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1、 江苏省南通市 2021 届高三月考模拟测试数学试题2020.9一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 03 是 1 2 成立的（） x 0 的左，右焦点分别为F ， F ，过 F 作Ea b121垂直 轴的直线交椭圆 于 ， 两点，点 在 轴上方若E A B= 3，ABF 的内切圆的xAxAB29面积为 ，则直线 AF 的方程是（16）21 A3x + 2y 3 = 0C4x + 3y 4 = 0B2x + 3y 2 = 0D3x + 4y 3 = 0( ( )= ln + ，g x = x2 2ax + 4 ，
2、若对 0,2 ，$ 1,2 ，使得x x x( )f xx38 已知4 4x12( ) ( )f x g x成立，则 的取值范围是（ ）a12125 8ln 21 55,+ C ,A ,+BD ,8168 44二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。(x)f (x +1) f (x + 2)与9函数 f 的定义域为 ，且都为奇函数，则（）RA.C.f (x) 为奇函数 B. f (x) 为周期函数f (x +3) 为奇函数 D. f (x + 4)为偶函数 (n N
3、 ) ,是等差数列，d 是其公差，S 是其前 项和.若S S S S Sn10设 a*n56678n则下列结论正确的是A. d SD. S 与S 均为S 的最大值B79567n3(3, 2) 且渐近线为y = 11 已知双曲线C 过点x ，则下列结论正确的是（）3x2 y =13B.C 的离心率为A.C 的方程为23= e 1Cx 2y 1= 0 C与 有两个公共点C.曲线y2 经过 的一个焦点 D.直线x= Asin t12声音是由物体震动产生的波，期中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数yw，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数1f (x) = sin
4、x + sin 2x ，则下列结论正确的是（）2 2( )f x( )f xA. 是 的一个周期 B 在p0,2 p上有 3 个零点3 34 p f (x)C. 的最大值为f (x) 0,D 在上是增函数2三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。2 13若 6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有空)种(用数字填51 14在 2x 的展开式中， x2的系数为_x 7,b,c.且a =b + c bc，DABC的面积为 S,15 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为a2222a = 3，则S + 6cos Bcos
5、C 的最大值为_.ln x,0 x 2e( )，若方程 f x( ) mx = 0有 2 个不同的实根，则f x = 16已知( ) f 4e x ,2e x b 0 的左、右顶点分别为 ， ，点 在椭圆 上运动，若A BPO1PAB面积的最大值为2 3 ，椭圆 的离心率为 O2（1）求椭圆 的标准方程；O( )()（2）过 点作圆 ： 2 + 2 2 = 2 ，0 0，由题意得，113a +2a q =14117q 5q 18 = 0q= 2a = 212，解得，.因此数列a 的通项公式为a.= 2nnn111 1= (1b =n=)，（2）由（1）知，log a log a(2n+1)(2
6、n1) 2 2n1 2n+122a+122n111 1 11111n= (1 + + +) = (1) =2n +1 2n +1T.23 3 52n 1 2n +1 2n6 19（1）X 所有可能的取值为 0，1，2，3，4，5，6，(P X) 1 11( ) 1 11= 0 = = ，5 5 25= = = ，P X 1210 525(17) 1 1 1 2 ( ) 1 21 31P X = 2 =10 10 5 5+ 2 = ，P X = 3 = 2 + 2 = ，10010 55 1065() 2 2 3111 2 = ，50(P X 5) 2 3(P X 6) 339P X = 4 =
7、 +5 5 10 10= = = ，2= =10 10 100= ，5 1025X 的分布列为0123456X111715115069P252510025100（2）选择延保方案一，所需费用 元的分布列为：Y1( ) 111169E Y = 6000 + 7500 + 9000 +10500 +12000 = 8580 (元)1455025100选择延保方案二，所需费用 元的分布列为：Y277406769P10025100( ) 676 (25) 9 ()21a 7740 + 2a = 7740 + (元)100 50E Y = 7740 + 7740 + a +2100( ) ( )21aE
8、 Y E Y = 840 ，1250( ) ( )21a当E Y E Y = 840 0 ，即 时，选择方案二，0 a 20001250( ) ( )21a当E Y E Y = 840 = 0 ，即 = 时，选择方案一，方案二均可，a 20001250( ) ( )21a当E Y E Y = 840 时，选择方案一a 2000125020. （1）证明：因为 ，平面AD AB 平面 ，ABCABD7 平面 ABD 平面ABC AB=， AD 平面 ABD，所以 AD 平面，ABC因为 平面，所以AD BCBCABC2因为 AB = BC =AC ，所以 AB + BC = AC ，所以AB B
9、C，2222因为 AD AB = A，所以 平面 ABDBC(AD x 0 x 4)（2）解：设= ，则= ，AB BC 4 x()( ) 1 1 ( ) 1)四面体的体积V = f x = x 4 x = x 8x +16x0 x 4 ABCD232326()1 ( )( ) 1)f x=3x 16x 16+=x 4 3x 4 ，2664( )( )单调递增；当 0 x ， =f x 0 V f x34( )( )单调递减当 x 4 时， ， =f x 0 V f x34故当 AD = x = 时，四面体的体积取得最大值ABCD3以 B 为坐标原点，建立空间直角坐标系 B xyz，( )B
10、0,0,0 8 8 8 4 4 4 则， A 0, ,0 ，C ,0,0 ， D 0, , ， E , ,0 3 3 3 3 3 3 8x = 0( )x, y, zn BC = 03设平面的法向量为 =n，则，即，BCD834n BD = 0y + z = 03()令 = ，得 = ，0,1, 2z2n()，同理可得平面的一个法向量为 = m1, 1,2BDE530则 = 5 66306由图可知，二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为C BD EC BD E21. （1）由题可知当点 在椭圆 的上顶点时，S最大，POPAB8 ab = 2 31c 1=a 2此时= 2ab ab 2 3=， =
11、 ， = ， = ，a 2 b 3 c 1SPAB2a2 b2 = c2x2y2椭圆 的标准方程为O+=143（2）设过点( )与圆 E 相切的直线方程为 = ( ) ，即 kx y 2k = 0 ，y k x 2B 2,02 2kk2 +1( )直线与圆 E ： + = 相切， =r= ，x2y 2 2 r2d( )即得 4 r2 k2 8k 4 r2 0+ + = (k k k)，则k k 1设两切线的斜率分别为 ，k= ，12121 2( )y = k x 2( )( ) ( )1设，由 + = ，3 4k x 16k x 16k 12 0C x , yD x , y222121x2y2
12、11221+=14316k2 128k2 612k，即x =， =y；122x=1113+ 4k1 3+ 4k213 + 4k21118k2 6 8 6k212k12k同理： =，y=；12x2122 3+ 4k4 + 3k223 + 4k4 + 3k22221112k12k11y y4 + 3k2 3+ 4k2k( )=，K21111 x8 6k2CDx8k6+4 k 121211214 + 3k2 3+ 4k21112kk8k2 6( )直线CD 的方程为 +=y x1113+ 4k2 4 k +13 + 4k22111k7kk ( )( ) ( ) ( )整理得 =x 14，yx1114
13、 k2 +12 k2 +14 k2 +1111( )14,0直线CD 恒过定点1 + =2( ) ( ) 1 11( )22（1）证明：设j= + ，定义域为 + ，0,xf xalnx14 xx1x2( ) 1 1x则j= =xx x29 ( )x 0jj当 时，x 1，( ) ( )( )内是减函数，在 + 内是增函数，1,故j在x0,1( )x( )的最小值点，xj的极小值点，也是j所以 = 是x 1( ) ( )( )( ) 1 1 2a+ 所以j x j x= j 1 = 0 ，所以f x14 xmin( )f x( )的定义域为 + ，0,（2）解：函数( )( )2x +1 x
14、1( ) 1112x2 x 12x3f x= x 2x3 2x2=，2x3( )f x 0( ) ，f x 0当 时， 0 x 1 时， x 1( ) ( )( )所以在内是减函数，在 + 内是增函数，0,1 1,f x所以 = 是( )的极小值点，也是 ( )的最小值点，f xx 1 f x( )f xmin( )f 1 a= ，即=( )( )x 1 3x +1( ) ( ) 11 3 = 若 = ，则a 0f x g x=+4x2 2x 4，4x2( ) ( )f x g x( ) ( )；f x g x当 时，0 x 1；当 = 时，x 1=( ) ( ) 时，x 1( ) f x ,
15、 0 x f x g x( ) ( ) ，f x a 0当 ，则当 ，h x 0当 时，x 1 ， ，此时所以( )没有零点h x( ) 1 1 2当 ，则当 时，根据（1）可知，a 0 0 x 1+ ，f x1a4 x()11 12而 2 a 1 1 + a 0+ = ，01f2 a +1 2a +1 410 ( )( )( ) ( )= f 1 = a 0 ，x c2c4cx cx2( ) f x , 0 ，从而，g xf xh x ( )g x , x c( )有两个零点 和 1xh x0故当 时，a 0没有零点，当 时，a 0个零点11( )x 0jj当 时，x 1，( ) ( )(
16、)内是减函数，在 + 内是增函数，1,故j在x0,1( )x( )的最小值点，xj的极小值点，也是j所以 = 是x 1( ) ( )( )( ) 1 1 2a+ 所以j x j x= j 1 = 0 ，所以f x14 xmin( )f x( )的定义域为 + ，0,（2）解：函数( )( )2x +1 x 1( ) 1112x2 x 12x3f x= x 2x3 2x2=，2x3( )f x 0( ) ，f x 0当 时， 0 x 1 时， x 1( ) ( )( )所以在内是减函数，在 + 内是增函数，0,1 1,f x所以 = 是( )的极小值点，也是 ( )的最小值点，f xx 1 f
17、x( )f xmin( )f 1 a= ，即=( )( )x 1 3x +1( ) ( ) 11 3 = 若 = ，则a 0f x g x=+4x2 2x 4，4x2( ) ( )f x g x( ) ( )；f x g x当 时，0 x 1；当 = 时，x 1=( ) ( ) 时，x 1( ) f x , 0 x f x g x( ) ( ) ，f x a 0当 ，则当 ，h x 0当 时，x 1 ， ，此时所以( )没有零点h x( ) 1 1 2当 ，则当 时，根据（1）可知，a 0 0 x 1+ ，f x1a4 x()11 12而 2 a 1 1 + a 0+ = ，01f2 a +1 2a +1 410 ( )( )( ) ( )= f 1 = a 0 ，x c2c4cx cx2( ) f x , 0 ，从而，g xf xh x ( )g x , x c( )有两个零点 和 1xh x0故当 时，a 0没有零点，当 时，a 0个零点11