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1、 江苏省南通市 2021 届高三月考模拟测试数学试题2020.9一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 0 x 3 是 x -1 b 0F ， F ，过 F 作的左，右焦点分别为+121ABF 的内切圆的垂直 x 轴的直线交椭圆 E 于 A ， B 两点，点 A 在 x 轴上方若 AB = 3，21 916AF 的方程是（）面积为，则直线2A 3x + 2y - 3 = 0C 4x + 3y - 4 = 0B 2x + 3y - 2 = 0D 3x + 4y - 3 = 0x3( $x 1,2 ，使得( )( )g
2、 x = -x - 2ax + 4 ，若对，x 0,28 已知 f x ln x，=- +4 4x212( ) ( )f x g x 成立，则 的取值范围是（）a12125 8ln 2 -1 5,-5A,B,+CD -,- +8168 44二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。f (x)f (x)f (x +1) f (x + 2)与 都为奇函数，则（）R9函数A.的定义域为 ，且f (x)为周期函数为奇函数B.f (x +3)f (x + 4)为偶函数C.为奇函
3、数D. a (n N )SnS S ,是其前 项和.若10设d* 是等差数列， 是其公差，nn56678则下列结论正确的是A. d SD. S 与S 均为S 的最大值B a =79567n3C(3, 2)y = 且渐近线为x，则下列结论正确的是（）11 已知双曲线 过点3x2CCB. 的离心率为3- y =1A. 的方程为23y eC.曲线 =-1Cx - 2y -1= 0 CD.直线 与 有两个公共点x 2-经过 的一个焦点y = Asin tw12声音是由物体震动产生的波，期中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数1f
4、 (x) = sin x + sin 2x，则下列结论正确的是（）2 0,2p上有 3 个零点2p f (x)f (x)在A.是的一个周期B2 3 34pf (x)f (x)0,C.的最大值为D在上是增函数2三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。13若 6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有空)种(用数字填114在 2x5x 的系数为_的展开式中，-2x7a,b,c.且a2=b2+ c2-bc，DABC的面 积为15 ABC 的内 角 A,B,C 的对 边分 别为2a = 3，则S + 6cos BcosCS,的
5、最大值为_.ln x,0 x 2e ( ) ( )f x - mx = 0f x=16已知( )f 4e x ,2e x 4e，若方程有 2 个不同的实根，则- 的左、右顶点分别为 A ， B ，点 P 在椭圆 O 上运动，若O :已知椭圆+=a2 b21PAB 面积的最大值为 2 3 ，椭圆 O 的离心率为（1）求椭圆 O 的标准方程；2( )x + y - 2 = r ， 0 r 011，由题意得，3a 2a q 14+=11q = 27q -5q -18 = 0a = 2.1，解得，所以2a 的通项公式为 a = 2 .因此数列nnn111 11bn()，=-（2）由（1）知，log a
6、 log a(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1+-+22a 122n 1+-11 1 11111nTn(1)(1-)=- + - + +3 3 5-=.22n 1 2n 1 22n 1 2n 1-+19（1） X 所有可能的取值为 0，1，2，3，4，5，6，1 111 1， P X =1 = 2 =1( )()P X = 0 = =，5 5 25110 5251 1 2171 21 31( )()P X = 2 =+ 2 =， P X = 3 = 2 + 2 = ，10 10 5 52 2 310010 52 35 106511150339()()()P X = 4 = + 2
7、 =， P X = 5 = 2 =， P X = 6 =，5 5 10 105 102510 10 100 X 的分布列为XP0123456111715115069252510025100Y 元的分布列为：1（2）选择延保方案一，所需费用1111E Y = 6000 + 7500 + 9000 +5069( )10500 +12000 = 8580 (元)14525100Y 元的分布列为：2选择延保方案二，所需费用Y277407740 + a7740 + 2a7 6769P10025100676921a( )()()E Y = 7740 + 7740 + a + 7740 + 2a = 774
8、0 +(元)2100251005021a( ) ( )E Y - E Y = 840 -，125021a( ) ( )E Y - E Y = 840 - 0 ，即 0 a 2000 时，选择方案二，当当当125021a( ) ( )E Y - E Y = 840 -= 0 ，即 a = 2000 时，选择方案一，方案二均可， 2000 时，选择方案一125021a( ) ( )E Y - E Y = 840 -125020. （1）证明：因为 AD AB ，平面 ABD 平面 ABC ，平面 ABDI 平面 ABC = AB ， AD 平面 ABD ，所以 AD 平面 ABC ，因为 BC 平
9、面 ABC ，所以 AD BC 2AB = BC =AC ，所以 AB + BC = AC ，所以 AB BC ，2 2 2因为2因为 AD I AB = A，所以 BC 平面 ABD ()（2）解：设 AD = x 0 x 4 ，则 AB = BC = 4 - x ，111 ( )(x - 8x +16x 0 x 0 ，V = f x 单调递增；0 x 时， f当34( ) ( ) x 0 ，V = f x 单调递减 x 4 时， f当34AD = x = 时，四面体 ABCD 的体积取得最大值故当3以 B 为坐标原点，建立空间直角坐标系 B - xyz ，8 8838 44 4( )则 B
10、 0,0,0 ，A 0, ,0C,0,0D 0, ,E, ,0，33 33 38uuurn BC 0x 0=38( )设平面 BCD 的法向量为 n = x, y, z ，则uuurn BD 0，即，4 =yz 0=+33()令 z = -2，得 n = 0,1,-2 ，()同理可得平面 BDE 的一个法向量为 m = 1,-1,2 ，-5306则 = -56306由图可知，二面角 C - BD - E 为锐角，故二面角 C - BD - E 的余弦值为SPAB21. （1）由题可知当点 P 在椭圆 O 的上顶点时，最大，ab 2 3=1c 1SPAB= 2ab = ab = 2 3a 2此时
11、，= = ， b = 3 ， c =1，2a 2abc2 - 2 = 2x2 y21= 椭圆 O 的标准方程为+43( )( )（2）设过点 B 2,0 与圆 E 相切的直线方程为 y = k x - 2 ，即 kx - y - 2k = 0 ，2 2k- -( )x + y - 2 2 = r 相切， d直线与圆 E ： 2r= ，2=k12 +( )4 - r k + 8k + 4 - r = 0 即得222()k ， k k k ，则 k k =1，设两切线的斜率分别为12121 2( )y k x 2 =-( )( )1( )C x , y ， D x , y ，由3 4k x 16k
12、 x 16k 12 02 2 - 2 + 2 - = ，设 + xy221122111+= 14316k2 -128k6-12k2 -2xxy=1，即 =1， =1；13 4k13 4k13 4k+ 2+2+21118k 6 8 6k-12k-12k2 -22x2y同理：=，=；2122213 4k4 3k23 4k4 3k+ 2+2+2119 -12k-12k1 -1yy4 3k3 4k2k-+2+K( )=，21111CDx - x8 6k8k 6 4 k1-22 -+21211 -14 3k3 4k+221112kk8k 2 -6 y( )x-直线 CD 的方程为 +1 =113 4k4
13、 k3 4k+2+1+ 22111k7kky( )x( ) ( ) x 142 k 1 4 k 1整理得 =1-1=1( )-，4 k 12 +2 +2 +111( )直线 CD 恒过定点 14,0 1 14 x21( ) ( )( )1，定义域为 0,+ ，+ -22（1）证明：设j xf x-1alnx=- + =x1 1 x 1-( )j x = -则=x xx22( )j x 0，当 0 x 1时，( ) ( )( )j x0,1内是减函数，在 1,+ 内是增函数，故在所以 x =1是( )的极小值点，也是 j(x)的最小值点，j x1 12( )j(x)j (x) =j (1)= 0
14、 ，所以 f x-1 + a所以4 xmin( )( )（2）解：函数 f x 的定义域为 0,+ ，( )( )2x 1 x 11112x x 1+-2 - -( )f x= -x 2x-=，2x22x32x33( )( )当 0 x 1时， f x 1时， f x 0 ，( ) ( )( )所以 f x 在 0,1 内是减函数，在 1,+ 内是增函数，( )( )所以 x =1是 f x 的极小值点，也是 f x 的最小值点，( )( )= f 1 = a ，f x即min( )( )x 1 3x 111 3- = -4x2 2x 4-+( ) ( )f x g x若 a = 0 ，则-=
15、+，4x2( ) ( )( ) ( )当 0 x g x ；当 x =1时， f x = g x ；10 ( ) ( )当 x 1时， f x g x ( )f x , 0 x 1 0 ，则当 0 g x ，此时 h x = f x a 0 ，( )( )( )当 x 1时， f x a 0 ， g x 0 ，此时 h x 0 ，( )所以 h x 没有零点1 14 x2( )f x-1 + ，a当 a 0 ，则当 0 x 2 -a +1-1 + a = 0而 ，所以，2 a 1- +42 a 1- +( ) ( )( )( )f x0,1f x= f 1 = a ，x c4x2 2x 44x
16、2 2x 4c22c4cx cx( )f x , 0 x c f x ，从而( ) h x=，( )g x , x c( )x 和 10于是 h x 有两个零点( )故当 a 0 时， h x 没有零点，当 a 0 时， h x 有两个零点11-12k-12k1 -1yy4 3k3 4k2k-+2+K( )=，21111CDx - x8 6k8k 6 4 k1-22 -+21211 -14 3k3 4k+221112kk8k 2 -6 y( )x-直线 CD 的方程为 +1 =113 4k4 k3 4k+2+1+ 22111k7kky( )x( ) ( ) x 142 k 1 4 k 1整理得
17、 =1-1=1( )-，4 k 12 +2 +2 +111( )直线 CD 恒过定点 14,0 1 14 x21( ) ( )( )1，定义域为 0,+ ，+ -22（1）证明：设j xf x-1alnx=- + =x1 1 x 1-( )j x = -则=x xx22( )j x 0，当 0 x 1时，( ) ( )( )j x0,1内是减函数，在 1,+ 内是增函数，故在所以 x =1是( )的极小值点，也是 j(x)的最小值点，j x1 12( )j(x)j (x) =j (1)= 0 ，所以 f x-1 + a所以4 xmin( )( )（2）解：函数 f x 的定义域为 0,+ ，(
18、 )( )2x 1 x 11112x x 1+-2 - -( )f x= -x 2x-=，2x22x32x33( )( )当 0 x 1时， f x 1时， f x 0 ，( ) ( )( )所以 f x 在 0,1 内是减函数，在 1,+ 内是增函数，( )( )所以 x =1是 f x 的极小值点，也是 f x 的最小值点，( )( )= f 1 = a ，f x即min( )( )x 1 3x 111 3- = -4x2 2x 4-+( ) ( )f x g x若 a = 0 ，则-=+，4x2( ) ( )( ) ( )当 0 x g x ；当 x =1时， f x = g x ；10
19、 ( ) ( )当 x 1时， f x g x ( )f x , 0 x 1 0 ，则当 0 g x ，此时 h x = f x a 0 ，( )( )( )当 x 1时， f x a 0 ， g x 0 ，此时 h x 0 ，( )所以 h x 没有零点1 14 x2( )f x-1 + ，a当 a 0 ，则当 0 x 2 -a +1-1 + a = 0而 ，所以，2 a 1- +42 a 1- +( ) ( )( )( )f x0,1f x= f 1 = a ，x c4x2 2x 44x2 2x 4c22c4cx cx( )f x , 0 x c f x ，从而( ) h x=，( )g x , x c( )x 和 10于是 h x 有两个零点( )故当 a 0 时， h x 没有零点，当 a 0 时， h x 有两个零点11