2021届江苏省南京市金陵中学高三上学期学情调研测试(一)数学试题含答案.docx

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1、 金陵中学 2021 届高三年级学情调研测试(一)数学试卷命题人:审核:一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知集合 Ax|x23x40,Bx|lnx0,则( A)B()RAB(0,4C(1,4D(4,)b2. 设 a,bR,i 是虚数单位,则“ab0”是“复数 a 为纯虚数”的iA充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件3. 下列命题中正确的是A若 ab,则 acbc()B若 ab,cd,则 acbd1 1ab a ba bD若 ab,cd,则 c d若 0

2、, ,则 Ca b13 ,4. 已知正项等比数列a 的前 n 项和为 S ,若 a 8 S a 4,则 S ()nn43153132311631C314ABD85. (x1)(2x1)10 的展开式中 x10 的系数为A512 B1024()C4096D51206. 某校有 1000 人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,2)(0),试1卷满分 150 分,统计结果显示数学成绩优秀(高于 120 分)的人数占总人数的 ,则此次数学考试5成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为(A150 B200)C300D400 7. 如图,过抛物线 y 2px(p0)的焦点 F

3、 的直线 l 交抛物线于点 A,B,交其准线于点 C,若|BC|22| |,且| |6,则此抛物线方程为()BFAFAy 9xBy 6xCy 3xDy 3x2222x2 y28. 已知椭圆 C: 1(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 P,直线 l:4x3y0 与椭a2 b26圆 相交于 , 两点若| | |6,点 到直线 的距离不小于 ,则椭圆离心率的取CA BAFBFPl5值范围是()59325313A(0, B(0, C(0, D( , 3 2二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得

4、 3 分,有选错的得 0 分9. 若函数 f(x)sin(2x )与 g(x)cos(x )都在区间(a,b)(0ab)上单调递减,则 ba 的可34能取值为()512A6B3C2D10. 下列说法中正确的是()1516A设随机变量 X 服从二项分布 B6, ,则 P(X3)2B已知随机变量 X 服从正态分布 N(2, )且 P(X4)0.9,则 P(0X2)0.42CE(2X3)2E(X)3;D(2X3)2D(X)31D已知随机变量 满足 P(0)x,P(1)1x,若 0x ,则 E()随着 x 的增大而减小,2D()随着 的增大而增大x11. 下列四个命题中,是真命题的是()1A xR,且

5、 x0,x 2xx2 y2 2xyB若 x0,y0,则2x y1 C函数 f(x)x 2x 值域为 2,229aD已知函数 f(x) a 在区间1,9上的最大值是 10,则实数 a 的取值范围为8,xx)12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列 称an为“斐波那契数列”,记 为数列 的前 项和,则下列结论正确的是()SannnAa 8BS 3367 a2 a2a 2122019aCa a a a aDa2019135201920222020三、填空题:本题共 4 小题

6、,每小题 5 分,共 20 分 13. 已知向量 a (2,6), b (3,m),若| a b | a b |,则 m_14. 三月份抗疫期间,我校团委安排高一学生2 人、高二学生 2 人、高三学生 1 人参加 A、B、C 三个社区志愿点的活动,要求每个活动点至少 1 人,最多 2 人参与,同一个年级的学生不去同一个志愿点,高三学生不去 志愿点,则不同的安排方法有_种(用数字作答)A15. 在直三棱柱 ABCA B C 内有一个与各个面均相切的球若ABBC,AB6,BC8,则 AA1 111的长度为_2k(1 ), 0,xx16. 已知函数 f(x)若函数 g(x)f(x)f(x)有且仅有四

7、个不同的零点,则实数 kx22 , 0,k x的取值范围是_四、解答题:本题共 6 小题,第 17 题 10 分,其余每小题 12 分,共 70 分17. 现给出两个条件:2c 3b2acosB,(2b 3c)cosA 3acosC,从中选出一个条件补充在下面的问题中,并以此为依据求解问题在ABC 中, , , 分别为内角 , , 所对的边,_a b c A B C(1)求 A;1 (2)若 a 31,求ABC 周长的最大值118. 已知数列a 中,a 1,当 n2 时,其前 n 项和 S 满足 S a (S )22n1nnnn(1)求 S 的表达式;nSn(2)设 b ,求数列b 的前 n

8、项和 T 2n1nnn19. 如图,四棱锥 PABCD 中,PA底面 ABCD,ADBC,ABADAC3,PABC4,M为线段 上一点,AM2 , 为 的中点ADMD N PC(1)证明:MN平面 PAB;20. 成都市现在已是拥有 1 400 多万人口的城市,机动车保有量已达 450 多万辆,成年人中约 40%拥有机动车驾驶证为了解本市成年人的交通安全意识情况,某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查先根据是否拥有驾驶证,用分层抽样的方法抽取了 200名成年人,然后对这 200 人进行问卷调查这 200 人所得的拥有驾驶证 没有驾驶证 总计具有很强安全意识不具有很强安全意

9、识总计58200(1)补全上面的 22 列联表,并判断能否有超过 95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有1 驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率,现从全市成年人中随机抽取 4 人,记“具有很强安全意识”的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望n(adbc)2附表及公式:K2(ab)(cd)(ac)(bd),其中 nabcdP(K k ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.00120k02.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828x y322221. 已知椭圆 C: 1(ab0)的左、右焦点分别为 F (c

10、,0),F (c,0),点(1, )在椭圆 Ca b2212上,点 A(3c,0)满足以 AF 为直径的圆过椭圆的上顶点 B2(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线过右焦点 F 且与椭圆 C 交于 M,N 两点,在 x 轴上是否存在点 P(t,0)使得PMPN为2定值?如果存在,求出点 P 的坐标;如果不存在,说明理由f(x),f(x)g(x),22. 已知 f(x)ax 3x 1(a0),定义 h(x)maxf(x),g(x)32g(x),f(x)g(x)(1)求函数 f(x)的极小值;(2)若 g(x)xf (x),且存在 x1,2使 h(x)f(x),求实数 a 的取值范围;(3)若

11、 g(x)lnx,试讨论函数 h(x)(x0)的零点个数金陵中学高三年级学情调研测试(一)数学试卷1 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知集合 Ax|x23x40,Bx|lnx0,则( A)B()RAB(0,4C(1,4D(4,)答案:Cbi2. 设 a,bR,i 是虚数单位,则“ab0”是“复数 a 为纯虚数”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案:C3. 下列命题中正确的是(A若 ab,则 acbc)B若 ab,cd,则 acbd1 1a

12、 bD若 ab,cd,则 c d若 0, ,则 Caba ba b答案:C13 ,4. 已知正项等比数列a 的前 n 项和为 S ,若 a 8 S a 4,则 S ()nn431531323116318314ABCD答案:B5. (x1)(2x1)10 的展开式中 x10 的系数为(A512 B1024答案:C)C4096D51206. 某校有 1000 人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,2)(0),试1卷满分 150 分,统计结果显示数学成绩优秀(高于 120 分)的人数占总人数的 ,则此次数学考试5成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为(A150 B20

13、0答案:C)C300D4002线于点 ,若| |2| |,且| |6,则此抛物线方程为()C22221 答案:Bx2 y28. 已知椭圆 C: 1(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 P,直线 l:4x3y0 与椭a2 b26圆 相交于 , 两点若| | |6,点 到直线 的距离不小于 ,则椭圆离心率的取CA BAFBFPl5值范围是()59325313A(0, B(0, C(0, D( , 3 2答案:C二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分9. 若函数 f

14、(x)sin(2x )与 g(x)cos(x )都在区间(a,b)(0ab)上单调递减,则 ba 的可34能取值为()512A6B3C2D答案:AB10. 下列说法中正确的是()1516A设随机变量 X 服从二项分布 B6, ,则 P(X3)2已知随机变量 服从正态分布 (2, )且 ( 4)0.9,则 (0 2)0.4BXN2P XPX (2 3)2 ( )3; (2 3)2 ( )3C E X E X D X D X1已知随机变量 满足 (0) , (1)1 ,若 0 ,则 ()随着 的增大而减小,DPx Pxx 2ExD()随着 的增大而增大x答案:ABD11. 下列四个命题中,是真命题

15、的是()1A xR,且 x0,x 2xx2 y2 2xy若 0, 0,则Bxy2x y函数 ( ) 2 值域为 2,2f x xCx21 9a已知函数 ( ) 在区间1,9上的最大值是 10,则实数 的取值范围为8,Df xxaax)答案:BCD12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列 称an为“斐波那契数列”,记 为数列 的前 项和,则下列结论正确的是()SannnAa 8BS 3367 a2 a2a 2122019a C a a aa2019a2022Da2019

16、1352020答案:ABD三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. 已知向量 a (2,6), b (3,m),若| a b | a b |,则 m_答案:114. 三月份抗疫期间,我校团委安排高一学生2 人、高二学生 2 人、高三学生 1 人参加 A、B、C 三个社区志愿点的活动,要求每个活动点至少 1 人,最多 2 人参与,同一个年级的学生不去同一个志愿点,高三学生不去 志愿点,则不同的安排方法有_种(用数字作答)A答案:4015. 在直三棱柱 ABCA B C 内有一个与各个面均相切的球若ABBC,AB6,BC8,则 AA1 111的长度为_答案:42k(1 )

17、, 0,xx16. 已知函数 f(x)若函数 g(x)f(x)f(x)有且仅有四个不同的零点,则实数 kx22 , 0,k x的取值范围是_答案:(27,)四、解答题:本题共 6 小题,第 17 题 10 分,其余每小题 12 分,共 70 分17. 现给出两个条件:2c 3b2acosB,(2b 3c)cosA 3acosC,从中选出一个条件补充在1 下面的问题中,并以此为依据求解问题在ABC 中, , , 分别为内角 , , 所对的边,_a b cA B C(1)求 A;(2)若 a 31,求ABC 周长的最大值解析:若选择条件2 3 2 cos cba B a2 c2 b2(1)由余弦定

18、理可得 2c 3b2acosB2a,整理得 c b a 3bc,2 分2ac2 2 2 b2 c2 a23bc2bc32可得 cos 3 分A2bc因为 (0,),所以 5分AA 63(2)由余弦定理 a b c 2bccosA,得( 31) b c 2bc ,6 分2222222即 42 3 3 ( ) (2 3) ,亦即(2 3) ( ) (42 3),bcb2 c2bc b c 2bc b c 2(bc)2因为 bc,当且仅当 时取等号,b c4(bc)2所以( ) (42 3)(2 3)b c 2,4解得 2 2,8 分b c当且仅当 2时取等号b c所 以 2 2 3 1 , 即 周

19、 长 的 最 大 值 为 2 2 3 ABCabc110分若选择条件(2 3 )cos 3 cos bcAa C(1)由条件得 2bcosA 3acosC 3ccosA,B A A C C A A C由正弦定理得 2sin cos 3(sin cos sin cos ) 3sin( ) 3sin 2 分B3因为 sin 0,所以 cos ,3 分BA 2因为 (0,),所以 AA 6(2)同上118. 已知数列a 中,a 1,当 n2 时,其前 n 项和 S 满足 S a (S )22n1nnnn(1)求 S 的表达式;nSn(2)设 b ,求数列b 的前 n 项和 T 2n1nnn1解析:(

20、1)因为 ( ),S 2 a S 2nnn1 1当 2 时, 2( S 2)( ),即 2S S S 2 分SnSS Snnn 1nn 1 nn 1n11由题意得 0,所以 2,SSS Sn 1nn1n11 1即数列 是首项为 1,公差为 2 的等差数列5 分SS a11n11所以 12( 1)2 1,得 2n1 7 分nnSSnnS1n8 分(2)易得 b 2n1 (2n1)(2n1)n1 11n (1),10 分2 2 1 2n1131 13 51111所以 (1 )( )() (12n1)2n1 2n1 2T 2nn12 分2n119. 如图,四棱锥 PABCD 中,PA底面 ABCD,

21、ADBC,ABADAC3,PABC4,M为线段 上一点,AM2 , 为 的中点AD(1)证明:MN平面 PAB;(1)证明:取 BP 的中点 T,连接 AT,TN1由 为N的中点,知 , 2PCTN BC TN 2BC2又 ,2,所以 TN_ AM,因此四边形 AMNT 为平行四边形,于是 MNATAD BC AM 3AD3 分因为 平面 , 平面 PAB,所以 MN平面 PABAT PAB MN5 分(2)取 BC 的中点 E,连接 AE由 2 5AB22以 为原点, , , 所在直线为 轴, 轴, 轴,建立AE AD APAxyz1 空间直角坐标系 A xyz 5 5由题意知,P(0,0,

22、4), (0,2,0), ( 5,2,0), ,1,2, (0,2,4), ,1,2,M C N 2 2PM PN 5AN ,1,27 分2 2y4z0,n PM0,n PN5设 ( , , )为平面n x y z的法向量,则即可取 (0,2,1)nPMN2 xy2z0, 0,9 分| AN| 8 5n于是|cos , |n AN11 分25| | |n AN8 5258 525设与平面所成角为 ,则 sin ,即直线与平面 所成角的正弦值为PMNANPMNAN12 分20. 成都市现在已是拥有 1 400 多万人口的城市,机动车保有量已达 450 多万辆,成年人中约 40%拥有机动车驾驶证为

23、了解本市成年人的交通安全意识情况,某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查先根据是否拥有驾驶证,用分层抽样的方法抽取了 200名成年人,然后对这 200 人进行问卷调查这 200 人所得的分数都分布在30,100范围内,规定分数在 80 以上(含 80)的为“具有很强安全意识”,所得分数的频率分布直方图如图所示拥有驾驶证 没有驾驶证 总计具有很强安全意识不具有很强安全意识总计58200(1)补全上面的 22 列联表,并判断能否有超过 95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率,现从全市成年人中随机抽取 4 人,记“具有很强安全意

24、识”的人数为 ,求 的分布列及数学期望XXn(adbc)2附表及公式: ,其中 n a b c dK2 ( )( )( )( )a b c d a c b d1 P(K2 k ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k02.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828解:(1)200 人中拥有驾驶证的占 40%,有 80 人,没有驾驶证的有 120 人;具有很强安全意识的占20%,有 40 人,不具有很强安全意识的有 160 人补全的 22 列联表如表所示:拥有驾驶证 没有驾驶证 总计具有很强安全意识不具有很强安全意

25、识2258801840102120160200总计2 分200(221021858) 752计算得 K2 4.68753.841,164080160120所 以 有 超 过 95% 的 把 握 认 为 “ 具 有 很 强 安 全 意 识 ” 与 拥 有 驾 驶 证 有关 5 分1(2)由频率分布直方图中数据可知,抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为 ,所以 X0,511,2,3,4,且 XB4, 514 于是 ( ) 5 5 ( 0,1,2,3,4), 的分布列为P X k Ck4 kXkk4X012341256 256 96 16625 625 625 625 625P10 分1 4

26、所以 ( )4 E X5 54答: 的数学期望为 X12 分5x2 y23221. 已知椭圆 C: 1(ab0)的左、右焦点分别为 F (c,0),F (c,0),点(1, )在椭圆 Ca2 b212上,点 (3 ,0)满足以为直径的圆过椭圆的上顶点 BAcAF2(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线过右焦点 F 且与椭圆 C 交于 M,N 两点,在 x 轴上是否存在点 P(t,0)使得PMPN为2定值?如果存在,求出点 的坐标;如果不存在,说明理由P3219解析:(1)因为点(1, )在椭圆 上,所以 1a 4bC221 ,即 BF (3c,b) (c,AB又点 (3 ,0)满足以 AF

27、 为直径的圆过椭圆的上顶点 B,所 以AB BF2Ac22 )0,即 3 bb2c2又 ,解得 4, 3a2 b2 c2a2b2x2 y2所以椭圆的方程为 14 34 分(2)易得右焦点 F (1,0),假设存在点 P(t,0)满足要求2当直线的斜率不为 0 时,设直线的方程为 1,设 ( , ), ( , )MNMMx myM x yN x y1122 1,6m9y y 4 3 m21 2x my联立整理可得(43 ) 6 90,则 , ,所以3x 4y 1,m2 y2my y y43m2221289m2 6m2412m243m2 ( )2x x m y y43m2, ( )1x x m2y

28、 y m y y143m 43m2212121 21 2126 分412m28t43m2 43m29 因为PMPN (x t y ) (x t y ) x x t(x x ) t2 y y , , t243m211221 2121 2t2(43 )12 8 5 3 ( 4)4 8 5m2m2tm2 t2t2t43m243m29 分4 4 8 511t 8135t2t2t PM PN 要使 为定值,则,解得 ,此时 为定值PM PN146411 分11 1111 PM PN当直线的斜率为 0 时 ,则 (2,0), (2,0), ( ,0),此时 (2 ,0) (2 ,MMMNP 8881356

29、40)12 分11P 8 综上,所以存在 ( ,0),使 为定值PM PN(x),f(x)g(x),f22. 已知 f(x)ax 3x 1(a0),定义 h(x)maxf(x),g(x)32g(x),f(x)g(x)(1)求函数 f(x)的极小值;(2)若 g(x)xf(x),且存在 x1,2使 h(x)f(x),求实数 a 的取值范围;(3)若 g(x)lnx,试讨论函数 h(x)(x0)的零点个数1 解 析 : (1) 求 导 得 ( ) 3 6 3 ( 2) , 令 ( ) 0 , 得 0 或f xax2xx axf xx1x22a1 分因为 0,所以 ,列表如下:ax x12222(,

30、0)0x ,aaaf(x)f(x)0极大值40极小值2 a8 12所以 ( )的极小值为 11 3 分f xfa2 a2a2(2)g(x)xf(x)3ax 6x 32因为存在 1,2使 ( ) ( ),所以 ( ) ( )在 1,2上有解,即 3 13 6xh x f x f x g xxax3x2ax3x21 3在 1,2上有解,即不等式 2 在 1,2上有解5 分xaxx3 x1 3 3 1设 yx3 xx2, 1,2xx33 31 30 对 1,2恒成立,所以 在1,2上递减,故当 1 时,x2因为 yxyxymaxx4x3 x4所以 2 4,即 2,故 的取值范围为(,27 分aaa2

31、 4(3)由(1)知,f(x)在(0,)上的最小值为 f 1 aa24当 1 0,即 2 时,( )0 在(0,)上恒成立,所以 ( )max ( ), ( ) ( )0,af x h xf x g xf xa2因此 ( )在(0,)上无零点8 分h x4当 1 0,即 2 时, ( ) (1)0,又 (1)0,所以 ( )max ( ), ( )在(0,af xfgh xf x g xa2min)上有且仅有一个零点9 分4当 1 0,即 0 2 时,设 ( ) ( ) ( ) 3 1ln ,0 1ax f x g x ax3x2xxa211因为 ( )3 6 6 ( 1) 0,所以 ( )在

32、(0,1)上单调递减xax2xx xxxx12 31 e2a又 (1) 20, 0,所以存在唯一的 ,1,使得( )0axxee3e2e00(i)当 0xx 时,因为 (x)f(x)g(x)(x )0,所以 h(x)f(x)且 h(x)为减函数00又 ( ) ( ) ( )ln ln10, (0)10,所以 ( )在(0, )上有一个零点h x f xg xxfh xx00000(ii)当 x x1 时,因为 (x)f(x)g(x)(x )0,所以 h(x)g(x)且 h(x)为增函数001 因为 (1)0,又 ( )max ( ), ( ) ( )ln 0 在 1 上恒成立,所以 ( )在(

33、 ,)g x h xgh x f x g xxxx0上有且仅有一个零点从而 ( )max ( ), ( )在(0,)上有两个零点h x f x g x综上,当 0 2 时, ( )有两个零点;当 2 时, ( )有一个零点;当 2 时, ( )无零点ah x a h xah x12 分1解 析 : (1) 求 导 得 ( ) 3 6 3 ( 2) , 令 ( ) 0 , 得 0 或f xax2xx axf xx1x22a1 分因为 0,所以 ,列表如下:ax x12222(,0)0x ,aaaf(x)f(x)0极大值40极小值2 a8 12所以 ( )的极小值为 11 3 分f xfa2 a2a2(2)g(x)xf(x)3ax 6x 32因为存在 1,2使 ( ) ( ),所以 ( ) ( )在 1,2上有解,即 3 13 6xh x f x f x g xxax3x2ax3x21 3在

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