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1、人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数专项练习 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则A的正切值是（）ABC2D2
2、、小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin350.6，cos350.8，tan350.7，sin650.9，cos650.4，tan652.1）（）A3.2米B3.9米C4.7米D5.4米3、如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接BO，若，则的值是（ ）A-20B20C5D54、在RtABC中，C90，AC5，BC3，则sinA的值是（ ）ABCD5、如图，河坝横断面迎水坡的坡比为：，坝
3、高m，则的长度为（ ）A6mBmC9mDm6、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则tan的值是（ ）A12B43C35D457、cos60的值为（）ABCD18、在RtABC中，C90，sinA，则cosB等于（ ）ABCD9、在ABC中，C=90，若BC=4，则AB的长为（ ）A6BCD10、如图，过点O、A(1，0)、B(0，)作M，D为M上不同于点O、A的点，则ODA的度数为（）A60B60或120C30D30或150第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，圆内接正十二边形由边长相等的六个正方形和六个等边三角形拼成，则图1中cosAOB_，若圆O
4、半径为，则图2中BCD的面积为_2、如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB，CD于点E，F，则弧EF的长是_3、如图所示，草坪边上有互相垂直的小路m，n，垂足为E，草坪内有一个圆形花坛，花坛边缘有A，B，C三棵小树在不踩踏草坪的前提下测圆形花坛的半径，某同学设计如下方案：若在小路上P，Q，K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，从E点沿着小路n往右走，测得123，EQ16米，QK24米；从E点沿着小路m往上走，测得EP15米，BPm，则该圆的半径长为_米4、若一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了10cm，此时小球距离桌面的高度为5cm，则这个斜坡的坡度为_5、
5、准备在一个“7”字型遮阳棚下安装一个喷水装置（如图1），已知遮阳棚DB与竖杆OB垂直，遮阳棚的高度OB3米，喷水点A与地面的距离OA1米（喷水点A喷出来的水柱呈抛物线型），水柱喷水的最高点恰好是遮阳棚的C处，C到竖杆的水平距离BC2米（如图2），此时水柱的函数表达式为_，现将遮阳棚BD绕点B向上旋转45（如图3），则此时水柱与遮阳棚的最小距离为_米（保留根号）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，与BD交O一点，直线EF过点O分别交直线AB，CD，BC于E，F，H（1）求证：BOEDOF；（2）若OC2HCBC，OC：BH3，求si
6、nBAC；（3）在AOF中，若AF8，AOOF4，求平行四边形ABCD的面积2、如图是我们日常生活中经常使用的订书器，AB是订书机的托板，压柄BC绕着点B旋转，连接杆DE的一端点D固定，点E从A向B处滑动在滑动过程中，DE的长保持不变已知BDcm（1）如图1，当ABC45，BE12cm时，求连接杆DE的长度；（结果保留根号）（2）现将压柄BC从图1的位置旋转到与底座AB垂直，如图2所示，请直接写出此过程中，点E滑动的距离（结果保根号）3、已知直线m与O，AB是O的直径，ADm于点D（1）如图，当直线m与O相交于点E、F时，求证：DAE=BAF （2）如图，当直线m与O相切于点C时，若DAC=3
7、5，求BAC的大小；（3）若PC2，PB2，求阴影部分的面积(结果保留)4、如图，已知抛物线（为常数，且0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与ABC相似，求的值；（3）在（1）的条件下，直线BD上是否存在点E，使AEC=45？若存在，请直接写出点E的横坐标；若不存在，请说明理由5、计算：-参考答案-一、单选题1、D【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解【详解】解：连接BD，则BD，AD2，则tanA
8、故选D【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键2、C【分析】过点O作OEAC于点F，延长BD交OE于点F，设DFx，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案【详解】解：过点O作OEAC于点F，延长BD交OE于点F，设DFx，tan65，OFxtan65，BF3+x，tan35，OF（3+x）tan35，2.1x0.7（3+x），x1.5，OF1.52.13.15，OE3.15+1.54.65，故选：C【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形的应用，根据题意构
9、建直角三角形是解本题的关键3、D【分析】先根据直线解析式求得点C的坐标，然后根据BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，利用待定系数法将点B坐标代入即可求得结论【详解】解：直线y=k1x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，点C的坐标为（0，4），OC=4，过B作BDy轴于D，SOBC=2，BD=1，tanBOC=，OD=5，点B的坐标为（1，5），反比例函数在第一象限内的图象交于点B，k2=15=5故选：D【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，锐角三角函数，三角形面积，待定系数法求分别列函数解析式，解题的关键是作辅助线构造直角三角形4、A【
10、分析】先根据银河股定理求出AB，根据正弦函数是对边比斜边，可得答案【详解】解：如图，C90，AC5，BC3， ，故选：A【点睛】本题考查了锐角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键5、A【分析】根据迎水坡的坡比为：，可知，求出的长度，运用勾股定理可得结果【详解】解：迎水坡的坡比为：，即，解得，由勾股定理得，故选：【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，熟知坡比的意义是解本题的关键6、A【分析】根据在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边进行求解即可【详解】解：如图所示，在直角三角形ABC中ACB=90，AC=2，BC=4，tan=ACBC=24=12，故选A【点睛】本题主要考查
11、了求正切值，解题的关键在于能够熟练掌握正切的定义7、C【分析】根据特殊角的余弦值即可得【详解】解：，故选：C【点睛】本题考查了特殊角的余弦，熟记特殊角（如）的余弦值是解题关键8、A【分析】由知道A=30，即可得到B的度数即可求得答案【详解】解：在RtABC中，C90，A=30，B=60，故选A【点睛】本题主要考查了特殊角的锐角三角函数值，直角三角形两锐角互余，解题的关键是正确识记30角的正弦值和60度角的余弦值9、A【分析】由题意直接根据三角函数定义进行分析计算即可得出答案【详解】解：C=90，BC=4，,.故选：A.【点睛】本题考查解直角三角形中三角函数的应用，熟练掌握直角三角形边角之间的关
12、系是解题的关键10、D【分析】连接，先利用正切三角函数可得，再分点在轴上方的圆弧上和点在轴下方的圆弧上两种情况，分别利用圆周角定理、圆内接四边形的性质求解即可得【详解】解：如图，连接，在中，由题意，分以下两种情况：（1）如图，当点在轴上方的圆弧上时，由圆周角定理得：；（2）如图，当点在轴下方的圆弧上时，由圆内接四边形的性质得：；综上，的度数为或，故选：D【点睛】本题考查了正切、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键二、填空题1、 ； 【解析】【分析】连接OP，根据题意，得到PB=PO=AP，从而得到BPO=150，BOP=15，AOP=60，故AOB=45，根据特
13、殊角的函数值计算即可；如图2，连接GD，GE，可得GD是圆的直径，从而得到GED=90，根据DEGH，得到EGH=90，根据EGH+CGH =180，得到C，G，E三点共线，CG边上的高就是DE；连接BF，CF，得到BFE=45，CFG=15，GFE=120，计算CFE=135，根据CFE+BFE =180，得到C，F，B三点共线，于是=+，根据半径等于正方形的边长等于等边三角形的边长，依次计算求和即可【详解】连接OP，圆内接正十二边形由边长相等的六个正方形和六个等边三角形拼成，PB=PO=AP，BPO=150，BOP=15，AOP=60，AOB=45，cosAOB= cos45=，故答案为：
14、；如图2，连接GD，GE，BF，CF，圆内接正十二边形由边长相等的六个正方形和六个等边三角形拼成，BFE=45，CGF=150，EF=FG=GH=HM=DM=DE，GFE=FED=EDM=DMH=MHG=HGF=120，六边形EFGHMD是正六边形，GC=GF，CFG=15，GFE=120，CFE=135，CFE+BFE =180，C，F，B三点共线，根据正六边形的性质，得GD是圆的直径，GED=90，DEGH，EGH=90，EGH+CGH =180，C，G，E三点共线，CG边上的高就是DE；=+，根据正六边形的性质，得半径等于正方形的边长等于等边三角形的边长， =1，过点F作FNEG，垂足为
15、N，FGN=30，FN=， =，=1，=3=，=1+1+=，故答案为：【点睛】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，特殊角的函数值，熟练掌握正六边形的判定和性质，学会分割法计算图形的面积是解题的关键2、【解析】【分析】先根据得出，同理可得出，进而得出，根据扇形的弧长公式计算即可【详解】由题意可得：在中，同理可得：，故答案为：【点睛】本题考查了扇形的弧长计算，以及直角三角形的性质，熟练掌握扇形的弧长计算公式和直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键3、#【解析】【分析】设圆心为，过点作，连接交于点，根据题意可证明四边形是矩形，进而求得,证明，根据求得，设的半径为,在中，勾股定理即可
16、求解【详解】如图，设圆心为，过点作，连接交于点，根据题意在小路上P，Q，K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，且12，23，三点共线四边形是矩形设的半径为,在中，则解得故答案为：【点睛】本题考查了两点确定一条直线，三角函数，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，等边对等角，理清各线段长，并添加辅助线是解题的关键4、【解析】【分析】过B作BC桌面于C，由题意得AB=10cm，BC=5cm，再由勾股定理求出AC的长度，然后由坡度的定义即可得出答案【详解】如图，过B作BC桌面于C，由题意得：AB=10cm，BC=5cm，这个斜坡的坡度，故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角
17、形的应用-坡度坡角问题以及勾股定理；熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键5、 【解析】【分析】先根据已知设出抛物线解析式，用待定系数法求函数解析式；将线段BD沿y轴向下平移，使平移后的线段MN恰好与抛物线只有一个交点，先根据BD与水平线成45角，从而得到直线BD与直线平行，再根据，得出MN平行于直线，利用待定系数法求出直线MN的函数解析式，再根据直线MN和抛物线有一个公共点，联立解方程组，根据求出直线MN的解析式，再求出直线MN与y轴的交点M的坐标，求出BM的长度，再根据，求出BG即可【详解】解：将线段BD沿y轴向下平移，使平移后的线段MN恰好与抛物线只有一个交点，过点B作BGMN于G，如
18、图：抛物线的顶点C的坐标为，设抛物线的解析式为，把点的坐标代入得：，解得：，BCy轴，BD与直线平行，且BD与y轴的夹角是45，MN与直线平行，设MN的解析式为，MN与抛物线只有一个交点，方程组只有一组解，方程有两个相等的实数根，将方程整理得：，解得：，MN的解析式为，令，得，（米），在中，（米），此时水住与遮阳棚的最小距离为米故答案为：，【点睛】本题考查二次函数的应用以及锐角三角函数，掌握待定系数法求解析式以及二次函数的性质是解题的关键三、解答题1、（1）证明见解析；（2）；（3）80【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得
19、证；（2）先根据菱形的判定证出平行四边形是菱形，再根据菱形的性质可得，然后设，从而可得，代入解一元二次方程可得，由此可得，最后在中，利用正弦三角函数的定义即可得；（3）先根据平行四边形的判定证出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定证出平行四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后利用勾股定理可得，设，从而可得，在中，利用勾股定理可得，最后利用平行四边形的面积公式即可得【详解】证明：（1）四边形是平行四边形，在和中，；（2），平分，平行四边形是菱形，设可得，由得：，解得或（不符题意，舍去），在中，；（3）由（1）已证：，即，又，即，四边形是平行四边形，平行四边形是矩形，设，则，在中，即，解得，即，则
20、平行四边形的面积为【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、一元二次方程的应用、正弦三角函数等知识点，熟练掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题关键2、（1）连接杆的长度为；（2）【解析】【分析】（1）过点D作DMAB交AB与点M，在RtBDM中，通过解直角三角形可求出DM、BM的长度，在RtDEM中，利用勾股定理可求出DE的长； （2）在RtDBE中，利用勾股定理可求出BE的长度，结合（1）中BE的长度即可求出点E滑动的距离【详解】解（1）在图1中，过点D作DMAB交AB与点M， 在RtBDM中，DM=BDsin45=，BM=BDcos45=， 在RtD
21、EM中，DME=90，DM=4，EM=BE-BM=8， DE= 连接杆DE的长度为； （2）在RtDBE中，DBE=90，BD=，DE=， BE= 在此过程中点E滑动的距离为cm【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形以及灵活使用勾股定理是解决问题的关键3、（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）通过已知条件可知，再通过同角的补交相等证得，即可得到答案；（2）利用，得，再通过OA=OC，得；（3）现在中，利用勾股定理求得半径r=2，再通过，得，即可求得，那么，即可求解【详解】解：（1）如图，连接BFADmAB是O的直径，DAE=BAF（2）连接OC直
22、线m与O相切于点CADmOA=OC（3）连接OC直线m与O相切于点C设半径OC=OB=r在中，则：解得：r=2，即OC=r=2【点睛】本题考查了圆切线、内接四边形的性质，以及解直角三角形的应用，扇形面积求法，解答此题的关键是掌握圆的性质4、（1）：y=x2-x-2；（2）a=或；（3）在直线BD上不存在点E，使AEC=45理由见解析【解析】【分析】（1）令y=0可得A和B两点的坐标，把点B的坐标代入直线y=-x+b中可得b的值，根据点D的横坐标为-5，可得点D的坐标，将点D的坐标代入抛物线的解析式中可得答案；（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以ABP为钝角因此若两个三角形相似，只可能是A
23、BCAPB或ABCPAB如图1和图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；（3）根据OA=OC=2，AOC=90画圆O，半径为2，可知若优弧上存在一点E与A，C构建的AEC=45，再证明BD与O相离，圆外角小于圆上角，可得结论【详解】解：（1）抛物线y=a（x+2）（x-4），令y=0，解得x=-2或x=4，A（-2，0），B（4，0），把B（4，0）代入直线y=x+b中，b=3，直线的解析式为y=-x+3，当x=-5时，y=-（-5）+3=，D（-5，），点D（-5，）在抛物线y=a（x+2）（x-4）上，a（-5+2）（-5-4）=，a=，抛物线的函数表达式为：y=（x+2）（x-4）
24、=x2-x-2；（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=-8a，C（0，-8a），OC=8a点P在第一象限内的抛物线上，ABP为钝角若两个三角形相似，只可能是ABCAPB或ABCPAB过点P作PNx轴于点N，若ABCAPB，则有BAC=PAB，如图1所示，设P（x，y），则ON=x，PN=y，tanBAC=tanPAB，即：，y=4ax+8a，P（x，4ax+8a），代入抛物线解析式y=a（x+2）（x-4），得a（x+2）（x-4）=4ax+8a，整理得：x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2（与点A重合，舍去），P（8，40a），ABCAPB，即，解得：a=；若ABCPAB，则有ABC
25、=PAB，如图2所示，与同理，可求得：y=2ax+4a，P（x，2ax+4a），代入抛物线解析式y=a（x+2）（x-4），得a（x+2）（x-4）=2ax+4a，整理得：x2-4x-12=0，解得：x=6或x=-2（与点A重合，舍去），P（6，16a），ABCPAB，即，解得：a=；综上所述，a=或；（3）在（1）的条件下，二次函数的解析式为：y=x2-x-2；当x=0时，y=-2，C（0，-2），OA=OC=2，如图3，以O为圆心2为半径画圆，在上取一点E1，过点O作OFBD于F，AOC=90，AE1C=45，在直线y=-x+3中，OM=3，OB=4，BM=5，SOBM=34=5OF，OF=2，直线BD与O相离，AEC45，在直线BD上不存在点E，使AEC=45【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，解直角三角形，直线和圆的位置关系，圆周角的性质，坐标和图形的性质等知识，解（1）的关键是确定点D的坐标，解（2）的关键是利用分类讨论的思想；解（3）的关键是作出辅助线，是一道难度比较大的中考常考题5、【解析】【分析】根据特殊三角函数值、零次幂、负指数幂及二次根式的运算可直接进行求解【详解】解：=【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂、负指数幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂、负指数幂及二次根式的运算是解题的关键