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1、第3讲圆锥曲线中的热点问题高考定位1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法的考查.真 题 感 悟1.(2020全国卷)设O为坐标原点，直线xa与双曲线C：1(a0，b0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A.4 B.8 C.16 D.32解析由题意知双曲线的渐近线方程为yx.因为D，E分别为直线xa与双曲线C的两渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(
2、a，b)，所以SODEa|DE|a2bab8，则c2a2b22ab16，当且仅当ab2时等号成立，c4.故曲线C的焦距2c的最小值为8.答案B2.(2020全国卷)已知A，B分别为椭圆E：y21(a1)的左、右顶点，G为E的上顶点，8.P为直线x6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点.(1)解由题设得A(a，0)，B(a，0)，G(0，1).则(a，1)，(a，1).由8，得a218，解得a3或a3(舍去).所以椭圆E的方程为y21.(2)证明设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t).若t0，设直线CD的方程为xmyn
3、，由题意可知3n0).由得x.设u，则P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u，0).于是直线QG的斜率为，方程为y(xu).由得(2k2)x22uk2xk2u280.设G(xG，yG)，则u和xG是方程的解，故xG，由此得yG.从而直线PG的斜率为.所以PQPG，即PQG是直角三角形.解由得|PQ|2u，|PG|，所以PQG的面积S|PQ|PG|.设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号.因为S在2，)单调递减，所以当t2，即k1时，S取得最大值，最大值为.因此，PQG面积的最大值为.探究提高求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考
4、虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，列出含参数的函数式；可利用求函数值域(最值)或基本不等式、换元法、导数法，利用已知或隐含的参数范围求最值、范围.特别是分式形式时，会用换元法将复杂化为简单.角度2求几何量、某个参数的取值范围【例2】 (2020江西六校联考)已知椭圆的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上，中心在原点.若右焦点到直线xy20的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线ykxm(k0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当|AM|AN|时，求m的取值范围.解(1)依题意可设椭圆方
5、程为y21(a1)，则右焦点F(，0)，由题设3，解得a23.所求椭圆的方程为y21.(2)设P(xP，yP)，M(xM，yM)，N(xN，yN)，P为弦MN的中点，由得(3k21)x26mkx3(m21)0，直线与椭圆相交，(6mk)24(3k21)3(m21)0m23k21.xP，从而yPkxPm，kAP，又|AM|AN|，APMN，则，即2m3k21.把代入，得m22m，解得0m0，解得m.综上， 求得m的取值范围是.探究提高解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这
6、类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【训练1】 (2020贵阳诊断)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的任意一点M到直线y1的距离比M点到点F(0，2)的距离小1.(1)求动点M的轨迹C1的方程；(2)若点P是圆C2：(x2)2(y2)21上一动点，过点P作曲线C1的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB斜率的取值范围.解(1)法一设点M(x，y)，点M到直线y1的距离等于|y1|
7、，|y1|1，化简得x28y，动点M的轨迹C1的方程为x28y.法二由题意知M到直线y2的距离等于M到F(0，2)的距离，由抛物线定义得动点M的轨迹方程为x28y.(2)由题意可知，PA，PB的斜率都存在，分别设为k1，k2，切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设点P(m，n)，过点P的抛物线的切线方程为yk(xm)n，联立得x28kx8km8n0，64k232km32n0，即2k2kmn0，k1k2，k1k2.由x28y，得y，x14k1，y12k，x24k2，y22k，kAB，点P(m，n)满足(x2)2(y2)21，1m3，即直线AB斜率的取值范围为.热点二圆锥曲线中定值、定点问题角
8、度1圆锥曲线中的定值【例3】 (2020广州模拟)已知抛物线C：y22px(p0)经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值.(1)解因为抛物线y22px过点P(1，2)，所以2p4，即p2.故抛物线C的方程为y24x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1(k0).由得k2x2(2k4)x10.依题意(2k4)24k210，解得k1，又因为k0，故k0或0kb0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上.
9、(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.(1)解由于点P3，P4关于y轴对称，由题设知C必过P3，P4.又由知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上.因此解得故C的方程为y21.(2)证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果直线l的斜率不存在，此时l垂直于x轴.设l：xm，A(m，yA)，B(m，yA)，k1k21，得m2，此时l过椭圆C右顶点，与椭圆C不存在两个交点，故不满足.从而可设l：ykxm(m1).将ykxm代入y21得(4k21)x28kmx4m240.由题设可知16(4k2m2
10、1)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.则k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.(2k1)(m1)0.解得m2k1，此时32(m1)，当且仅当m1时，0，直线l的方程为ykx2k1，即y1k(x2).所以l过定点(2，1).探究提高1.动直线l过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m，0).2.动曲线C过定点问题.引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.【训练3】 (2020太原模拟)已知圆O1：(x1)2y28上有一动点
11、Q，点O2的坐标为(1，0)，四边形QO1O2R为平行四边形.线段O1R的垂直平分线交O2R于点P.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点O2作直线与曲线C交于A，B两点，点K的坐标为(2，1)，直线KA，KB与y轴分别交于M，N两点，求证：线段MN的中点为定点，并求出该中点的坐标.(1)解因为|PO1|PO2|PR|PO2|RO2|QO1|2|O1O2|2，所以点P的轨迹是一个椭圆，且长轴长2a2，半焦距c1，所以b2a2c21，轨迹C的方程为y21(y0).(2)证明当直线AB的斜率为0时，由(1)y0知与曲线C无交点.当直线AB的斜率不为0时，设过点O2的直线方程为xmy1，点A，B坐标
12、分别为(x1，y1)，(x2，y2).直线方程与椭圆方程联立得消去x，得(m22)y22my10，则y1y2，y1y2.直线KA的方程为y1(x2)，令x0得yM.同理可得yN.所以1.所以MN的中点为(0，1)，恒为定点.热点三圆锥曲线中的存在性问题【例5】 设椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为A(1，0)，B(1，0)，C为椭圆M上的点，且ACB，SABC.(1)求椭圆M的标准方程；(2)设过椭圆M右焦点且斜率为k的动直线与椭圆M相交于E，F两点，探究在x轴上是否存在定点D，使得为定值？若存在，试求出定值和点D的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)在ABC中，由余弦定理AB2CA2CB
13、22CACBcos C(CACB)23CACB4.又SABCCACBsin CCACB，CACB，代入上式得CACB2.椭圆长轴长为2a2，焦距为2cAB2，b2a2c21.所以椭圆M的标准方程为y21.(2)设直线方程yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，联立消去y得(12k2)x24k2x2k220，8k280，x1x2，x1x2.假设x轴上存在定点D(x0，0)，使得为定值.(x1x0，y1)(x2x0，y2)x1x2x0(x1x2)xy1y2x1x2x0(x1x2)xk2(x11)(x21)(1k2)x1x2(x0k2)(x1x2)xk2.要使为定值，则的值与k无关，2x4
14、x012(x2)，解得x0，此时为定值，定点为.探究提高1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.2.求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.【训练4】 (2020西安调研)已知抛物线C：y22px(p0)的准线经过点P(1，0).(1)求抛物线C的方程.(2)设O是原点，直线
15、l恒过定点(1，0)，且与抛物线C交于A，B两点，直线x1与直线OA，OB分别交于点M，N，请问：是否存在以MN为直径的圆经过x轴上的两个定点？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)依题意知，1，解得p2，所以抛物线C的方程为y24x.(2)存在，理由如下.设直线AB的方程为xty1，A，B.联立直线AB与抛物线C的方程得消去x并整理，得y24ty40.易知16t2160，则由直线OA的方程yx，可得M，由直线OB的方程yx，可得N.设以MN为直径的圆上任一点D(x，y)，则0，所以以MN为直径的圆的方程为(x1)20.令y0，得(x1)20.将y1y24代入上式，得(x1
16、)240，解得x11，x23.故存在以MN为直径的圆经过x轴上的两个定点，两个定点的坐标分别为(1，0)和(3，0).A级巩固提升一、选择题1.椭圆C：1的焦点在x轴上，点A，B是长轴的两端点，若曲线C上存在点M满足AMB120，则实数m的取值范围是()A.(3，) B.1，3)C.(0，) D.(0，1解析依题意，当0m3时，焦点在x轴上，要在曲线C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得0，所以圆D在椭圆C的内部，且|PQ|的最小值为.故选BC.答案BC二、填空题6.已知点P(0，1)，椭圆y2m(m1)上两点A，B满足2，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大.解析设A(x1，y
17、1)，B(x2，y2)，由2，得即x12x2，y132y2.因为点A，B在椭圆上，所以得y2m，所以xm(32y2)2m2m(m5)244，所以当m5时，点B的横坐标的绝对值最大，最大值为2.答案57.(2020郑州模拟)已知双曲线1的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线上任一点，且的最小值为7，则该双曲线的离心率是_.解析设点F1(c，0)，F2(c，0)(其中c0)，P(x0，y0).则1，所以x9.(cx0，y0)，(cx0，y0)，xc2y9yc2y9c29c2，当且仅当y00时，上式“”成立.9c27，c4.从而双曲线的离心率e.答案8.设抛物线x24y的焦点为F，A为抛物线上第一
18、象限内一点，满足|AF|2；已知P为抛物线准线上任一点，则|PA|PF|的最小值为_，此时PAF的外接圆半径为_.解析由x24y，知p2，焦点F(0，1)，准线y1.依题意，设A(x0，y0)(x00)，由定义，得|AF|y0，则y0211，AFy轴.易知当P(1，1)时，|PA|PF|最小，|PF|，则|PA|PF|2，由正弦定理，2R，因此PAF的外接圆半径R.答案2三、解答题9.(2020广州调研)已知点P到直线y3的距离比点P到点A(0，1)的距离多2.(1)求点P的轨迹方程；(2)经过点 Q(0，2)的动直线l与点P的轨迹交于M，N两点，是否存在定点R使得MRQNRQ？若存在，求出点
19、R的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)由题知，|PA|等于点P到直线y1的距离，故P点的轨迹是以A为焦点，y1为准线的抛物线，所以其方程为x24y.(2)根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R，则点R必在y轴上，可设其坐标为(0，r)，此时由MRQNRQ可得kMRkNR0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则0，由题知直线l的斜率存在，设其方程为ykx2，与x24y联立得x24kx80，则x1x24k，x1x28，2k2k0，故r2，即存在满足条件的定点R(0，2).10.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，
20、OQ的斜率分别为k1，k2，若m，n，mn0.(1)求证：k1k2；(2)试探求OPQ的面积S是否为定值，并说明理由.(1)证明k1，k2均存在，x1x20，又mn0，y1y20，即y1y2，k1k2.(2)解当直线PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2时，由，得y0，又点P(x1，y1)在椭圆上，得y1，|x1|，|y1|.SPOQ|x1|y1y2|1.当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykxb(b0).由得(4k21)x28kbx4b240，64k2b24(4k21)(4b24)16(4k21b2)0，x1x2，x1x2.y1y20，(kx1b)(kx2b)0，得2b24k21，满
21、足0.SPOQ|PQ|b|2|b|1.综上可知，POQ的面积S为定值.B级能力突破11.(2019北京卷)已知抛物线C：x22py(p0)经过点(2，1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程.(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.(1)解由抛物线C：x22py经过点(2，1)得p2.所以抛物线C的方程为x24y，其准线方程为y1.(2)证明抛物线C的焦点为F(0，1).设直线l的方程为ykx1(k0).由得x24kx40.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2
22、4.直线OM的方程为yx.令y1，得点A的横坐标xA，同理得B的横坐标xB.设点D(0，n)，则，(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令0，即4(n1)20，得n1或n3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，3).12.(2020成都一诊)已知椭圆C：y21的右焦点为F，过点F的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A，B两点，直线l：x2与x轴相交于点H，过点A作ADl，垂足为D.(1)求四边形OAHB(O为坐标原点)的面积的取值范围.(2)证明：直线BD过定点E，并求出点E的坐标.(1)解由题设知F(1，0)，设直线AB的方程为xmy1(mR)，A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去x并整理，得(m22)y22my10.4m24(m22)0，则y1y2，y1y2，所以|y1y2|.所以四边形OAHB的面积S|OH|y1y2|2.令t，则t1，所以S，t1.因为t2(当且仅当t1，即m0时取等号)，所以0S.故四边形OAHB的面积的取值范围为(0，.(2)证明由B(x2，y2)，D(2，y1)，可知直线BD的斜率k.所以直线BD的方程为yy1(x2).令y0，得x.由(1)知，y1y2，y1y2，所以y1y22my1y2.将代入，化简得x，所以直线BD过定点E.