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1、3.1.2两条直线平行与垂直的判定学习目标1.能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直.2.能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系知识链接1直线的倾斜角的取值范围为0，180)2经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率k(x1x2)预习导引1两条直线平行与斜率的关系(1)如图设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1l2，则k1k2；反之，若k1k2，则l1l2.(2)如图若两条不重合的直线的斜率不存在，则这两条直线也平行2两条直线垂直与斜率的关系(1)如图，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如果它们的斜率
2、之积等于1，那么它们互相垂直即k1k21l1l2，l1l2k1k21.(2)如图，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直要点一两条直线平行关系的判定与应用例1根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系(1)l1经过点A(2,1)，B(3,5)，l2经过点C(3，3)，D(8，7)；(2)l1的倾斜角为60，l2经过点M(3,2)，N(2，3)解(1)由题意知k1，k2.因为k1k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1l2.(2)由题意知k1tan 60，k2.因为k1k2，所以l1l2或l1与l2重合规律方法1.判断两直线是否平行，应首先看两直
3、线的斜率是否存在，即看两点的横坐标是否相等，若存在再看斜率是否相等2判断斜率是否相等实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两直线平行的条件跟踪演练1根据给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系(1)l1平行于y轴，l2经过点P(0，2)，Q(0,5)；(2)l1经过点E(0,1)，F(2，1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)解(1)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1l2.(2)由题意知k11，k21，虽然k1k2，但是E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合要点二两条直线垂直关系的判定与应用例2判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：
4、(1)l1经过点A(1，2)，B(1,2)，l2经过点M(2，1)，N(2,1)；(2)l1的斜率为10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(10,40)，N(10,40)解(1)直线l1的斜率k12，直线l2的斜率k2，k1k21，故l1与l2不垂直(2)直线l1的斜率k110，直线l2的斜率k2，k1k21，故l1l2.(3)l1的倾斜角为90，则l1x轴直线l2的斜率k20，则l2x轴故l1l2.规律方法使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则
5、进行第二步；(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；(3)三求值：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论跟踪演练2已知直线l1l2，若直线l1的倾斜角为30，则直线l2的斜率为_答案解析由题意可知直线l1的斜率k1tan 30，设直线l2的斜率为k2，则k1k21，k2.要点三平行与垂直关系的综合应用例3已知A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判定图形ABCD的形状解由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图，由斜率公式可得kAB，kCD，kAD3，kBC.所以kABkCD，由图可知AB与CD不重
6、合，所以ABCD，又kADkBC，所以AD与BC不平行又因为kABkAD(3)1，所以ABAD，故四边形ABCD为直角梯形规律方法1.利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定2由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形跟踪演练3已知ABC的顶点A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，若ABC为直角三角形，求m的值解若A为直角，则ACAB，所以kACkAB1，即1，得m7；若B为直角，则ABBC，所以kABkBC1，即1，得m3；若C为直
7、角，则ACBC，所以kACkBC1，即1，得m2.综上可知，m7或m3或m2.1已知A(2,0)，B(3,3)，直线lAB，则直线l的斜率k等于()A3 B3C D.答案B解析因为直线lAB，所以kkAB3.2已知直线l1的斜率为0，且l1l2，则l2的倾斜角为()A0 B135C90 D180答案C解析kl10且l1l2，kl2不存在，直线l2的倾斜角为90.3下列说法正确的有()若两直线斜率相等，则两直线平行；若l1l2，则k1k2；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；若两直线斜率都不存在，则两直线平行A1个 B2个C3个 D4个答案A解析当k1k2时，l
8、1与l2平行或重合，不成立；中斜率不存在时，不正确；同也不正确只有正确4过点(，)，(0,3)的直线与过点(，)，(2,0)的直线的位置关系为()A垂直 B平行C重合 D以上都不正确答案A解析过点(，)，(0,3)的直线的斜率k1；过点(，)，(2,0)的直线的斜率k2.因为k1k21，所以两条直线垂直5直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(1，y)，若l1l2，则x_，y_.答案17解析l1l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为，x1，y7.1.两直线平行或垂直的判定方法.斜率直线斜率均不存在平行或重合一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在垂直斜率均存在相等
9、平行积为1垂直2.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想一、基础达标1已知l1l2，直线l1的倾斜角为45，则直线l2的倾斜角为()A45 B135 C45 D120答案B解析由l1l2及k1tan 451，知l2的斜率k21，l2的倾斜角为135.2经过两点A(2,3)，B(1，x)的直线l1与斜率为1的直线l2平行，则实数x的值为()A0 B6 C6 D3答案C解析直线l1的斜率k1，由题意可知1，x6.3以A(1,1)，B(2，1)，C(1,4)为顶点的三角形是()A锐角三角形B钝角三角形C以A点为直角顶点的直角三角形D以B点为直角顶点的直角三角形答案C解析kAB，kAC，k
10、ABkAC1，ABAC，A为直角4已知ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为()A(3,4) B(4,3) C(3,1) D(3,8)答案A解析设D(m，n)，由题意得ABDC，ADBC，则有kABkDC，kADkBC，解得点D的坐标为(3,4)5已知直线l1的倾斜角为45，直线l2l1，且l2过点A(2，1)和B(3，a)，则a的值为_答案4解析l2l1，且l1的倾斜角为45，kl2kl1tan 451，即1，a4.6已知直线l1经过点A(0，1)和点B，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为_答案
11、6解析由题意得l1l2，kl1kl2.kl1kAB，kl2kMN3，3，a6.7当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m21，m2)的直线：(1)倾斜角为135；(2)与过两点(3,2)，(0，7)的直线垂直；(3)与过两点(2，3)，(4,9)的直线平行解(1)由kAB1，解得m或1.(2)由kAB，且3，且，解得m或3.(3)令2，解得m或1.二、能力提升8已知A(m,3)，B(2m，m4)，C(m1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为()A1 B0 C0或2 D0或1答案D解析当AB与CD斜率均不存在时，m0，此时ABCD，当kABkCD时，m1，此时ABCD.9
12、若点P(a，b)与Q(b1，a1)关于直线l对称，则l的倾斜角为()A135 B45 C30 D60答案B解析kPQ1，kPQkl1，l的斜率为1，倾斜角为45.10若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3b,3a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为_答案1解析由两点的斜率公式可得：kPQ1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为1.11已知直线l1经过点A(3，m)，B(m1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(2，m2)(1)若l1l2，求m的值；(2)若l1l2，求m的值解由题意知直线l2的斜率存在且k2.(1)若l1l2，则直线l1的斜率也存在，由k1k2，得，解得m1或m6，经检验，当
13、m1或m6时，l1l2.(2)若l1l2.当k20时，此时m0，l1斜率存在，不符合题意；当k20时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，则k1k21，即1，解得m3或m4，所以当m3或m4时，l1l2.三、探究与创新12已知ABC三个顶点坐标分别为A(2，4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率解由斜率公式可得kAB，kBC0，kAC5.由kBC0知直线BCx轴，BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在设AB、AC边上高线的斜率分别为k1、k2，由k1kAB1，k2kAC1，即k11，k251，解得k1，k2.BC边上的高所在直线的斜率不存在；AB边上
14、的高所在直线的斜率为；AC边上的高所在直线的斜率为.13已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形解(1)当AD90时，如图所示，四边形ABCD为直角梯形，ABDC且ADAB.易求得m2，n1.(2)当AB90时，如图所示，四边形ABCD为直角梯形，ADBC且ABBC.kADkBC，kABkBC1，解得m，n.综上所述，m2，n1或m，n.下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：
15、“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣
16、服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，
17、同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，
18、看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？齐：主动关好。小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？主持人：可以。小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。小记者：请这位同学谈谈好吗？答：今天参加班会我知道
19、了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！主持人：你们还有发言的吗？答：有。生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）同学们的笑声不断。主持人：水伯伯，您
20、这是干什么呢？水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！4.主持人：大家欢迎老师讲话！同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果： 此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜
21、个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，
22、洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可
23、认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？