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1、1988 年全国高中数学联赛试题 第一试(10 月 16 日上午 800930) 一选择题(本大题共 5 小题，每小题有一个正确答案，选对得 7 分，选错、不选或多选均得 0 分)： 1设有三个函数，第一个是 y=(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数 的图象关于 x+y=0 对称，那么，第三个函数是( ) Ay=(x) By=(x) Cy=1(x) Dy=1(x) 2已知原点在椭圆 k2x2+y24kx+2ky+k21=0 的内部，那么参数 k 的取值范围是( ) A|k|1 B|k|1 C1k1 D0|k|1 3平面上有三个点集 M，N，P： M=(x，y)| |x
2、|+|y|1， N=(x，y)| +2， (xf(1,2)2 + (y + f(1,2)2(x + f(1,2)2 + (yf(1,2)22 P=(x，y)| |x+y|1，|x| SPQR SABC 2 9 三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线 l1，l2，ln，的直线族，它满足条件： 点(1，1)ln，(n=1，2，3，)； kn+1=anbn，其中 kn+1是 ln+1的斜率，an和 bn分别是 ln在 x 轴和 y 轴上的截距， (n=1，2，3，)； knkn+10，(n=1，2，3，) 并证明你的结论 N A C B P Q R H 1988 年全国高中数学联赛解答 一试题
3、一选择题(本大题共 5 小题，每小题有一个正确答案，选对得 7 分，选错、不选或多选均得 0 分)： 1设有三个函数，第一个是 y=(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数 的图象关于 x+y=0 对称，那么，第三个函数是( ) Ay=(x) By=(x) Cy=1(x) Dy=1(x) 解：第二个函数是 y=1(x)第三个函数是x=1(y)，即 y=(x)选 B 2已知原点在椭圆 k2x2+y24kx+2ky+k21=0 的内部，那么参数 k 的取值范围是( ) A|k|1 B|k|1 C1k1 D0|k|1 解：因是椭圆，故 k0，以(0，0)代入方程，得 k210，
4、选 D 3平面上有三个点集 M，N，P： M=(x，y)| |x|+|y|1， N=(x，y)| +2， (xf(1,2)2 + (y + f(1,2)2(x + f(1,2)2 + (yf(1,2)22 P=(x，y)| |x+y|1，|x|1，|y| ； 3 命题乙：a、b、c 相交于一点 则 A甲是乙的充分条件但不必要 B甲是乙的必要条件但不充分 C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C 都不对 解：a，b，c 或平行，或交于一点但当 abc 时，= 当它们交于一点时， 1 2 1 3 1 6 1 3 1 6 1 2 AR AC 1 3 SPQR SABC 2 9 三在坐标平面上，是否存在一
5、个含有无穷多直线 l1，l2，ln，的直线族，它满足条件： 点(1，1)ln，(n=1，2，3，)； kn+1=anbn，其中 kn+1是 ln+1的斜率，an和 bn分别是 ln在 x 轴和 y 轴上的截距， (n=1，2，3，)； knkn+10，(n=1，2，3，) 并证明你的结论 证明：设 an=bn0，即 kn1=1，或 an=bn=0，即 kn=1，就有 kn+1=0，此时 an+1不存在，故 kn1 现设 kn0，1，则 y=kn(x1)+1，得 bn=1kn，an=1， kn+1=kn此时 knkn+1=kn21 1 kn 1 kn N A C B P Q R H kn1 或
6、kn1 或 k11 时，由于 00，若 k21，则又有 k1k2k30，依此类推，知当 km1 1 k1 1 k1 时，有 k1k2k3kmkm+10，且 01， 1 k1 1 k2 1 km km+1=kmkm=km1km10，此时 kk0 m11 m1 m11 m1 m1 + 1 即此时不存在这样的直线族 当 k11 时，同样有10，得 k1k2=k10若 k21，又有 k1k2k30，依此类推，知 1 k1 1 k1 当 km1 时，有 k1k2k3km1， 1 k1 1 k2 1 km km+1=kmkm=km1km1k1 1 km 1 k1 1 km1 1 k1 2 k1 m k1 由于 k1随 m 的增大而线性增大，故必存在一个 m 值，m=m0，使 k11，从而必存在一个 m km m0 k1 m 值，m=m1(m1m0)，使 k1，而1k=k0，此时 kk0 m11 m1 m1 m1 m1 + 1 即此时不存在这样的直线族 综上可知这样的直线族不存在