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1、3.2.3直线的一般式方程学习目标1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程AxByC0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为AxByC0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化知识链接1过点A(x0，y0)分别垂直于x轴、y轴的直线方程为：xx0，yy0.2直线的点斜式方程：yy0k(xx0)直线的两点式方程：(x1x2，y1y2)预习导引1在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线方程AxByC0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式2对于直线AxByC0，当B0时，其
2、斜率为，在y轴上的截距为；当B0时，在x轴上的截距为；当AB0时，在两轴上的截距分别为，.3直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于x，y的二元一次方程(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列(3)x的系数一般不为分数和负数(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.要点一直线的一般式与其他形式的转化例1(1)下列直线中，斜率为，且不经过第一象限的是()A3x4y70 B4x3y70C4x3y420 D3x4y420(2)直线x5y90在x轴上的截距等于()A. B5 C. D3答案(1)B(2)D解析(1)将一般式化为斜截式，斜率为的有
3、：B、C两项又yx14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B项正确(2)令y0则x3.规律方法(1)一般式化为斜截式的步骤：移项得ByAxC；当B0时，得斜截式：yx.(2)一般式化为截距式的步骤：方法一：把常数项移到方程右边，得AxByC；当C0时，方程两边同除以C，得1；化为截距式：1.方法二：令x0求直线在y轴上的截距b；令y0求直线在x轴上的截距a；代入截距式方程1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式跟踪演练1已知直线l经过点A(5,6)和点B(4,8)，求直线l的一般式方程和截距式方程，并画出图形解因为直线
4、l经过点A(5,6)，B(4,8)，所以由两点式，得，整理得2xy160，化为截距式得1，所以直线l的一般式方程为2xy160，截距式方程为1.图形如图所示：要点二直线方程的应用例2已知直线l的方程为3x4y120，求满足下列条件的直线l的方程：(1)过点(1,3)，且与l平行；(2)过点(1,3)，且与l垂直解方法一l的方程可化为yx3，l的斜率为.(1)l与l平行，l的斜率为.又l过点(1,3)，由点斜式知方程为y3(x1)，即3x4y90.(2)l与l垂直，l的斜率为，又l过点(1,3)，由点斜式可得方程为y3(x1)，即4x3y130.方法二(1)由l与l平行，可设l的方程为3x4ym
5、0.将点(1,3)代入上式得m9.所求直线的方程为3x4y90.(2)由l与l垂直，可设l的方程为4x3yn0.将(1,3)代入上式得n13.所求直线的方程为4x3y130.规律方法一般地，直线AxByC0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0，与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAyn0.这是经常采用的解题技巧跟踪演练2已知A(2,2)和直线l：3x4y200.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程解(1)将与直线l平行的方程设为3x4yC10，又过点A(2,2)，所以3242C10，所以C114.所求直
6、线方程为3x4y140.(2)将与l垂直的直线方程设为4x3yC20，又过点A(2,2)，所以4232C20，所以C22，所以直线方程为4x3y20.要点三由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3(1)若方程(m25m6)x(m23m)y10表示一条直线，则实数m满足_(2)当实数m为何值时，直线(2m2m3)x(m2m)y4m1.倾斜角为45；在x轴上的截距为1.(1)答案m3解析若方程不能表示直线，则m25m60且m23m0.解方程组得m3，所以m3时，方程表示一条直线(2)解因为已知直线的倾斜角为45，所以此直线的斜率是1，所以1，所以解得所以m1.因为已知直线在x轴上的截距为1，令y0
7、得x，所以1，所以解得所以m或m2.规律方法已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤跟踪演练3已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围(1)证明直线l的方程是k(x2)(1y)0，令解得无论k取何值，直线总经过定点(2,1)(2)解由方程知，当k0时直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则必须有解之得k0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k0.故k的取值范围为k|k0.1若方程AxByC0表示直线，则A、B应满足的条件为()AA0 BB0CAB0 DA2B20答案D解析方程AxByC0表示直
8、线的条件为A、B不能同时为0，即A2B20.2已知ab0，bc0，则直线axbyc通过()A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限答案C解析由axbyc，得yx，ab0，直线在y轴上的截距0 BA0，B0，C0CAB0，C0答案D解析通过直线的斜率和截距进行判断3已知直线axby10在y轴上的截距为1，且它的倾斜角是直线xy0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为()A.，1 B.，1C，1 D，1答案D解析原方程化为1，1，b1.又axby10的斜率ka，且xy0的倾斜角为60，ktan 120，a，故选D.4直线ax3my2a0(m0)过点(1，1)，则直线
9、的斜率k等于()A3 B3C. D答案D解析由点(1，1)在直线上可得a3m2a0(m0)，解得ma，故直线方程为ax3ay2a0(a0)，即x3y20，其斜率k.5已知直线(a2)x(a22a3)y2a0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为_答案解析把(3,0)代入已知方程得：(a2)32a0，a6.直线方程为4x45y120，令x0，得y.6直线l：ax(a1)y20的倾斜角大于45，则a的取值范围是_答案(，)(0，)解析当a1时，直线l的倾斜角为90，符合要求；当a1时，直线l的斜率为，只要1或者0即可，解得1a或者a0.综上可知，实数a的取值范围是(，)(0，)7已知直线l1
10、：ax(1a)y3与l2：(a1)x(2a3)y2互相垂直，求a的值解方法一当a1时，l1为x3，l2为y，故l1l2.当a时，l1的方程为xy3，l2的方程为x2，显然l1，l2不垂直当a1且a时，由k1k21，得1，解得a3.综上所述，当a1或a3时，l1l2.方法二因为l1l2，所以a(a1)(1a)(2a3)0，即a22a30.解得a1或a3.故当a1或a3时，l1l2.二、能力提升8直线l1：axyb0，l2：bxya0(a0，b0，ab)在同一坐标系中的图形大致是()答案C解析将l1与l2的方程化为斜截式得：yaxb，ybxa，根据斜率和截距的符号可得选C.9若直线l1：xay20
11、与直线l2：2ax(a1)y30互相垂直，则a的值为_答案0或1解析a0时，l1：x2，l2：y3，显然l1l2；a1时，l1：xy20，l2：x，显然l1和l2不垂直；a0，且a1时，则k1，k2.由l1l2得1，解得a1.故a的值为0或1.10已知两条直线a1xb1y40和a2xb2y40都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为_答案2x3y40解析由条件知易知两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直线2x3y40上，即2x3y40为所求11根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为，且经过点A(5,3)；(2)过点B(3,
12、0)，且垂直于x轴；(3)斜率为4，在y轴上的截距为2；(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；(5)经过C(1,5)，D(2，1)两点；(6)在x轴，y轴上截距分别是3，1.解(1)由点斜式方程得y3(x5)，即xy350.(2)x3，即x30.(3)y4x2，即4xy20.(4)y3，即y30.(5)由两点式方程得，即2xy30.(6)由截距式方程得1，即x3y30.三、探究与创新12求满足下列条件的直线方程：(1)过点A(1，4)，与直线2x3y50平行；(2)过点A(1，4)，与直线2x3y50垂直解(1)设所求直线方程为2x3yC10，则由题意得213(4)C10，解得C110，所以
13、所求直线方程为2x3y100.(2)设所求直线方程为3x2yC20，则由题意得312(4)C20，解得C25，所以所求直线方程为3x2y50.13(1)已知直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20平行，求m的值(2)当a为何值时，直线l1：(a2)x(1a)y10与直线l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直？解方法一(1)由l1：2x(m1)y40，l2：mx3y20知：当m0时，显然l1与l2不平行当m0时，l1l2，需.解得m2或m3，m的值为2或3.(2)由题意知，直线l1l2.若1a0，即a1时，直线l1：3x10与直线l2：5y20显然垂直若2a30，即a时，直线l1：
14、x5y20与直线l2：5x40不垂直若1a0，且2a30，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1，k2.当l1l2时，k1k21，即()()1，a1.综上可知，当a1或a1时，直线l1l2.方法二(1)令23m(m1)，解得m3或m2.当m3时，l1：xy20，l2：3x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2.同理当m2时，l1：2x3y40，l2：2x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2.m的值为2或3.(2)由题意知直线l1l2，(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1，将a1代入方程，均满足题意故当a1或a1时，直线l1l2.3.3直线的交点坐标与距离公式下课啦，咱们来
15、听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们
16、会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源
17、。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说
18、：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？齐：主动关好。小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？主
19、持人：可以。小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。小记者：请这位同学谈谈好吗？答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！主持人：你们还有发言的吗？答：有。生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。动物
20、：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）同学们的笑声不断。主持人：水伯伯，您这是干什么呢？水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！4.主持人：大家欢迎老师讲话！同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果： 此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标
21、兵活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花
22、说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生
23、）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？