高中数学必修一第三章-.公开课教案课件课时训练练习教案课件.docx

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1、32函数模型及其应用32.1几类不同增长的函数模型学习目标1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长快慢;理解直线上升,对数增长,指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题,建模解决实际问题预习导引1三种函数模型的性质 函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0,)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x增大逐渐变陡随x增大逐渐变缓随n值而不同2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0,)上,函数yax(a1),ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上(2)在区间(0,)上随着x的增大,yax(a1)增长速度越来

2、越快,会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度,而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢(3)存在一个x0,使得当xx0时,有logaxxnax.要点一函数模型的增长差异例1(1)当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是()Ay10 000x Bylog2xCyx1 000 Dyx(2)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈

3、指数函数变化的变量是_答案(1)D(2)y2解析(1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数yx增长速度最快(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,可知变量y2关于x呈指数函数变化规律方法在区间(0,)上,尽管函数yax(a1),ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上随着x的增大,yax(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度,而ylogax

4、(a1)的增长速度则会越来越慢,总会存在一个x0,当xx0,就有logaxxnax.跟踪演练1如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是()A指数函数:y2t B对数函数:ylog2tC幂函数:yt3 D二次函数:y2t2答案A解析由题中图象可知,该函数模型为指数函数要点二几种函数模型的比较例2某汽车制造商在2013年初公告:随着金融危机的解除,公司计划2013年生产目标定为43万辆已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示:年份201020112012产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将2

5、010,2011,2012,2013定义为第一、二、三、四年现在你有两个函数模型:二次函数模型f(x)ax2bxc(a0),指数函数模型g(x)abxc(a0,b0,b1),哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系?解建立年销量y与年份x的函数,可知函数必过点(1,8),(2,18),(3,30)(1)构造二次函数模型f(x)ax2bxc(a0),将点坐标代入,可得解得a1,b7,c0,则f(x)x27x,故f(4)44,与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g(x)abxc(a0,b0,b1),将点坐标代入,可得解得a,b,c42.则g(x)x42,故g(4)44244.4,与计划误

6、差为1.4.由(1)(2)可得,f(x)x27x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系规律方法1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型,也就是借助数据信息,得到相关方程,进而求出待定参数2理解“模型能更好反映该公司年销量y与年份x的关系”的含义,在此基础上利用既定值来检验模型的优劣跟踪演练2函数f(x)lg x,g(x)0.3x1的图象如图(1)指出C1,C2分别对应图中哪一个函数;(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较)解(1)由函数图象特征及变化趋势,知曲线C1对应的函数为g(x)0.3x1,曲线C2对应的函数为f(x)

7、lg x,(2)当x(0,x1)时,g(x)f(x);当x(x1,x2)时,g(x)f(x);当x(x2,)时,g(x)f(x)函数g(x)0.3x1呈直线增长,函数f(x)随着x的逐渐增大,其函数值变化的越来越慢,为“蜗牛式”增长.1当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是()Ay100x Bylog100xCyx100 Dy100x答案D解析几种函数模型中,指数函数增长最快,故选D.2当2x4时,2x,x2,log2x的大小关系是()A2xx2log2x Bx22xlog2xC2xlog2xx2 Dx2log2x2x答案B解析方法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数ylog2x,y

8、x2,y2x,在区间(2,4)上从上往下依次是yx2,y2x,ylog2x的图象,所以x22xlog2x.方法二比较三个函数值的大小,作为选择题,可以采用特殊值代入法可取x3,经检验易知选B.3某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数yf(x)的图象大致是()答案D解析设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意,axa(10.104)y,故ylog1.104x(x1),yf(x)的图象大致为D中图象4某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为yalog2(x1),设这种动物第一年有100只,到第7年它们发展到()A300只 B400只C500只 D

9、600只答案A解析由已知第一年有100只,得a100.将a100,x7代入yalog2(x1),得y300.5某种产品每件80元,每天可售出30件,如果每件定价120元,则每天可售出20件,如果售出件数是定价的一次函数,则这个函数解析式为_答案yx50(0x200)解析设解析式为ykxb,由解得k,b50,yx50(0x200)三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型(3)幂函数模型yxn(n0),则可以描述增长幅度不同的变化:n值较小(n1)时,增长较慢;n值较大(n1)时,增长较快一、

10、基础达标1下列函数中,增长速度最慢的是()Ay6x Bylog6x Cyx6 Dy6x答案B解析对数函数增长的越来越慢,故选B.2甲从A地到B地,途中前一半路程的行驶速度是v1,后一半路程的行驶速度是v2(v1v2),则甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系图示为()答案B解析v1v2,前半段路程用的时间长3据报道,某淡水湖的湖水在50年内减少了10%,若按此规律,设2013年的湖水量为m,从2013年起,经过x年后湖水量y与x的函数关系为()Ay0.9 By(10.1)mCy0.9m Dy(10.150x)m答案C解析设每年湖水量为上一年的q%,则(q%)500.9,q%0.9.x年后的湖

11、水量为y0.9m.4某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是()Ay0.2x By(x22x)Cy Dy0.2log16x答案C解析将x1,2,3,y0.2,0.4,0.76分别代入验算5已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系ya(0.5)xb,现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件则此厂3月份该产品产量为_万件答案1.75解析由得y20.5x2,所以3月份产量为y20.5321.75万件6在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变

12、化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示现给出下列说法:前5 min温度增加的速度越来越快;前5 min温度增加的速度越来越慢;5 min以后温度保持匀速增加;5 min以后温度保持不变其中正确的说法是_答案解析因为温度y关于时间t的图象是先凸后平,即5 min前每当t增加一个单位增量t,则y相应的增量y越来越小,而5 min后是y关于t的增量保持为0,则正确7一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游,甲旅行社说:“如果父亲买全票一张,其余人可享受半票优惠”乙旅行社说:“家庭旅行为集体票,按原价优惠”这两家旅行社的原价是一样的试就家庭里不同的孩子数,分别建立表达式,计算两家旅行社的收费,并讨论哪

13、家旅行社更优惠解设家庭中孩子数为x(x1,xN*),旅游收费y,旅游原价为a.甲旅行社收费:ya(x1)a(x3)a;乙旅行社收费:y(x2)a.(x2)a(x3)a(x1)a,当x1时,两家旅行社收费相等当x1时甲旅行社更优惠二、能力提升8若x(1,2),则下列结论正确的是()A2xxlg x B2xlg xxCx2xlg x Dxlg x2x答案A解析x(1,2),2x2.x(1,),lg x(0,1)2xxlg x.9.向高为H的水瓶内注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是()答案B解析取OH的中点(如图)E作h轴的垂线,由图知当水深h达到容量一半

14、时,体积V大于一半易知B符合题意10在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg、火箭(除燃料外)质量m kg的关系是v2 000ln,则当燃料质量是火箭质量的_倍时,火箭的最大速度可达12 km/s.答案e61解析由题意2 000ln12 000.ln6,从而e61.11大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵记鲑鱼的游速为V(m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现V与log3成正比,且当Q900时,V1.(1)求出V关于Q的函数解析式;(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数解(1)设Vklog3,当Q900时,V1,1klog3,k,V关于

15、Q的函数解析式为Vlog3.(2)令V1.5,则1.5log3,Q2 700,所以,一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位三、探究与创新12某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本价为25元,因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出,为了净化环境,工厂设计两套方案对污水进行处理,并准备实施方案一:工厂的污水先净化处理后再排出,每处理1立方米污水所用原料费2元,并且每月排污设备损耗费为30 000元;方案二:工厂将污水排到污水处理厂统一处理,每处理1立方米污水需付14元的排污费问:(1)工厂每月生产3 000件产品时,你作为厂长,在不污染环境,又节约

16、资金的前提下应选择哪种方案?通过计算加以说明(2)若工厂每月生产6 000件产品,你作为厂长,又该如何决策呢?解设工厂每月生产x件产品时,依方案一的利润为y1,依方案二的利润为y2,由题意知y1(5025)x20.5x30 00024x30 000,y2(5025)x140.5x18x.(1)当x3 000时,y142 000,y254 000,y1y2,应选择方案二处理污水(2)当x6 000时,y1114 000,y2108 000,y1y2,应选择方案一处理污水13我们知道:人们对声音有不同的感觉,这与它的强度有关系声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示,但在实际测量时,声音的强度水平常用

17、L1表示,它们满足以下公式:L110 lg(单位为分贝,L10,其中I011012,是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端)回答下列问题:(1)树叶沙沙声的强度是11012 W/m2,耳语的强度是11010 W/m2,恬静的无线电广播的强度是1108 W/m2,试分别求出它们的强度水平;(2)某一新建的安静小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下,试求声音强度I的范围为多少?解(1)由题意知:树叶沙沙声的强度水平为L210 lg10 lg 10(分贝);耳语的强度水平为L310 lg10 lg10220(分贝);恬静的无线电广播的强度水平为L410lg10lg10440

18、(分贝);(2)由题意知0L150,即010lg50,所以1105,即11012I1107.所以新建的安静小区的声音强度I的范围为11012,1107)下课啦,咱们来听个小故事吧:活动目的:教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的,每个人都要保护它,做到节约每一滴水,造福子孙万代。活动过程:1.主持人上场,神秘地说:“我让大家猜个谜语,你们愿意吗?”大家回答:“愿意!”主持人口述谜语:“双手抓不起,一刀劈不开,煮饭和洗衣,都要请它来。”主持人问:“谁知道这是什么?”生答:“水!”一生戴上水的头饰上场说:“我就是同学们猜到的水。听大家说,我的用处可大了,是真的吗?”主持人:我宣布:

19、“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说:“同学们,你们知道我有多重要吗?”齐答:“知道。”甲:如果没有水,我们人类就无法生存。小熊说:我们动物可喜欢你了,没有水我们会死掉的。花说:我们花草树木更喜欢和你做朋友,没有水,我们早就枯死了,就不能为美化环境做贡献了。主持人:下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话,水的用处真叫大;洗衣服,洗碗筷,洗脸洗手又洗脚,煮饭洗菜又沏茶,生活处处离不开它。栽小树,种庄稼,农民伯伯把它夸;鱼儿河马大对虾,日日夜夜不离它;采煤发电要靠它,京城美化更要它。主持人:同学们,听完了这个快板,你们说水的用处大不大?甲说:看了他们的快板表演,我知道日常生活种离不了水。乙说

20、:看了表演后,我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说:我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人:水有这么多用处,你们该怎样做呢?(1)(生):我要节约用水,保护水源。(2)(生):我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对,以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。(3)(生):前几天,我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目,很受教育,同学们看得可认真了,知道了我们北京是个缺水城市,我们再不能浪费水了。(4)(生):我要用洗脚水冲厕所。3.主持人:大家谈得都很好,下面谁想出题考考大家,答对了请给点掌声。(1)(生):小明让爸爸刷车时把水龙头开小点,请回答对不对。(2)(生):小兰告诉奶奶把洗菜水别到

21、掉,留冲厕所用。(3)一生跑上说:主持人请把手机借我用用好吗?我想现在就给姥姥打个电话,告诉她做饭时别把淘米水到掉了,用它冲厕所或浇花用。(电话内容略写)(4)一生说:主持人我们想给大家表演一个小品行吗?主持人:可以,大家欢迎!请看小品这又不是我家的大概意思是:学校男厕所便池堵了,水龙头又大开,水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所,看见后又皱眉又骂,但都没有关水管,嘴里还念念有词,又说:“反正不是我家的。”旁白:“那又是谁家的呢?”主持人:看完这个小品,你们有什么想法吗?谁愿意给大家说说?甲:刚才三个同学太自私了,公家的水也是大家的,流掉了多可惜,应该把水龙头关上。乙:上次我去厕所看见水龙头没关

22、就主动关上了。主持人:我们给他鼓鼓掌,今后你们发现水龙头没关会怎样做呢?齐:主动关好。小记者:同学们,你们好!我想打扰一下,听说你们正在开班会,我想采访一下,行吗?主持人:可以。小记者:这位同学,你好!通过参加今天的班会你有什么想法,请谈谈好吗?答:我要做节水的主人,不浪费一滴水。小记者:请这位同学谈谈好吗?答:今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条,这样就可以提醒同学们节约用水了。小记者:你们谈得很好,我的收获也很大。我还有新任务先走了,同学们再见!水跑上来说:同学们,今天我很高兴,我“水伯伯”今天很开心,你们知道了有了我就有了生命的源泉,

23、请你们今后一定节约用水呀!让人类和动物、植物共存,迎接美好的明天!主持人:你们还有发言的吗?答:有。生:我代表人们谢谢你,水伯伯,节约用水就等于保护我们人类自己。动物:小熊上场说:我代表动物家族谢谢你了,我们也会保护你的!花草树木跑上场说:我们也不会忘记你的贡献!水伯伯:(手舞足蹈地跳起了舞蹈)同学们的笑声不断。主持人:水伯伯,您这是干什么呢?水伯伯:因为我太高兴了,今后还请你们多关照我呀!主持人:水伯伯,请放心,今后我们一定会做得更好!再见!4.主持人:大家欢迎老师讲话!同学们,今天我们召开的班会非常生动,非常有意义。水是生命之源,无比珍贵,愿同学们能加倍珍惜它,做到节约一滴水,造福子孙后代

24、。5.主持人宣布:“水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果: 此次活动使学生明白了节约用水的道理,浪费水的现象减少了,宣传节约用水的人增多了,人人争做节水小标兵活动目的:教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的,每个人都要保护它,做到节约每一滴水,造福子孙万代。活动过程:1.主持人上场,神秘地说:“我让大家猜个谜语,你们愿意吗?”大家回答:“愿意!”主持人口述谜语:“双手抓不起,一刀劈不开,煮饭和洗衣,都要请它来。”主持人问:“谁知道这是什么?”生答:“水!”一生戴上水的头饰上场说:“我就是同学们猜到的水。听大家说,我的用处可大了,是真的吗?”主持人:我宣布:“水”是万物

25、之源主题班会现在开始。 水说:“同学们,你们知道我有多重要吗?”齐答:“知道。”甲:如果没有水,我们人类就无法生存。小熊说:我们动物可喜欢你了,没有水我们会死掉的。花说:我们花草树木更喜欢和你做朋友,没有水,我们早就枯死了,就不能为美化环境做贡献了。主持人:下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话,水的用处真叫大;洗衣服,洗碗筷,洗脸洗手又洗脚,煮饭洗菜又沏茶,生活处处离不开它。栽小树,种庄稼,农民伯伯把它夸;鱼儿河马大对虾,日日夜夜不离它;采煤发电要靠它,京城美化更要它。主持人:同学们,听完了这个快板,你们说水的用处大不大?甲说:看了他们的快板表演,我知道日常生活种离不了水。乙说:看了表演后

26、,我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说:我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人:水有这么多用处,你们该怎样做呢?(1)(生):我要节约用水,保护水源。(2)(生):我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对,以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。(3)(生):前几天,我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目,很受教育,同学们看得可认真了,知道了我们北京是个缺水城市,我们再不能浪费水了。(4)(生):我要用洗脚水冲厕所。3.主持人:大家谈得都很好,下面谁想出题考考大家,答对了请给点掌声。(1)(生):小明让爸爸刷车时把水龙头开小点,请回答对不对。(2)(生):小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉,留冲厕所用。(3)一生跑上说:主持人请把手机借我用用好吗?我想现在就给姥姥打个电话,告诉她做饭时别把淘米水到掉了,用它冲厕所或浇花用。(电话内容略写)(4)一生说:主持人我们想给大家表演一个小品行吗?主持人:可以,大家欢迎!请看小品这又不是我家的大概意思是:学校男厕所便池堵了,水龙头又大开,水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所,看见后又皱眉又骂,但都没有关水管,嘴里还念念有词,又说:“反正不是我家的。”旁白:“那又是谁家的呢?”主持人:看完这个小品,你们有什么想法吗?谁愿意给大家说说?

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