) 函数奇偶性判定：
2、1下列函数中为偶函数的是（ B ）A B C D试题分析：根据偶函数的定义，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.2下列判断正确的是（ C ）A函数是奇函数 B函数是偶函数C函数是非奇非偶函数 D函数既是奇函数又是偶函数3.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ C ）A是偶函数 B 是奇函数 C是奇函数 D是奇函数4.已知，则下列结论正确的是（ A ）A. 是偶函数 B. 是奇函数C. 是奇函数 D. 是偶函数提示：令，可得是偶函数令，可判断且5函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( D ) A.是偶函数
3、 B.是奇函数 C. D.是奇函数解析 与都是奇函数，函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，即是奇函数。6已知定义在函数满足：对任意的、都有，则下列说法正确的是（ D ）A1是奇函数 B1是奇函数C2010是奇函数 D+2010是奇函数7.已知函数为实数 （1）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的，都有，求的取值范围. 解：（1）函数的定义域为R，且 若是偶函数，则对任意的 都有 ，即 即 若是奇函数，则对任意的 都有 ，即 即 当时，为偶函数，当时，为奇函数， 当时，既非偶函数也非奇函数（2）由 可得 即当 时， 单调递减，其最大值为1 同理，由 可得 即
4、当 时， 单调递减，且无限趋近于0，(二) 函数奇偶性的应用：1函数是定义在上的偶函数，则(B)A B. C0 D1解析：由偶函数的定义，知a1,2a关于原点对称，所以2a1a，解得a.又f(x)为偶函数，则b0. 所以ab.2若函数是奇函数，则 .3. 若函数为奇函数，则 ( A )A B C D14. 若是偶函数，则_.【解析】又为偶函数，即5若函数为奇函数，则的值为_-1_分析：由已知函数为奇函数，则恒成立，可得的值，进而可得的值解析：因为函数为奇函数，则恒成立所以，解得，6. 函数的图象关于原点对称，是偶函数，则（ ）A1 B-1 C D解析：关于原点对称，函数是奇函数，=1是偶函数，
5、对任意的都成立， ， 故选：D7.设为奇函数，且当时，则当时，= ( D ) A. B. C. D. 【详解】是奇函数，当时，得故选D【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养采取代换法，利用转化与化归的思想解题8若是奇函数，是偶函数，且，则 解析：，即，两式联立，消去得9设是定义在R上的奇函数，且当时，,则的值等于（ A ）A-4 B2 C3 D49. 已知偶函数满足()，则= 0 .10.设是定义在上的奇函数，且，则=（ B ）A. -1 B. -2 C. 1 D. 2简析：，11.已知函数，若，则的值为 .12.设函数,若,则_.解析：易知函数的定义域为,因为,所以函数是定义域上的奇函数,所以.5学科网（北京）股份有限公司