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1、第2讲圆锥曲线的方程与性质高考定位1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题.2.直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化、化归与分类讨论思想方法的考查.真 题 感 悟 1.(2020全国卷)已知A为抛物线C：y22px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p()A.2 B.3 C.6 D.9解析设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x12.又因为点A到y轴的距离为9，即x9，所以912，解得p6.故选C.答案C2.(2020全国卷)
2、设O为坐标原点，直线x2与抛物线C：y22px(p0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为()A. B. C.(1，0) D.(2，0)解析将x2与抛物线方程y22px联立，可得y2，不妨设D(2，2)，E(2，2)，由ODOE，可得44p0，解得p1，所以抛物线C的方程为y22x.其焦点坐标为.故选B.答案B3.(2020全国卷)设F1，F2是双曲线C：x21的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|2，则PF1F2的面积为()A. B.3 C. D.2解析法一由题知a1，b，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，如图，因为|OF1|OF2|OP|2，所以点P在以F1F2为直径的
3、圆上，故PF1PF2，则|PF1|2|PF2|2(2c)216.由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a2，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4，所以|PF1|PF2|6，所以PF1F2的面积为|PF1|PF2|3.故选B.法二由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|24.设点P的坐标为(x0，y0)，则解得|y0|.所以PF1F2的面积为|F1F2|y0|43.故选B.答案B4.(2020全国卷)已知椭圆C1：1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|
4、AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|5，求C1与C2的标准方程.解(1)由已知可设C2的方程为y24cx，其中c.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，；C，D的纵坐标分别为2c，2c，故|AB|，|CD|4c.由|CD|AB|得4c，即322.解得2(舍去)或.所以C1的离心率为.(2)由(1)知a2c，bc，故C1：1.设M(x0，y0)，则1，y4cx0，故1.因为C2的准线为xc，所以|MF|x0c，又|MF|5，故x05c，代入得1，即c22c30，解得c1(舍去)或c3.所以C1的标准方程为1，C2的标准方程为y212x.考 点
5、整 合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|d(d为M点到准线的距离).温馨提醒应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：1(ab0)(焦点在x轴上)或1(ab0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：1(a0，b0)(焦点在x轴上)或1(a0，b0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y22px，y22px，x22py，x22py(p0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系在椭圆中：a2b2c2；离心率为e.在双曲
6、线中：c2a2b2；离心率为e.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx；焦点坐标F1(c，0)，F2(c，0).双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，焦点坐标F1(0，c)，F2(0，c).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线y22px(p0)的焦点F，准线方程x.抛物线x22py(p0)的焦点F，准线方程y.4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|x1x2|.(2)过抛物线焦点的弦抛物线y22px(p0)过焦点F的弦AB，若A(x
7、1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.热点一圆锥曲线的定义及标准方程【例1】 (1)(2020浙江卷)已知点O(0，0)，A(2，0)，B(2，0).设点P满足|PA|PB|2，且P为函数y3图象上的点，则|OP|()A. B.C. D.(2)已知椭圆C的焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1解析(1)由|PA|PB|2|AB|4，得点P的轨迹是双曲线的右支.又a1，c2，知b2c2a23.故点P的轨迹方程为x21(x1)，由于y
8、3，联立，得x2，y2，故|OP|.(2)设椭圆的标准方程为1(ab0).连接F1A，令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆定义，4m2a，得m，故|F2A|F1A|a，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图，不妨设A(0，b)，依题意，2，得B.由点B在椭圆上，得1，得a23，b2a2c22，椭圆C的方程为1.答案(1)D(2)B探究提高1.两题求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和标准方程，另外注意焦点在不同的坐标轴上，椭圆、双曲线、抛物线方程各有不同的表示形式.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定
9、系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【训练1】 (1)(2020天津卷)设双曲线C的方程为1(a0，b0)，过抛物线y24x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为()A.1 B.x21C.y21 D.x2y21(2)(2020长郡中学检测)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点M(x0，6)是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线x交于A，B两点(A在B的上方)，若sinMFA，则此抛物线的方程为_.解析(1)由y24x，知焦点坐标为(1，0)，则过点(1，0)和点(0，b)的直线方程为x
10、1.易知1的渐近线方程为0和0.由l与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a1，b1.故双曲线C的方程为x2y21.(2)如图所示，过M点作CMAF，垂足为C，交准线于D，sinMFA.由抛物线定义|MF|MD|x0，得x03p.点M(x0，6)是抛物线上一点，(6)22px0，3666p2，p6，y212x.答案(1)D(2)y212x热点二圆锥曲线的几何性质【例2】 (1)(2020全国卷)已知F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为_.(2)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的
11、直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若，0，则C的离心率为_.解析(1)设B(c，yB)，因为B为双曲线C：1上的点，所以1，所以y，则yB.因为AB的斜率为3，所以3，则b23ac3a2.所以c2a23ac3a2，所以c23ac2a20，解得ca(舍去)或c2a.所以C的离心率e2.(2)因为0，所以F1BF2B，如图.所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因为，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OABF2，所以F1BOA.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tanBF1O，tanBOF2.因为tanBOF2tan(2BF1O)，
12、所以，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac.所以双曲线的离心率e2.答案(1)2(2)2探究提高1.第(1)题的易错点有两处：一是忽视题眼“AB的斜率为3”，由y得yB；二是将双曲线中a，b，c的关系式与椭圆中a，b，c的关系式搞混.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求的值.3.求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.【训练2】 (1)(多选题)(2020青岛统测)已知椭圆：1(ab0)，则下列结论正确的是()A.若a2b，则椭圆的离心率为B
13、.若椭圆的离心率为，则C.若点F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l过点F1且与椭圆交于A，B两点，则ABF2的周长为4aD.若点A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，点P为椭圆上异于点A1，A2的任意一点，则直线PA1，PA2的斜率之积为(2)(多选题)(2020德州质检)双曲线C：1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是()A.双曲线C的离心率为B.双曲线1与双曲线C的渐近线相同C.若POPF，则PFO的面积为D.|PF|的最小值为2解析(1)若a2b，则cb，所以e，A不正确；若e，则a2c，bc，所以，B正确；根据椭圆的定义易知C正确；设点P(x0，
14、y0)，则1，易知A1(a，0)，A2(a，0)，所以直线PA1，PA2的斜率之积是，D正确.故选BCD.(2)对于A，因为a2，b，所以c，所以双曲线C的离心率为，所以A正确；对于B，它们的渐近线都是直线yx，所以B正确；对于C，结合POPF，点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设点P在渐近线yx上，则直线PF的方程为y0(x)，即y(x)，由解得所以点P，所以PFO的面积S，所以C正确；对于D，因为点F(，0)，双曲线C的一条渐近线为直线yx，所以|PF|的最小值就是点F到渐近线的距离，为，所以D错误.故选ABC.答案(1)BCD(2)ABC热点三有关弦的中点、弦长问题【例3】 (2019全
15、国卷)已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.解设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2.又|AF|BF|4，所以x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，其中144(12t)0，即t0).所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0，所以y1y22.由联立，得y13，且y21.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.探究提高1.涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系与弦长公式|AB|x2x1|，设而不
16、求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算，当A，B两点坐标易求时也可以直接用|AB|求解.2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练3】 (2020衡水质检)已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l交椭圆C于A，B两点.(1)若F1AB的面积为，求直线l的方程；(2)若2，求|AB|.解(1)当直线l斜率为0时，不满足题意.当直线l斜率不为0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线l的方程为xmy1，代入椭圆C的方程消去x
17、，得(5m26)y210my250，0mR，由根与系数的关系得y1y2，y1y2，则SF1AB|F1F2|y1y2|2.整理得50m4m2490，解得m21或m2(舍去)，故直线l的方程为xy10.(2)若2，则(1x2，y2)2(x11，y1)，所以y22y1.代入上式得y1，2y，消去y1，得2，解得m，所以|AB|y1y2|y1y2|3|y1|3.热点四与直线与圆锥曲线的位置关系有关的综合问题【例4】 (2020北京卷)已知椭圆C：1过点A(2，1)，且a2b.(1)求椭圆C的方程；(2)过点B(4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x4于点P，Q，求的值.解(1)
18、由椭圆过点A(2，1)，得1.又a2b，1，解得b22，a24b28，椭圆C的方程为1.(2)当直线l的斜率不存在时，显然不合题意.设直线l：yk(x4)，由得(4k21)x232k2x64k280.由0，得k.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.又直线AM：y1(x2)，令x4，得yP1.将y1k(x14)代入，得yP.同理yQ.yPyQ(2k1)(2k1)(2k1)(2k1)0.|PB|BQ|，1.探究提高1.求解此类问题往往要设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解.2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利
19、用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.【训练4】 (2020天津卷)已知椭圆1(ab0)的一个顶点为A(0，3)，右焦点为F，且|OA|OF|，其中O为原点.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程.解(1)由已知得b3.记半焦距为c，由|OF|OA|，得cb3.由a2b2c2，得a218.所以椭圆的方程为1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以ABCP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为ykx3.联立消去
20、y，可得(2k21)x212kx0，解得x0或x.依题意，可得点B的坐标为.因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，3)，所以点P的坐标为.由3，得点C的坐标为(1，0)，故直线CP的斜率kCP.又因为ABCP，所以k1，整理得2k23k10，解得k或k1.所以，直线AB的方程为yx3或yx3.即直线AB的方程为x2y60或xy30.A级巩固提升一、选择题1.(2020北京卷)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q.则线段FQ的垂直平分线()A.经过点O B.经过点PC.平行于直线OP D.垂直于直线OP解析如图所示，连接PF，则|PF|PQ|，Q
21、F的垂直平分线过点P.故选B.答案B2.(多选题)(2020新高考山东、海南卷)已知曲线C：mx2ny21，则下列结论正确的是()A.若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若mn0，则C是圆，其半径为C.若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为yxD.若m0，n0，则C是两条直线解析对于A，当mn0时，有0，方程化为1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，由mn0，方程变形为x2y2，该方程表示半径为的圆，B错误；对于C，由mn0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为yx，C正确；对于D，当m0，n0时，方程变为ny21表示两条直线，D正确.答案ACD3.(多选题)(2020青岛一模)已知抛物
22、线C：y22px(p0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|8，则以下结论正确的是()A.p4 B.C.|BD|2|BF| D.|BF|4解析如图，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|p，由直线l的斜率为，可得其倾斜角为60.AEx轴，EAF60.由抛物线的定义可知，|AE|AF|，则AEF为等边三角形，PEF30，|AF|EF|2|PF|2p8，得p4，A正确.|AE|2|PF|，PFAE，F为AD的中点，则，B正确.又DAE60，AD
23、E30，|BD|2|BM|2|BF|，C正确.由C选项知|BF|DF|AF|，D错误.故选ABC.答案ABC4.(2020东北三省三校联考)已知双曲线1(a0，b0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且有0，若点P到x轴的距离为|F1F2|，则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.解析因为0，所以PF1PF2，则F1PF290，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2.由双曲线定义，得|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2.因此2(c2a2)|PF1|PF2|，在RtPF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|F1F2|c2.代入式，得2(
24、c2a2)c2，则c22a2，故双曲线的离心率e.答案A5.(2020成都诊断)已知椭圆C：1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P(x0，y0)(x00)使得PF1F230，则椭圆的离心率的取值范围为()A. B.C. D.解析依题设x00时，当点P在椭圆的上(下)顶点时，PF1F2最大.若在椭圆C上存在P(x0，y0)(x00)使得PF1F230，则90(PF1F2)max30，tan(PF1F2)maxtan 30，则，即bc.又a2b2c2，得3a24c2，所以e.故椭圆离心率的取值范围为.答案B二、填空题6.(2020北京卷)已知双曲线C：1，则C的右焦点的坐
25、标为_；C的焦点到其渐近线的距离是_.解析由1，得c2a2b29，解得c3，又焦点在x轴上，所以双曲线C的右焦点坐标为(3，0).双曲线的一条渐近线方程为yx，即xy0，所以焦点(3，0)到渐近线的距离为d.答案(3，0)7.(2020全国卷改编)设双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1PF2P.若PF1F2的面积为4，则a_.解析法一设|PF1|m，|PF2|n，P为双曲线右支上一点，则SPF1F2mn4，mn2a，m2n24c2，从而c2a24，又e，从而a1.法二由题意得，SPF1F24，得b24，又e25，c2a2b2，所以a1.答案18
26、.设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_.解析不妨设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，则|MF1|MF2|，|F1F2|2c28，因为MF1F2是等腰三角形，|MF1|MF2|，且|MF1|MF2|2a12，所以|MF1|6，|MF2|0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点.若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B.C.2 D.解析设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c，0).由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接
27、OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|.在RtOPM中，|OM|2|MP|2|OP|2得a2，故，即e.答案A12.(2020郑州调研)设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点，且离心率为，F为E的右焦点，P为E上一点，PFx轴，圆F的半径为PF.(1)求椭圆E和圆F的方程；(2)若直线l：yk(x)(k0)与圆F交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|BD|？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由.解(1)由题意可设椭圆的标准方程为1(ab0)，椭圆的离心率e，a2b2c2，a2b，将点代入椭圆的方程得1，联立a2b，解得a2且b1.椭圆E的方程为y21.F(，0)，PFx轴，P，圆F的半径为，圆心为(，0)，圆F的方程为(x)2y2.(2)由A，B在圆上得|AF|BF|PF|.设点C(x1，y1)，D(x2，y2).|CF|2x1，同理|DF|2x2.若|AC|BD|，则|AC|BC|BD|BC|，即|AB|CD|1，4(x1x2)1，由得(4k21)x28k2x12k240，x1x2，41，得12k212k23，无解，故不存在.