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1、1996年全国高中数学联赛试题【第一试】一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.把圆x2+ (y 1 )2 =1与椭圆9x2 + (y + 1)2 = 9的公共点, 用线段连接起来所得到的图形为(A) 线段 (B) 不等边三角形 (C) 等边三角形 (D) 四边形2.等比数列an的首项a1=1536, 公比是q=.用n表示它的前n项之积，则n(nN)最大的是 (A)9 (B)11 (C)12 (D)133.存在整数n使是整数的质数p (A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 多于一个，但为有限个 (D)有无穷多个4设x(, 0),以下三个数: a1=cos(sinxp), a2=sin(c
2、osxp), a3=cos(x+1)p的大小关系是 (A) a3 a2 a1 (B) a1 a3 a2 (C) a3 a1 a2 (D) a2 a3 a15.如果在区间1, 2 上, 函数f (x) = x2 + px + q与g(x) = x +在同一点取相同的最小值，那么f (x)在该区间上的最大值是（A）4+（B）4（C）1（D）以上答案都不对6.高为8的圆台内有一个半径为2的球O1, 球心O1在圆台的轴上. 球O1与圆台上底面、侧面都相切. 圆台内可再放入一个半径为3的球O2, 使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点, 除球O2, 圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是
3、 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题(本题满分54分,每小题9分)1. 集合x| 1 , xN的真子集的个数是_2.复平面上非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，的实部为零，z1的辐角主值为 p , 则z2 = _.3.曲线C的极坐标方程是r = 1 + cosq, 点A的极坐标是(2, 0). 曲线C在它所在的平面内绕A 旋转一周, 则它扫过的图形的面积是_. 4.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六面体, 并且该六面体的最短棱的长为2, 则最远的两顶点间的距离是_. 5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六
4、个面染色, 每面恰染一种颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_种.(注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同).6.在直角坐标平面上，以（199，0）为圆心，以199为半径的圆周上，整点（即横、纵坐标皆为整数的点）的个数为_.【第二试】一、（本题满分25分）设数列an的前n项和Sn=2an1（n=1，2，），数列bn 满足b1=3，bk+1=ak+bk（k=1，2，）。求数列bn 的前n项和.二、（本题满分25分）求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意0，/2恒有（x+3+2sincos）2+（x+asin+acos）21/8.三、（本题满分35分）EFABCGHPO1。O2如图，圆O1和圆O2与ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求证直线PA与BC垂直。四、（本题满分35分）有n（n6）个人聚会，已知：（1）每人至少同其中个人互相认识；（2）对于其中任意个人，或者其中有2 人相识，或者余下的人中有2人相识。